2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第9讲圆锥曲线__最值范围问题考点2范围问题

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第9讲圆锥曲线__最值范围问题考点2范围问题，共4页。

所以点P的轨迹是以A(－1,0)，B(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
设该椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝1，a＝2，从而b＝eq \r(3).
所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意知直线MN的方程为y＝k(x＋4)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋4，,3x2＋4y2＝12，))消去x得(3＋4k2)y2－24ky＋36k2＝0，
由Δ>0，可得k2由根与系数的关系有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(24k,3＋4k2)，,y1y2＝\f(36k2,3＋4k2)，))
由eq \(DM,\s\up6(→))＝μeq \(DN,\s\up6(→))可得y1＝μy2，代入上式得eq \f(16,3＋4k2)＝eq \f(1,μ)＋μ＋2.
当μ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,7)，\f(1,2)))时，h(μ)＝eq \f(1,μ)＋μ＋2是减函数，故eq \f(9,2)≤h(μ)≤eq \f(100,21).
由eq \f(9,2)≤eq \f(16,3＋4k2)≤eq \f(100,21)，
解得eq \f(9,100)≤k2≤eq \f(5,36)，
又k2即k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),6)，－\f(3,10)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,10)，\f(\r(5),6))).
名师点拨：求动点轨迹方程常用方法
1．直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式进行整理化简．
2．定义法：若动点轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
3．代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(m，n)的坐标，可先用x，y表示m，n，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．
4．参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程，然后消去参数，即得其普通方程．
2．(2023·广东佛山市二模)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．
(1)求双曲线C的方程；
(2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．
[解析] (1)依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|得a＋c＝eq \f(b2,a)，
即a2＋2a＝22－a2，解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，故双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)显然直线MN不可能与轴平行，
故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,3x2－y2＝3，))消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－1≠0，,Δ>0))下，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－eq \f(6mn,3m2－1)，y1y2＝eq \f(3n2－1,3m2－1)(*)
由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
将(*)式代入得3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0.
化简可消去所有的含m项，解得n＝5或n＝－1(舍去)．
则直线MN的方程为x－my－5＝0，则d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，
又MN都在双曲线右支上，故有3m2－1<0，得0≤m2此时1≤eq \r(m2＋1)所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3eq \r(3)，6]．
名师点拨：求解范围问题的常用方法
1．将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系建立不等式或函数式求解．
2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
3．利用几何条件构造不等关系．
4．利用基本不等式求出参数的取值范围．
5．利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
求解范围问题答题模板

【变式训练】
(2024·安徽A10联盟摸底)已知O为坐标原点，椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1过点M，N，P，记线段MN的中点为Q.
(1)若直线MN的斜率为3，求直线OQ的斜率；
(2)若四边形OMPN为平行四边形，求|MN|的取值范围．
[解析] (1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),12)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),12)＝1，))
两式相减可得，
eq \f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,12)＝0，
则eq \f(12,16)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,x1＋x2x1－x2)＝0，
即kMN·kOQ＝－eq \f(3,4)，
又kMN＝3，∴kOQ＝－eq \f(1,4).
即直线OQ的斜率为－eq \f(1,4).
(2)①若直线MN垂直于x轴，易得
P(4,0)，M(2,3)，N(2，－3) 或P(－4,0)，M(－2,3)，N(－2，－3)，此时|MN|＝6；
②若直线MN不垂直于x轴，设
MN：y＝kx＋m(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1))得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0.
∴x1＋x2＝－eq \f(8km,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－48,3＋4k2)，
∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，∴x0＝x1＋x2，y0＝y1＋y2，
∴x0＝－eq \f(8km,3＋4k2)，
y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(6m,3＋4k2)，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8km,3＋4k2)，\f(6m,3＋4k2))).
∵P在椭圆上，∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8km,3＋4k2)))2,16)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6m,3＋4k2)))2,12)＝1，
化简得m2＝3＋4k2.
此时Δ＝64k2m2－16(3＋4k2)(m2－12)＝144m2>0，
∴x1＋x2＝－eq \f(8km,3＋4k2)＝eq \f(－8k,m)，
x1x2＝eq \f(4m2－48,3＋4k2)＝eq \f(4m2－48,m2)，
∴|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(12\r(1＋k2),|m|)
＝12eq \r(\f(1＋k2,3＋4k2))＝12eq \r(\f(1,4)＋\f(1,43＋4k2))，
∵3＋4k2≥3，∴0∴eq \f(1,4)综上，|MN|的取值范围为[6,4eq \r(3)]．