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2024年山东省德州市夏津县中考二模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年山东省德州市夏津县中考二模数学试题（原卷版+解析版），共38页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
第I卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是（ ）
A. B. C. D.
6. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
7. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. AP＝BQB. PQ∥AB
C. ∠ABP＝∠PBQD. ∠APQ+∠ABQ＝180°
8. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ）
A. B. 1.5C. 1D.
9. 如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（ ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，）
A. B. C. D.
10. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ）
A. B. 3C. D.
12. 如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①当秒时，
②
③当时，
④当秒时，平分四边形的面积．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分．
13. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为________．
14. “在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位：
①小明：表示我座位的坐标为；
②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了；
③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了．
则小亮座位的坐标为________．
15. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．
16. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．
17. 某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________．
18. 如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 _____．
三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
19 （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20. 为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
图表①
（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
（2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
（3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
21. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，若的面积与的面积相等，求点E的坐标．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
23. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积．
24. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
（3）如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值．
25. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
夏津县2023-2024学年第二次模拟考试
九年级数学学科试题
（全卷满分150分，考试时间为120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
第I卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值：数轴上的数离原点之间的距离叫做这个数的绝对值，根据 即可得出答案．
【详解】解：，
的绝对值：3．
故选：B．
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键．根据所给数轴得出，，的正负及它们绝对值的大小，据此可解决问题．
详解】解：A．由所给数轴可知，，且，所以，即，故A正确；
B．，则，故B正确；
C．，则，故C正确；
D．，则，，故D错误；
故选：D．
4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
【详解】解：由表知丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于甲、乙的平均数，
从丙、丁中选择一人参加竞赛，
丙、丁二人中，丁的方差较小，
丁发挥最稳定，
选择丁参加比赛．
故选：D
5. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键．根据旋转的性质得出，再求出的度数即可解决问题．
【详解】解：，平分，
．
由旋转可知，
．
又，
，
旋转的角度为．
故选：C
6. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵有两个实数根，
∴，
∴；
故选：C．
7. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. AP＝BQB. PQ∥AB
C. ∠ABP＝∠PBQD. ∠APQ+∠ABQ＝180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图过程即可判断．
【详解】解：∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴∠APQ+∠ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选：C．
本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理．
8. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ）
A. B. 1.5C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查垂径定理、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”、勾股定理、切线的性质定理等知识，求得并且证明是解题的关键．根据垂径定理得，可证明，则，求得，由是的切线，证明，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：是的半径，是的弦，且，于点，
，，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故选：A
9. 如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（ ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明四边形是矩形，得到，然后分别在和中，利用三角函数关系求出和即可．本题考查解直角三角形的应用，涉及到矩形的判定和性质，利用好这个桥梁是解题的关键．
【详解】解：，，
，，
，
四边形是矩形，
，
∵和均为直角三角形
在中，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
故选：A．
10. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
11. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识．先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．
【详解】解：如图：
连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：A．
12. 如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①当秒时，
②
③当时，
④当秒时，平分四边形的面积．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象分析，根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．
【详解】解：由图2可知，
动点运动过程分为三个阶段：
（1）段， 函数图象为抛物线，运动图形如图所示．
此时点P在线段上、点Q在线段上运动，
为等边三角形，其边长：高
，
由函数图象可知，当秒时，，故符合题意，
（2）段，函数图象为直线，运动图形如图所示，
此时点P在线段上、点Q在线段上运动，
由函数图象可知，此阶段运动时间，
故符合题意，
设直线的解析式为：将代入得：
解得：
故选项不符合题意，
（3）段，函数图象为直线，运动图形如图所示，
此时点P、Q均在线段上运动，
设梯形高为h，则
，
当时，则
，
，
即平分梯形的面积，故符合题意，
综上所述，符合题意的有3个，
故选：C．
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分．
13. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：将数据0.000000007用科学记数法表示，
故答案为：．
14. “在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位：
①小明：表示我座位的坐标为；
②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了；
③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了．
则小亮座位的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标确定位置．根据小明座位的坐标为，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵小明座位的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∵小旗帜位置的坐标为，
∴小亮座位的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
，
，
又点是的中点，
，
，
故答案为：．
本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．
16. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：17．
17. 某商场在“五·一”当天将定价为200元某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用该玩具经过两次降价后的价格该玩具的定价每次降价的百分率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率为．
故答案为：．
18. 如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 _____．
【答案】2或##或2
【解析】
【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，，
，
，
如图，当落在的垂直平分线上时，
，
将绕点顺时针旋转，
，
当点落在的垂直平分线上时，连接，设的垂直平分线与交于点，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或，
故答案为：2或．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）首先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）根据分式的运算法则化简，再代入a即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
当时，原式．
此题考查了化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
20. 为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
图表①
（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
（2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
（3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
【答案】（1）90；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数，列表法或画树状图求概率．
（1）根据众数和中位数的定义求解；
（2）根据图表①，利用加权平均数即可求解；
（3）画出树状图即可求解．
【小问1详解】
解：由图表②知，90出现的次数最多，故众数为90；
中位数为：；
故答案为：90；；
【小问2详解】
解：；
答：计算1号参赛试题在第一环节中的得分为；
【小问3详解】
解：几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别有1、2、3、4表示，画出的树状图如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
则抽到推理能力、模型观念的概率为：．
21. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，若的面积与的面积相等，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式．
（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
将点，点代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入中，
，
解得：，
，
将代入，
，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，
∵，
，
，
∵的面积且与的面积相等，
∴E点在过D点且与平行的直线上，即，
，
设，
则，
，
解得，（不合题意，舍去）
，
∴．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式．
（1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可；
（2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，．
方案2：设，
则，
∴．
∵，当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为．
23. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线．
（1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线；
（2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
在 中，由三角形内角和得：
，
，
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：由（1）得，
为直角三角形，
，，
，，，
，
，，
，，
，
图中阴影部分的面积为．
24. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
（3）如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析
（3）2
【解析】
【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
（1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证；
（2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证；
（3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，易证得，，则可证得，，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：正方形中，
∵
，，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：成立．证明：
如图，过点作于，过点作于，
四边形为正方形，
平分，
又，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，
则，
，，
，，
，，
，即，
，
，
，
，
，
．
25. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【答案】（1）② （2）；、
（3）
【解析】
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：作出；；；图像，如图所示：
与图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
【小问2详解】
解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、；
【小问3详解】
解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：
联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，
，
由得到，即．
本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．
甲
乙
丙
丁
8
8
9
9
1.2
0.4
1.8
0.4
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
甲
乙
丙
丁
8
8
9
9
1.2
0.4
1.8
0.4
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
第I卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是（ ）
A. B. C. D.
6. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
7. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. AP＝BQB. PQ∥AB
C. ∠ABP＝∠PBQD. ∠APQ+∠ABQ＝180°
8. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ）
A. B. 1.5C. 1D.
9. 如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（ ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，）
A. B. C. D.
10. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ）
A. B. 3C. D.
12. 如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①当秒时，
②
③当时，
④当秒时，平分四边形的面积．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分．
13. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为________．
14. “在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位：
①小明：表示我座位的坐标为；
②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了；
③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了．
则小亮座位的坐标为________．
15. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．
16. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．
17. 某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________．
18. 如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 _____．
三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
19 （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20. 为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
图表①
（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
（2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
（3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
21. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，若的面积与的面积相等，求点E的坐标．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
23. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积．
24. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
（3）如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值．
25. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
夏津县2023-2024学年第二次模拟考试
九年级数学学科试题
（全卷满分150分，考试时间为120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
第I卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值：数轴上的数离原点之间的距离叫做这个数的绝对值，根据 即可得出答案．
【详解】解：，
的绝对值：3．
故选：B．
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键．根据所给数轴得出，，的正负及它们绝对值的大小，据此可解决问题．
详解】解：A．由所给数轴可知，，且，所以，即，故A正确；
B．，则，故B正确；
C．，则，故C正确；
D．，则，，故D错误；
故选：D．
4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
【详解】解：由表知丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于甲、乙的平均数，
从丙、丁中选择一人参加竞赛，
丙、丁二人中，丁的方差较小，
丁发挥最稳定，
选择丁参加比赛．
故选：D
5. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键．根据旋转的性质得出，再求出的度数即可解决问题．
【详解】解：，平分，
．
由旋转可知，
．
又，
，
旋转的角度为．
故选：C
6. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵有两个实数根，
∴，
∴；
故选：C．
7. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. AP＝BQB. PQ∥AB
C. ∠ABP＝∠PBQD. ∠APQ+∠ABQ＝180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图过程即可判断．
【详解】解：∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴∠APQ+∠ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选：C．
本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理．
8. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ）
A. B. 1.5C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查垂径定理、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”、勾股定理、切线的性质定理等知识，求得并且证明是解题的关键．根据垂径定理得，可证明，则，求得，由是的切线，证明，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：是的半径，是的弦，且，于点，
，，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故选：A
9. 如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（ ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明四边形是矩形，得到，然后分别在和中，利用三角函数关系求出和即可．本题考查解直角三角形的应用，涉及到矩形的判定和性质，利用好这个桥梁是解题的关键．
【详解】解：，，
，，
，
四边形是矩形，
，
∵和均为直角三角形
在中，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
故选：A．
10. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
11. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识．先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．
【详解】解：如图：
连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：A．
12. 如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①当秒时，
②
③当时，
④当秒时，平分四边形的面积．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象分析，根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．
【详解】解：由图2可知，
动点运动过程分为三个阶段：
（1）段， 函数图象为抛物线，运动图形如图所示．
此时点P在线段上、点Q在线段上运动，
为等边三角形，其边长：高
，
由函数图象可知，当秒时，，故符合题意，
（2）段，函数图象为直线，运动图形如图所示，
此时点P在线段上、点Q在线段上运动，
由函数图象可知，此阶段运动时间，
故符合题意，
设直线的解析式为：将代入得：
解得：
故选项不符合题意，
（3）段，函数图象为直线，运动图形如图所示，
此时点P、Q均在线段上运动，
设梯形高为h，则
，
当时，则
，
，
即平分梯形的面积，故符合题意，
综上所述，符合题意的有3个，
故选：C．
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分．
13. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：将数据0.000000007用科学记数法表示，
故答案为：．
14. “在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位：
①小明：表示我座位的坐标为；
②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了；
③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了．
则小亮座位的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标确定位置．根据小明座位的坐标为，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵小明座位的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∵小旗帜位置的坐标为，
∴小亮座位的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
，
，
又点是的中点，
，
，
故答案为：．
本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．
16. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：17．
17. 某商场在“五·一”当天将定价为200元某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用该玩具经过两次降价后的价格该玩具的定价每次降价的百分率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率为．
故答案为：．
18. 如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 _____．
【答案】2或##或2
【解析】
【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，，
，
，
如图，当落在的垂直平分线上时，
，
将绕点顺时针旋转，
，
当点落在的垂直平分线上时，连接，设的垂直平分线与交于点，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或，
故答案为：2或．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）首先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）根据分式的运算法则化简，再代入a即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
当时，原式．
此题考查了化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
20. 为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
图表①
（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
（2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
（3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
【答案】（1）90；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数，列表法或画树状图求概率．
（1）根据众数和中位数的定义求解；
（2）根据图表①，利用加权平均数即可求解；
（3）画出树状图即可求解．
【小问1详解】
解：由图表②知，90出现的次数最多，故众数为90；
中位数为：；
故答案为：90；；
【小问2详解】
解：；
答：计算1号参赛试题在第一环节中的得分为；
【小问3详解】
解：几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别有1、2、3、4表示，画出的树状图如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
则抽到推理能力、模型观念的概率为：．
21. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，若的面积与的面积相等，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式．
（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
将点，点代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入中，
，
解得：，
，
将代入，
，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，
∵，
，
，
∵的面积且与的面积相等，
∴E点在过D点且与平行的直线上，即，
，
设，
则，
，
解得，（不合题意，舍去）
，
∴．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式．
（1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可；
（2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，．
方案2：设，
则，
∴．
∵，当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为．
23. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线．
（1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线；
（2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
在 中，由三角形内角和得：
，
，
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：由（1）得，
为直角三角形，
，，
，，，
，
，，
，，
，
图中阴影部分的面积为．
24. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
（3）如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析
（3）2
【解析】
【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
（1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证；
（2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证；
（3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，易证得，，则可证得，，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：正方形中，
∵
，，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：成立．证明：
如图，过点作于，过点作于，
四边形为正方形，
平分，
又，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，
则，
，，
，，
，，
，即，
，
，
，
，
，
．
25. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【答案】（1）② （2）；、
（3）
【解析】
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：作出；；；图像，如图所示：
与图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
【小问2详解】
解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、；
【小问3详解】
解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：
联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，
，
由得到，即．
本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．
甲
乙
丙
丁
8
8
9
9
1.2
0.4
1.8
0.4
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
甲
乙
丙
丁
8
8
9
9
1.2
0.4
1.8
0.4
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
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