2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

展开

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|x>−32},N={x∈Z|−52A. {x|−32C. {−1,0}D. {0,1}
2.已知命题p：∀x∈R，|x−1|<1，命题q：∃x∈R，x2−x+1<0，则( )
A. 命题p和命题q都是真命题B. 命题p的否定和命题q都是真命题
C. 命题q的否定和命题p都是真命题D. 命题p的否定和命题q的否定都是真命题
3.已知a=lg32,b=60.03,c=lg45×lg52，则( )
A. c4.函数y=ln(ex+e−x)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.使得“函数f(x)= 7+2ax−x2在区间[−1,1]上单调递减”成立的一个充分不必要条件是( )
A. a≤−1B. 06.苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550−1617)发明的对数及对数表(如表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)，则lgN=n+lga(0≤lga<1)，这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数，则M的值为( )
A. 3B. 12C. 13D. 14
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( )
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1=m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长．
A. 等于10gB. 小于10gC. 大于10gD. 不确定
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=−14sinπx.若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≥− 32，则m的取值范围是( )
A. (−∞,94]B. (−∞,73]C. (−∞,52]D. (−∞,83]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=13x3−x−1，则( )
A. f(x)有一个零点
B. f(x)的极小值为−53
C. f(x)的对称中心为(0,1)
D. 直线y=−x−1是曲线y=f(x)的切线
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为M，则下列说法错误的是( )
A. M=⌀，则a<0，Δ<0
B. 若M=(−1,3)，则关于x的不等式−cx2−bx−b>cx+4a的解集为(−∞,−2)∪(13,+∞)
C. 若M={x|x≠x0,x0为常数}，且aD. 若a<0，ax2+bx+c<0的解集M一定不为⌀
11.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x+3)+g(x)=3，f(x)−g(−1−x)=1，且g(−1)=2，g(x−1)为偶函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数g(x)的图象关于x=−1对称B. f(2)=1
C. g(2)=0D. k=12025[f(k)+g(k)]=6074
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数y=f(12x+1)的定义域是[2,4]，则函数g(x)=f(x)ln(x−2)的定义域为______．
13.设函数y=f″(x)是y=f′(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像都有对称中心(x0,f(x0))，其中x0满足f″(x0)=0.已知三次函数f(x)=x3+2x−1，若x1+x2=0，则f(x1)+f(x2)= ______．
14.设函数f(x)=x2−1,x>a,|x−a−1|,x≤a.当a=0时，f(x)的值域为；若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−2x．
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若不等式f(x)≤(a−2)x+2在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(x0,2)在抛物线C上，且|DF|=2．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)抛物线的准线与x轴交于点K，过K的直线l交抛物线C于M，N两点，且KM=λKN,λ∈(1,2]，点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标xG的取值范围．
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=x|x−a|+2．
(1)当a=2时，求f(x)的单调增区间；
(2)若∃x1，x2∈[0,2]，使|f(x1)−f(x2)|>2，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如果数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=0且|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1(n≥3,n∈N∗)，则称{an}为n阶“归化”数列．
(1)若某3阶“归化”数列{an}是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
(2)若某11阶“归化”数列{an}是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若{an}为n阶“归化”数列，求证a1+12a2+13a3+…+1nan≤12−12n．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.C
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.AC
11.ABD
12.(2,3)
13.−2
14.(−1,+∞)
( 2,+∞)

15.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得：a2−b2−bc=c2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−12，
又0(2)AD是△ABC的角平分线，∠BAD=∠DAC=π3，
由S△ABC=S△ABD+S△CAD可得12bcsin2π3=12c×AD×sinπ3+12b×AD×sinπ3，
因为b=3，AD=2，即有3c=2c+6，c=6，
故S△ABC=12bcsinA=12×3×6× 32=9 32．
16.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1x−2=1−2xx，
令f′(x)>0，解得：0令f′(x)<0，解得：x>12．
所以f(x)的单调增区间为(0,12)，单调减区间为(12,+∞)，
则f(x)max=f(12)=−ln2−1．
(2)不等式f(x)≤(a−2)x+2在(0,+∞)上恒成立，即a≥lnx−2x在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lnx−2x(x>0)，
则g′(x)=1−(lnx−2)x2=3−lnxx2，
令g′(x)>0，解得：0令g′(x)<0，解得：x>e3．
所以g(x)的单调增区间为(0,e3)，单调减区间为(e3,+∞)，
则g(x)max=g(e3)=lne3−2e3=1e3，
所以a≥1e3，
所以不等式f(x)≤(a−2)x+2在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为[1e3,+∞)．
17.解：(1)因为D(x0,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
所以4=2px0，解得：x0=2p，又|DF|=2，
所以x0+p2=2，即2p+p2=2，解得：p=2，
所以抛物线C的标准方程为y2=4x；
(2)易知抛物线的准线为x=−1，则可得K(−1,0)，
如图，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l：x=my−1，
因为KM=λKN，即(x1+1,y1)=λ(x2+1,y2)，
则y1=λy2，

联立方程x=my−1y2=4x，消去x得：y2−4my+4=0，则Δ=16m2−16>0，即m2>1，
所以y2−4my+4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，
即可得λy2+y2=4m,λy22=4，
联立两式并整理可得4m2=(1+λ)2λ=λ+1λ+2，
又x1+x2=m(y1+y2)−2=4m2−2，
由1<λ≤2可得y=λ+1λ+2递增，
即有4m2∈(4,92]，即m2∈(1,98],
又MN中点坐标为(2m2−1,2m)，
可得直线MN的垂直平分线的方程为y−2m=−m(x−2m2+1)，
令y=0，可得xG=2m2+1∈(3,134],
即xG的取值范围为(3,134]．
18.解：(1)当a=2时，f(x)=x|x−2|+2=x2−2x+2,x≥2−x2+2x+2,x<2，
当x≥2时，f(x)单调递增，
当x<2时，f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1)和(2,+∞)；
(2)∃x1，x2∈[0,2]，使|f(x1)−f(x2)|>2，
所以|f(x1)−f(x2)|max>2，
即f(x)max−f(x)min>2，
①当a≥2时，f(x)=−x2+ax+2，对称轴x=a2，
(i)当1≤a2≤2即2≤a≤4时，f(x)max=f(a2)=a24+2，f(x)min=f(0)=2，
所以f(a2)−f(0)=a24>2，
所以a>2 2或a<−2 2，
因为2≤a≤4，所以2 2(ii)当a2>2即a>4时，f(x)max=f(2)=2a−2，f(x)min=f(0)=2，
所以f(2)−f(0)=2a−4>2，a>3，
因为a>4，所以a>4，
②当a≤0时，f(x)=x2−ax+2，对称轴x=a2<0，
所以f(x)max=f(2)=6−2a，f(x)min=f(0)=2，
所以f(2)−f(0)=4−2a>2，a<1，
所以a≤0，
③当0因为f(x)min=f(0)=f(2)=2，
因为f(a22)−f(0)=a24<1，
所以f(a2)不可能是函数的最大值，
所以f(x)max=f(2)=6−2a，
所以f(2)−f(0)=4−2a>2，
所以0综上所述：a的取值范围是(−∞,1)∪(2 2,+∞)．
19.解：(1)设a1，a2，a3成公差为r的等差数列，显然r>0，
则由a1+a2+a3=0得3a1+3r=0，
所以−a1=r>0，
所以a1<0，
所以a2=a1+r=0，a3=a1+2r=−a1>0，
由|a1|+|a2|+|a3|=1得−2a1=1，解得a1=−12，
所以数列−12,0,12为所求3阶“归化”数列．
(2)设等差数列a1，a2，a3，…，a11的公差为d，
因为a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a11=0，所以11a1+11×10d2=0，所以a1+5d=0，即a6=0．
当d=0时，此时|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|=0(n≥3,n∈N∗)，
与归化数列的条件|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|=1(n≥3,n∈N∗)相矛盾．
当d>0时，由a1+a2+⋅⋅⋅+a5=−12,a6=0，
故5a1+5×42d=−12，又a1+5d=0，
联立解得d=130,a1=−16，
所以an=−16+n−130=n−630(n∈N+,n≤11)．
当d<0时，由a1+a2+⋅⋅⋅+a5=12，a6=0，同理解得d=−130,a1=16，
所以an=16−n−130=−n−630(n∈N+,n≤11)．
综上，当d>0时，an=n−630(n∈N+,n≤11)；
当d<0时，an=−n−630(n∈N+,n≤11)．
(3)由已知可得：必有ai>0，也必有aj<0(i,j∈{1,2,3,⋯,n}，i≠j)，
设ai1，ai2，⋯，aip为ai中所有大于0的数，aj1，aj2，⋯，ajm为aj中所有小于0的数，
由已知得X=ai1+ai2+⋯+aip=12，Y=aj1+aj2+⋯+ajm=−12
所以a1+12a2+⋯+1nan=k=1paikik+k=1majkjk≤k=1paik+1nk=1majk=12−12n． N
2
3
4
5
11
12
13
14
15
lgN
0.30
0.48
0.60
0.70
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网