湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设复数满足(i是虚数单位),则( )
A.B.C.D.
2．在中,“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为( )
A.0.9B.0.8C.0.7D.0.2
4．若m,n,l表示不同的直线,,表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
5．下列命题正确的是( )
A.对于任意非零向量,,,若向量,在向量上的投影向量相等,则
B.若,则一定成立
C.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线
D.若,且,则与所在直线的夹角是
6．在中,,若,则的值为( )
A.B.C.D.
7．在中,,,,O是的内心,若,其中x,,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A.B.C.D.
8．球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为R，球缺的高为h，则球缺的体积. 圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,则( )
A.
B.若,则
C.若,则
D.
10．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则( )
A.，，，的平均数等于，，…，，的平均数
B.，，，的中位数等于，，…，，的中位数
C.，，，的标准差不小于，，…，，的标准差
D.，，，的极差不大于，，…，，的极差
11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是( )
A.
B.G到平面DEF的距离为
C.若面EFP，则二面角的余弦值为
D.四面体外接球表面积为
三、填空题
12．__________.（i为虚数单位）
13．已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为__________.
14．如图，在平面中，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.
(1)求a的值；
(2)求所有受灾居民的经济损失的平均值；
(3)现按照分层抽样的方法从经济损失在的居民中随机抽取8人，则在的居民有多少人.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求A;
（2）若,的面积为,求的周长.
17．已知向量,的夹角为,且.
（1）若,求的坐标;
（2）若,,求的最小值.
18．某校举行围棋比赛,甲､乙､丙三人通过初赛,进入决赛.决赛比赛规则如下:首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛,丙轮空;第一局比赛结束后,胜利者和丙进行比赛,失败者轮空,以此类推,每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛,直到一人累计获胜三局,则此人获得比赛胜利,比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为,且每局比赛相互独立.
（1）求丙每局都获胜的概率;
（2）求甲获得比赛胜利的概率.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,,.
（1）M为PC上一点,且,当平面DMB时,求实数的值;
（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l,证明面ABCD;
（3）当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为时,求PC与平面ABCD所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：,,.
2．答案：A
解析：由,则或,
所以能推出,但推不出,
故“”是“”的充分而不必要条件.
3．答案：C
解析：甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.
则密码被破译的概率为:.
故选：C.
4．答案：B
解析：在正方体中,记平面ABCD为平面,平面DCGH为平面,EF
为m,EH为n,AE为l,
对于A选项,,,但m和n相交,所以A错;
对于选项,,,但m和n相交,所以C错;
对于选项,,,但与相交,所以D
错;
对于B选项,由线面垂直的性质可知B对;
5．答案：D
解析：对于A,由投影向量定义知,
则,不一定相等,所以A错误;
对于B,若,则有,
故不一定成立,所以错误;
对于C,向量与是共线向量,
则A,B,C,D四点一定共线,显然不正确,
可能,即C错误;
对于,设,,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则,,
,,是等边三角形,
.在菱形OACB中,对角线OC平分,与所在直线的夹角为.
所以D正确.
6．答案：A
解析：因为,所以D为AB上靠近点A的三等份点,
所以,
因为,所以,,所以,
7．答案：B
解析：在中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
由余弦定理,得.
设的内切圆的半径为r,则,解得,
所以.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.
8．答案：A.
解析：作圆锥的轴截面，轴截面与球O内接圆锥底面交于
所求体积即为球缺与内接圆锥的体积之差
轴截面顶角为α，，设圆锥底面半径为r，则，即
则圆锥的高为，则
球缺的高为，则
.
故选A.
9．答案：ACD
解析：显然,A对,
得:或,B错,
,,C对,
,D对
10．答案：BD
解析：对于选项A：，不确定，，，…，的平均数不确定，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；
对于选项B：不妨设，则，，，的中位数为，，，，，，的中位数为，故B正确；
对于选项C：，，，，，的波动性不小于，，，的波动性，，，，的标准差不大于，，，，，的标准差，故C错误；
对于选项D：不妨设，则，，即，，，的极差不大于，，，，，的极差，故D正确.
故选BD.
11．答案：ACD
解析：A项:连BD，EF可知.又因为，，，所以面EFG，所以.又因为，所以面BDG，所以，故A项正确;
B项:因为，，所以为，所以，故又因为，故G到面DEF的距离（等体积法），故B项错误;
C项:令，连GH，HP.因为面EFP，面BDG，面面，所以，.又因为面BDG，所以，，所以即为二面角的平面角.又因为面EFG，所以，故在中，.又因为，故在中，由余弦定理的推论:，故二面角的余弦值为，C项正确;
D项:由于EG，FG，DG两两互相垂直，不妨将三棱雉放置于一个长宽均为2、高为4的长方体中，其外接球半径，故其表面积，D项正确;故选ACD.
12．答案：0
解析：
13．答案：2
解析：圆锥的底面半径为1,侧面展开图的弧长为,
又侧面展开图是半圆,侧面展开图的半径为2,即圆锥的母线长为2,
14．答案：
解析：若D 为BC 中点, 令 ， 夹角为, 如下图示,
又且,
此时, 当 时 最小值为 -2 ;
由, 则;
此时, 当 时 最大值为 6 ;
综上, 的取值范围是.
故答案为:.
15．答案：(1)
(2)3360元
(3)6
解析：（1）依题意，，解得.
（2）所有受灾居民经济损失的平均值为元.
（3）由（1）得经济损失在和在的人数比例为，
由分层抽样知，经济损失在的居民有人.
16．答案：（1）
（2）18
解析：（1）由及正弦定理得:
因为,
所以.
由于,
所以.
又,故.
（2）由题得的面积,故①
由余弦定理得:,
又,故②,
由①②得:
所以的周长为.
17．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）设,由,得,即,
而向量,的夹角为,则,又
,即,解得,于是,即有或,
所以的坐标是或.
（2）由,得,即,因此,
,
因此
,当且仅当时取等号,
所以当时,取得最小值.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）丙每局都获胜有以下两种情况:第一局甲获胜,后三局丙获胜;第一局乙获胜,后三局丙获胜,
第一局甲获胜,后三局丙获胜的概率,
第一局乙获胜,后三局丙获胜的概率,
丙每局都获胜的概率.
（2）设甲获胜为事件A,乙获胜为事件,丙获胜为事件,
比赛进行三局,甲获胜的概率为,
比赛进行五局,有以下6种情况:AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,
BCAAA,
甲获胜的概率为,
比赛进行七局,有一下8种情况:
AABCCBA,АСВBСАА,АСВАСВА,АССАВBA,ВВАССАА,ВСААСВА,
BCABCAA,BCCBAAA
甲获胜的概率为,
故甲获得比赛胜利的概率为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）如图,连接AC交BD于点N,连接MN,
平面BDM,平面PAC,平面平面,,
在梯形ABCD中,,,,
,,.
（2）,平面PAD,平面PAD,面PAD,
又面PBC,面面,,
又面ABCD,面ABCD,面ABCD.
（3）取AD的中点O,连接OP,OB,
为AD的中点,且,,
且四边形OBCD为平行四边形,
,
,,,
又,为等边三角形,
又,为等边三角形,,
,平面POB,平面POB,平面POB,
平面POB,,
过点P作,由,则.平面PAD,平面PBC,
即平面平面,,,
为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角,.
又由,,,
,,
,平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,
为PC与平面ABCD所成的角,
,
,
因此,PC与平面ABCD所成角的正弦值为