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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破5圆锥曲线的综合应用命题点1圆锥曲线的综合问题
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破5圆锥曲线的综合应用命题点1圆锥曲线的综合问题，共3页。
例1 [多选/新高考卷Ⅰ]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.（ ACD ）
A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n
C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnx
D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析 对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±－mnx，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.
例2 已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）.
（1）证明：k＜－12.
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差数列，并求该数列的公差.
解析 （1）解法一 设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x124＋y123＝1，x224＋y223＝1，两式相减，
并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.
由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m ①.
由题设得0＜m＜32，故k＜－12.
解法二 设直线l的方程为y＝k（x－1）＋m，
由y＝k（x－1）＋m，x24＋y23=1得（3＋4k2）x2＋8k（m－k）x＋4（m－k）2－12＝0，
Δ＝64k2（m－k）2－4（3＋4k2）[4（m－k）2－12]＝48（3k2＋2mk－m2＋3）.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝8k（k－m）3+4k2.
因为线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），所以x1＋x22＝1，
即4k（k－m）3+4k2＝1，化简得m＝－34k.
由m＞0得，－34k＞0，所以k＜0.
又点M（1，m）在椭圆内部，
所以14＋m23＜1，即14＋316k2＜1，解得k＜－12.
经检验，当m＝－34k，k＜－12时，满足Δ＞0.
故k＜－12.
（2）由题意得F（1，0）.
设P（x3，y3），则由FP＋FA＋FB＝0，
得（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0，0）.
由（1）及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－（y1＋y2）＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝34，从而P（1，－32），｜FP｜＝32.
于是｜FA｜＝（x1－1）2＋y12＝（x1－1）2+3（1－x124）＝2－x12.
同理｜FB｜＝2－x22.
所以｜FA｜＋｜FB｜＝4－12（x1＋x2）＝3.故2｜FP｜＝｜FA｜＋｜FB｜，即｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差数列.
设该数列的公差为d，则2｜d｜＝｜｜FB｜－｜FA｜｜＝12｜x1－x2｜＝12（x1＋x2）2－4x1x2 ②.
将m＝34代入（1）中的①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋74，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋14＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得｜d｜＝32128.
所以该数列的公差为32128或－32128.
训练1 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1-c,0,F2c,0,点P是椭圆C上一点，满足｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜，若以点P为圆心、r为半径的圆与圆F1：（x＋c）2＋y2＝4a2，圆F2：（x－c）2＋y2＝a2都内切，其中0＜r＜a，则椭圆C的离心率e为（ C ）
A.12B.34C.104D.154
解析 将｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜两边同时平方，得PF1·PF2＝0，则PF1⊥PF2.
如图，延长F1P交圆P于N，延长F2P交圆P于M，
结合已知可得｜PF1｜＝｜F1N｜－｜PN｜=2a－r，｜PF2｜＝｜F2M｜－｜PM｜＝a－r，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝a，
由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝3a2，｜PF2｜＝a2.
在△PF1F2中，PF1⊥PF2可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以9a24＋a24＝4c2，所以e2＝c2a2＝58，所以e＝104.故选C.
（2）[2023西安一中调研]如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，D，E分别是AA1和BB1的中点，C是弧AB的中点，则经过C，D，E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是 22 .
解析 设正方形ABB1A1的边长为2，C1是弧B1A1的中点，且与C关于圆柱的中心对称，连接CC1，由题意可知，所得曲线为椭圆，
椭圆的短轴长为2，长轴长C1C＝22，所以长半轴长a＝2，短半轴长b＝1，故半焦距c=a2－b2=1，所以椭圆的离心率e＝ca＝22.
例1 [多选/新高考卷Ⅰ]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.（ ACD ）
A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n
C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnx
D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析 对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±－mnx，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.
例2 已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）.
（1）证明：k＜－12.
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差数列，并求该数列的公差.
解析 （1）解法一 设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x124＋y123＝1，x224＋y223＝1，两式相减，
并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.
由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m ①.
由题设得0＜m＜32，故k＜－12.
解法二 设直线l的方程为y＝k（x－1）＋m，
由y＝k（x－1）＋m，x24＋y23=1得（3＋4k2）x2＋8k（m－k）x＋4（m－k）2－12＝0，
Δ＝64k2（m－k）2－4（3＋4k2）[4（m－k）2－12]＝48（3k2＋2mk－m2＋3）.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝8k（k－m）3+4k2.
因为线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），所以x1＋x22＝1，
即4k（k－m）3+4k2＝1，化简得m＝－34k.
由m＞0得，－34k＞0，所以k＜0.
又点M（1，m）在椭圆内部，
所以14＋m23＜1，即14＋316k2＜1，解得k＜－12.
经检验，当m＝－34k，k＜－12时，满足Δ＞0.
故k＜－12.
（2）由题意得F（1，0）.
设P（x3，y3），则由FP＋FA＋FB＝0，
得（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0，0）.
由（1）及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－（y1＋y2）＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝34，从而P（1，－32），｜FP｜＝32.
于是｜FA｜＝（x1－1）2＋y12＝（x1－1）2+3（1－x124）＝2－x12.
同理｜FB｜＝2－x22.
所以｜FA｜＋｜FB｜＝4－12（x1＋x2）＝3.故2｜FP｜＝｜FA｜＋｜FB｜，即｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差数列.
设该数列的公差为d，则2｜d｜＝｜｜FB｜－｜FA｜｜＝12｜x1－x2｜＝12（x1＋x2）2－4x1x2 ②.
将m＝34代入（1）中的①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋74，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋14＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得｜d｜＝32128.
所以该数列的公差为32128或－32128.
训练1 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1-c,0,F2c,0,点P是椭圆C上一点，满足｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜，若以点P为圆心、r为半径的圆与圆F1：（x＋c）2＋y2＝4a2，圆F2：（x－c）2＋y2＝a2都内切，其中0＜r＜a，则椭圆C的离心率e为（ C ）
A.12B.34C.104D.154
解析 将｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜两边同时平方，得PF1·PF2＝0，则PF1⊥PF2.
如图，延长F1P交圆P于N，延长F2P交圆P于M，
结合已知可得｜PF1｜＝｜F1N｜－｜PN｜=2a－r，｜PF2｜＝｜F2M｜－｜PM｜＝a－r，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝a，
由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝3a2，｜PF2｜＝a2.
在△PF1F2中，PF1⊥PF2可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以9a24＋a24＝4c2，所以e2＝c2a2＝58，所以e＝104.故选C.
（2）[2023西安一中调研]如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，D，E分别是AA1和BB1的中点，C是弧AB的中点，则经过C，D，E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是 22 .
解析 设正方形ABB1A1的边长为2，C1是弧B1A1的中点，且与C关于圆柱的中心对称，连接CC1，由题意可知，所得曲线为椭圆，
椭圆的短轴长为2，长轴长C1C＝22，所以长半轴长a＝2，短半轴长b＝1，故半焦距c=a2－b2=1，所以椭圆的离心率e＝ca＝22.
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