中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编【六大题型+优选提升题】（原卷版）

这是一份中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编【六大题型+优选提升题】（原卷版），共15页。
中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
模型1：中位线模型
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC.
中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.
模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）.
模型2：直角三角形斜边中线模型
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，若AD为斜边上的中线，则：
（1）；（2），为等腰三角形；（3），．

图1 图2
拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．
模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）
模型3：中点四边形模型
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.
中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.
结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形.

图1 图2 图3 图4
结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）
如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形.
结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）
如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形.
结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形.
推广与应用
1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.
2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的.
与三角形中位线有关的求解问题
例题：（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．

【变式训练】
1．（23-24九年级上·重庆万州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为 ．

2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则 ．
三角形中位线与三角形面积问题
例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．

【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则的值为 ．
2．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．

与三角形中位线有关的证明
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，延长线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【变式训练】
1．（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)当、所在直线存在什么关系时，．
2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边中，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别是，，的中点．
(1)观察猜想
图1中的形状是______；
(2)探究证明
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，的形状是否发生改变？并说明理由．
三角形中位线的实际应用
例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取的中点M，N，测得，则A，B两点间的距离是 ．

【变式训练】
1．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 A，B 两点的距离，同学们在 外选择一点 C，测得，两边中点的距离为 15m，则 A，B 两点的距离是 m．

2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是
直角三角形斜边中线模型
例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，则的长为 ．
中点四边形模型
例题：（22-23八年级下·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ．
【变式训练】
1．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．
(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________
2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
一、单选题
1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
3．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（ ）

A．2B．C．1D．
4．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A．10B．12C．16D．18
6．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）

A．4B．6C．D．8
二、填空题
7．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ．
8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
9．（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 ．
10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ．
11．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ．
12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、边上的点，且的长为4，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．

(1)求证：．
(2)若，求的度数．
14．（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，是边上的中线．
求证：．
证明：如图1，延长到点，使得，连接．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：．
15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．

16．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知，，点D是的中点，连接，把线段沿射线方向平移得到线段，点F在射线上，连接.
(1)如图1，当点F与点B重合时，求证：；
(2)如图2，当经过的中点G时，连接，若，求证：；
(3)如图3，，F在的延长线上，连接，当时，求证：.
17．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，E、F分别是的中点．
(1)如图1，若M是的中点，求证：．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与的延长线交于点M、N，求证：．
(3)如图3，在中，，D点在上，，E、F分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并说明理由．
18．（21-22八年级下·福建泉州·期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形.