2024年山东省曲阜市中考一模考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：由无理数的定义可知，四个选项中只有C选项中的数是无理数，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，幂的乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将小数点点在左边起第一个非零数字的后面确定a，数出左边起第一个非零数字前面零的个数，取其相反数确定n，后写成的形式
【详解】∵0.00000201=，
故选C
【点睛】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法表示，熟练掌握其中a，n的确定方法是解题的关键．
4. 下列因式分解正确的一项是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；
C、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、，原因式分解错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义及因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义，提公因式法、平方差公式和完全平方公式．
5. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式的运用以及正切的定义，能够求出是本题解题关键．先根据扇形的面积公式求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：根据题意可知：，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
6. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是，当时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、的顶点是，故不符合题意；
B、的顶点是，故不符合题意；
C、的顶点是，当时，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、的顶点是，当时，y随x的增大而增大，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．
8. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽” ．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设6210文购买椽的数量为x株，可得一株椽的价钱为文，或文，从而可得答案．
【详解】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文，则
；
故选C
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
9. 如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）
A. B. 若实数，则
C. D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】先根据抛物线对称轴求出，再由抛物线开口向上，得到，则由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当时，，即可判断C；根据时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，，
∴当实数，则，
∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意；
∵当时，，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴，故D说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
10. 如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设BE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，DP的长为；
②EF＋GH的值随x的变化而变化；
③六边形AEFCHG面积的最大值是；
④六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x＝1时，求出BP＝BD，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，即可求出EF+GH的值，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③正确，利用周长的计算方法即可判定出④正确，综上即可得答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，BD＝=2，
∵翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF是等边三角形，
如图，设EF与BD交于M，GH于BD交于N，
当x＝1时，BM==，
∴BP＝2×＝，
∴DP=BD-BP=，故①正确；
∵BE＝x，△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝x，BM＝x，
∴BP＝2BM＝x，
∴DP＝BD﹣BP＝2﹣x，
∴DN＝DP＝-x，
同理可知：△DGH是等边三角形，
∴GH＝DG==2-x，
∴EF＋GH＝x+2-x=2，故②错误；
当0＜x＜2时，
∵BE＝EF=x，GH＝2-x，BM＝x，DN＝-x，
∴六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH
=
＝×2×2﹣
=
=，
∴当x＝1时，六边形AEFCHG面积最大，所以③正确，
∵EF=BE=BF，GH=DG=DH，EF+GH=2，
∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+AG+GH+FC+CH
=AE+BE+AG+DG+BC-EF+CD-GH
=AB+AD+BC+CD-（EF+GH）
=8-2
=6，故④正确，
∴正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】此题是四边形的综合及解直角三角形，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解直角三角形，解本题的关键是用x表示出相关的线段长．
第Ⅱ卷（非选择题共70分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥2．
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12. 经过某三岔路口的汽车，可能向左转或向右转．如果这两种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个三岔路口时，至少有2辆车向左转的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．
【详解】解：如图：三辆车经过三岔路口，

∴所有等可能的结果数有8个，至少有2辆车向左转的结果数有4个；
∴至少有2辆车向左转的概率是．
故答案为：．
13. 已知关于x的方程无解，方程的一个根是m，则方程的另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程无解，求出，然后把代入方程中求出的值，再设方程的另外一个根是，由一元二次方程根于系数的关系得到，由此求解即可．
【详解】解:方程去分母得
解得：
分式方程无解，
，即
,解得,
把代入方程得：,
解得;
设方程的另外一个根是，
由一元二次方程根于系数的关系得到：,
解得：,
方程的另一个根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟知以上相关知识是解题的关键．
14. 如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合．先求得每个小正方形的边长，再求得与，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：作轴于点，
∵，，且，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：24．
15. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组：
（1）原式根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根以及特殊三角函数值化简各项后再合并后即可得到答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可
【详解】解：
；
（2）
解不等式，得，，
解不等式，得，，
所以，不等式组的解集为：
17. 体育是山东省中考的必考科目，现随机抽取八年级部分学生进行“你最想选择哪个考试科目？”的问卷调查，参与调查的学生需从A、B、C、D、E五个选项（A：引体向上；B：仰卧起坐；C：立定跳远；D：实心球；E：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息完成以下问题：
（1）参加本次调查的一共有______名学生；在扇形统计图中，“D”所在扇形则心角的度数是______；
（2）请你补全条形统计图；
（3）已知某中学八年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计八年级最想选择“立定跳远”的学生有多少人？
【答案】（1）150；；
（2）见解析 （3）225人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）从两个统计图中，可得到选项A的频数为30人，占调查人数的，可求出调查人数，求出D选项所占整体的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（2）求出B选项、C选项的人数即可补全条形统计图；
（3）用750乘样本中C选项所占的百分比可得答案．
【小问1详解】
解：（人），．
故答案为：150，；
【小问2详解】
解：C组人数为（人），
B组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人）．
答：该中学初二年级750名学生中最想选择“立定跳远”的大约有225人．
18. 如图，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连结交于点F，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到，利用等腰三角形性质得到，利用同圆中，等弧所对的圆周角相等得到，推出，即可证明与相切；
（2）利用，推出，利用勾股定理得到，推出，由题证明，得到，设，，利用勾股定理建立方程求解，即可解题．
【小问1详解】
解：与相切，
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
E为弧中点，
，
，
，
为直径，
是的切线
【小问2详解】
解：的半径为4，
，
在中，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，由勾股定理得，
或（负数舍去），
即．
【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形性质，在同圆中等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理，并灵活运用．
19. 贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
请你根据以上测量报告，求古树的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】根据垂直定义可得，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据题意可得：，从而证明，进而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
设米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴（米），
又∵，
∴
∴，
∴，
解得，
经检验是原分式方程的解，
∴（米）
∴古树的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【小问1详解】
解：根据题意得，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，
自变量x的取值范围是
【小问2详解】
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当，W随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21. 实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）40米
【解析】
【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可；
（2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出即可；
（3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案．
【详解】（1）如图，过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）把代入中，
得：，
∴，
把代入，
得：，
∴，
∴双曲线的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
检验，，都是所列方程的解，不合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，作，使与双曲线只有一个交点，
设直线的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线的解析式为，
由，
解得：，
检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，
得，
解得：，
∴
联立得：，
解得：或，
检验，或都是所列方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用．作出辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的性质，函数与方程，两函数图象交点个数的判定，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，是解题的关键．
22. 如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线绕点B逆时针方向旋转，点，为点M，A旋转后的对应点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：点A，M，在同一条直线上；
（3）若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，或或或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，旋转变换，平行四边形等知识：
（1）设抛物线的解析式为，把代入得抛物线的解析式为；
（2）根据旋转的性质求出，求出直线的解析式，代入的横坐标，求出，即可判断三点共线索；
（3）根据中点坐标公式求出，把原抛物线对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，设，分三种情况列方程组可解得答案．
【小问1详解】
解：由抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴；
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线
∵，
∴，
∴
由旋转得，轴于点B，
∴；
设直线的解析式为，
把代入得，
∴
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点直线上，
∴三点在同一条直线上；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
∵，，
∴，即；
原抛物线的对称轴为直线，绕逆时针方向旋转得直线，
设，而，，
①若为对角线时，则的中点重合，
解得，
∴点的坐标为；
②若为对角线时，
∴
此方程组无解；
③若为对角线时，
∴
解得，
∴点的坐标为，；
综上，点的坐标为或或或
课题
测量古树的高度
测量工具
平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明

说明：①D、C、B、F四点共线，、均垂直于
②平面镜大小忽略
③测倾器高度忽略
测量数据
小刚眼睛与地面高度米，小刚到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米，
参考数据
，，