2024年山东省德州市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若气温零上记作，则气温零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量．根据零上记作，则零下记作即可．
【详解】解：零上记作
零下记作．
故选：A．
2. 已知某几何体的主视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）
A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 三棱锥
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图．根据题意，逐项判断即可，具体见详解．
【详解】解：A.当长方体的宽与高相等时，主视图是正方形，此项不符合题意；
B.正方体的主视图是正方形，此项不符合题意；
C.当圆柱的高与底面直径相等时，主视图是正方形，此项不符合题意；
D.三棱锥的主视图是三角形，不是正方形，此项符合题意．
故选：D．
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：

故相同的概率为．
故选B．
【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
5. 如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A. 线段CD是ABC的AC边上的高线B. 线段CD是ABC的AB边上的高线
C. 线段AD是ABC的BC边上的高线D. 线段AD是ABC的AC边上的高线
【答案】B
【解析】
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．
6. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的配方．先将常数移项到右边，，再在左边配成完全平方即可．
【详解】解：
．
故选：C．
7. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
8. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴得N、P关于y轴对称，
∴选项A、C错误，
∵在同一个函数图象上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴选项D错误，选项B正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9. 如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由折叠的性质，矩形的性质可知，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，可求，则，如图，作于，则四边形是矩形，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
如图，作于，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，等角对等边，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形与折叠，等角对等边，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
10. 如图，分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的2倍少0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，
则可列方程为，
故选：A．
11. 如图，是半圆直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
12. 我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值C. 有最小值0D. 有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的性质，新定义运算的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先求解当，或，设，，分别画出函数的简图，再分类讨论即可．
【详解】解：设，，如图，
当，
解得：或，
当时，，
∴，
此时没有最大值，也没有最小值，
当时，，
∴，
此时当时，有最大值，最小值；
当时，，
∴，
此时没有最大值，也没有最小值，
综上：可得A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选B
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13. 计算的结果为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14. 如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【解析】
【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
15. 学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分． 两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是____．
【答案】李玉
【解析】
【分析】根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数进行计算即可．
【详解】解：王静得分：=80（分）
李玉得分：=81（分）
∵81分＞80分，
∴最终胜出的同学是李玉．
故答案为：李玉．
【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法．
16. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，则的面积为____．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数图象的性质可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∵点C在函数的图象上，且点C在第一象限，
∴，
∵轴，
∴，
故答案为：．
17. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
【答案】 ①. > ②. 1.27
【解析】
【分析】根据叶面的面积1；根据和，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵叶面的面积，1.27．
【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
18. 如图，在正方形中，点为的中点，连接，点在上，连接交于点，，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，设，，根据三角形中位线定理得，，根据三角形外角的性质及等角对等边得，，，结合正方形的性质得到，最后在中，由得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，设，，
∵，，
∴，，，
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在正方形中，，，
在中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，中点的定义，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19. （1）解方程组：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，分式的混合计算：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再计算分式乘法即可．
【详解】解：（1）
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）
．
20. 为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生．根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：
A，B两个县区的统计表
（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为___________名；
（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，做出判断，并说明理由．
【答案】（1）3750
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据A县区统计图得不小于三天比例，根据总数乘以比例即可得到答案；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据A县区统计图得，该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的比例为：
，
∴该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为：名，
故答案为：3750；
【小问2详解】
∵A县区和B县区的平均活动天数均为3.85天，
∴A县区和B县区的平均活动天数相同；
∵A县区的中位数是3，B县区的中位数是2.5，
∴B县区参加社会实践活动小于3天的人数比A县区多，从中位数看，A县区要好；
∵A县区的众数是3，B县区的众数是4，
∴A县区参加社会实践人数最多的是3天，B县区参加社会实践人数最多的是4天，从众数看，B县区要好．
【点睛】本题考查数据统计、平均数、中位数和众数，解题的关键是熟练掌握扇形统计图、平均数、中位数和众数的相关知识．
21. 为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
（2）当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
【答案】（1），
（2）分钟
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定反比例函数的解析式．
（1）药物燃烧后与函数关系式为，将点代入即可求解；
（2）将代入反比例函数的解析式，求出对应的值，即可求解．
【小问1详解】
解：药物燃烧后与的函数关系式为，
将点代入得：，
药物燃烧后与的函数关系式为，自变量取值范围是，
故答案为：，；
【小问2详解】
当时，，
解得：，
从消毒开始，至少需要分钟后，学生才能回到教室．
22. 如图，是的直径，点C、E在上，连接、、，过点C作，交的延长线于点D，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练运用切线的判定、圆周角定理、解直角三角形是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理求出，进而推出，根据平行线的性质求出，再根据切线的判定定理即可得解；
（2）连接，由圆周角定理可知，，可得
再根据，结合勾股定理求得，即可求得．
【小问1详解】
证明：连接，
．
，
，
．
交延长线于，
，
，
．
，
为半径，
是的切线；
小问2详解】
如图，连接，
为的直径，
，
由圆周角定理可知，
，则
．
．
，
在中，，
，
，
，
．
23. 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
【答案】（1）；（2）210．
【解析】
【分析】（1）将，代入到，得到方程组，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式；
（2）将代入中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．
【详解】解：（1）设直线AB的函数关系式为，
将，代入可得：，
解得：，
∴直线AB的函数关系式．
故答案为：．
（2）将代入中，
可得：，
化简得：，
设总销售额为，则
∵，
∴有最大值，当时，取到最大值，最大值为735．
故答案为：210．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．
24. 如图，在等腰直角中，，是线段上一动点（与点不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．
（1）若，则______；（用含的式子表示）；
（2）求证：；
（3）猜想线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）由是等腰直角三角形，得，由，得，再由得；
（2）连接，设，由题知，垂直平分，易得是等腰三角形，即，再求出，又得，故，最后用等量代换可得结论；
（3）过点作于，则为等腰直角三角形，得，先用角角边证明，得，进而，再结合即可得出关系．
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，
故答案为：；
【小问2详解】
，理由如下：
如图，连接，设，
垂直平分
等腰三角形
平分
由（1）知，
；
【小问3详解】
如图，过点作于，
且为等腰直角三角形
在和中，，
由（2）知，
在和中
．
即．
25. 已知抛物线．
（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母的式子表示）；
（2）若该抛物线与轴交于点，（点在点A的右侧），且，求的值；
（3）当时，该抛物线上的任意两点，，若满足，，求的取值范围．
【答案】（1）该抛物线的对称轴为，顶点坐标
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接将函数解析式化成顶点式即可解答；
（2）先把函数解析式化成一般式，然后得到方程，再运用根的判别式确定a的取值范围以及公式法求得，最后根据列式求解即可；
（3）由题意可得该抛物线的对称轴为、开口向下，即当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；然后分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵
∴该抛物线的对称轴为，顶点坐标．
【小问2详解】
解：令，则方程有两个实数根
∴，则或
当时，
∴
∵
∴，解得不合题意舍弃，不合题意舍弃；
当时，
∴
∵
∴，解得：．
【小问3详解】
解：∵，
∴该抛物线的对称轴为,开口向下
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
当时，由，则；
当时，由抛物线的对称性可得和的函数值相同，又，则
综上，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、把二次函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解二次函数图像的性质是解答本题的关键．
普通话
体育知识
旅游知识
王静
80
90
70
李玉
90
80
70
平均数
众数
中位数
A县区
3.85
3
3
B县区
3.85
4
2.5