高考数学一轮复习第九章第三节二项式定理课时作业理含解析北师大版

第三节 二项式定理

授课提示：对应学生用书第379页

[A组　基础保分练]

1．（2021·杭州模拟）的展开式中x3的系数为（　　）

A．5　　　　　　　　　　 B．10

C．15  D．20

解析：的展开式的通项公式为Tr＋1＝C，令10－r＝3⇒r＝7，所以展开式中x3的系数为C＝×＝15．

答案：C

2．（x＋2y）5的展开式中含x3y2项的系数为（　　）

A．5  B．10

C．20  D．40

解析：（x＋2y）5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r（2y）r，所以含x3y2项的系数即r＝2时的系数，即C×22＝40．

答案：D

3．的展开式的常数项为160，则实数a＝（　　）

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：的展开式的通项Tr＋1＝C（ax）6－r·＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2．

答案：B

4．在（1＋x）n（n∈N＋）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝（　　）

A．8  B．9

C．10  D．11

解析：含x5的项是第6项，它是中间项，∴n＝10．

答案：C

5．（2021·湖南岳阳模拟）将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，则a5＝（　　）

A．8  B．10

C．12  D．1

解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展开式中x3的系数为C·21＝8，所以a5＝8．

答案：A

6．在二项式的展开式中，各项系数和为M，各项二项式系数和为N，且M＋N＝72，则展开式中常数项的值为（　　）

A．18  B．12

C．9  D．6

解析：法一：令x＝1，得展开式中各项系数和M＝4n，各项二项式系数和N＝2n，则2n＋4n＝72，得n＝3．则展开式的通项公式为Tk＋1＝C（）3－k＝3kCx，令3－3k＝0，得k＝1，所以常数项为9．

法二：令x＝1，得展开式中各项系数和M＝4n，各项二项式系数和N＝2n，则2n＋4n＝72，得n＝3．可看作三个相乘，其展开式中的常数项为C××（）2＝9．

答案：C

7．（2021·湖南五市十校联考）（x＋1）（x－1）6的展开式中x6的系数为_________．

解析：（x－1）6的通项为Tr＋1＝Cx6－r·（－1）r，令r＝1，可得x5的系数为－6，令r＝0，可得x6的系数为1，所以（x＋1）（x－1）6的展开式中x6的系数为－6＋1＝－5．

答案：－5

8．若二项式的展开式中存在常数项，则正整数n的最小值为_________．

解析：二项式的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cxn－r·＝C（－2）rxn－r，r＝0，1，2，…，n，令n－r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为4．

答案：4

9．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

解析：（1）由题设，得C＋·C＝2×·C，

即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1（舍去）．

（2）设第r＋1的系数最大，则

即

解得2≤r≤3．

所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x．

10．（2021·福州段考）已知（－）n的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512．

（1）求展开式中的所有有理项；

（2）求（1－x）3＋（1－x）4＋…＋（1－x）n的展开式中x2的系数．

解析：（1）∵（－）n的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，

∴2n－1＝512＝29，

∴n－1＝9，解得n＝10．

∴Tr＋1＝C（）10－r（－）r＝（－1）rCx＋＝（－1）rCx5－（r＝0，1，…，10）．

由5－∈Z，得r＝0，6．

∴展开式中的所有有理项为T1＝Cx5＝x5，T7＝Cx4＝210x4．

（2）展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝（C－C）＋（C－C）＋…＋（C－C）＝C－C＝164．

[B组　能力提升练]

1．若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，则a8＝（　　）

A．18  B．－18

C．－27  D．27

解析：由题意，得（x－3）9＝[（x－1）－2]9，a8表示展开式中含（x－1）8项的系数，故a8＝C（－2）＝－18．

答案：B

2．的展开式中的常数项为（　　）

A．64  B．－64

C．84  D．－84

解析：的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·（）9－r·＝（－1）r·C·x，由＝0，得r＝3，∴的展开式中的常数项为T4＝（－1）3×C＝－84．

答案：D

3．（2021·茂名联考）在（＋x）6的展开式中，项的系数为（　　）

A．200  B．180

C．150  D．120

解析：（＋x）6展开式的通项公式为Tr＋1＝C（）6－r·xr＝Cx，令＝4，得r＝2，则T3＝Cx＝15x4．

展开式的通项公式为Tr＋1＝C＝Cy－r，令r＝2可得T3＝Cy－2＝10y－2．故项的系数为15×10＝150．

答案：C

4．（2021·岳阳模拟）将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，则a5＝（　　）

A．8  B．10

C．12  D．1

解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展开式中x3的系数为C·21＝8，所以a5＝8．

答案：A

5．（2021·唐山摸底）在的展开式中，x4的系数为5，则实数a的值为_________．

解析：由条件可知二项展开式的通项Tr＋1＝C·（ax2）5－r·＝（－2）rC·a5－rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故（－2）2C·a3＝5，解得a＝．

答案：

6．若二项式的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是_________．

解析：∵二项式的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∴Tr＋1＝C（）10－r＝（－2）rC·x，令＝0，解得r＝6，∴常数项是（－2）6C＝13 440．

答案：13 440

[C组　创新应用练]

1．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C 除以88的余数是（　　）

A．－1  B．－87

C．1  D．87

解析：1－90C＋902C－903C＋…＋9010·C＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10＝C8810＋C889＋…＋C88＋C＝88k＋1（k为正整数），所以可知余数为1．

答案：C

2．（2021·厦门联考）在的展开式中，x2的系数为（　　）

A．10  B．30

C．45  D．120

解析：因为＝＝（1＋x）10＋C（1＋x）9＋…＋C，所以x2只出现在（1＋x）10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45．

答案：C

3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b（b mod m）．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b（b mod 10），则b的值可以是（　　）

A．2 011　　 B．2 012 

C．2 013　　　 D．2 014

解析：因为a＝（1＋2）20＝320＝910＝（10－1）10＝C·1010－C·109＋…－C·10＋1，所以a被10除得的余数为1，结合选项知2 011被10除得的余数是1．

答案：A