中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编【六大题型+优选提升题】（解析版）

这是一份中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编【六大题型+优选提升题】（解析版），共65页。
中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
模型1：中位线模型
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC.
中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.
模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）.
模型2：直角三角形斜边中线模型
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，若AD为斜边上的中线，则：
（1）；（2），为等腰三角形；（3），．

图1 图2
拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．
模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）
模型3：中点四边形模型
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.
中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.
结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形.

图1 图2 图3 图4
结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）
如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形.
结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）
如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形.
结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形.
推广与应用
1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.
2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的.
与三角形中位线有关的求解问题
例题：（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．

【变式训练】
1．（23-24九年级上·重庆万州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为 ．

2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则 ．
三角形中位线与三角形面积问题
例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．

【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则的值为 ．
2．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．

与三角形中位线有关的证明
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，延长线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【变式训练】
1．（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)当、所在直线存在什么关系时，．
2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边中，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别是，，的中点．
(1)观察猜想
图1中的形状是______；
(2)探究证明
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，的形状是否发生改变？并说明理由．
三角形中位线的实际应用
例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取的中点M，N，测得，则A，B两点间的距离是 ．

【变式训练】
1．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 A，B 两点的距离，同学们在 外选择一点 C，测得，两边中点的距离为 15m，则 A，B 两点的距离是 m．

2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是
直角三角形斜边中线模型
例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，则的长为 ．
中点四边形模型
例题：（22-23八年级下·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ．
【变式训练】
1．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．
(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________
2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
一、单选题
1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
3．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（ ）

A．2B．C．1D．
4．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A．10B．12C．16D．18
6．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）

A．4B．6C．D．8
二、填空题
7．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ．
8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
9．（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 ．
10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ．
11．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ．
12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、边上的点，且的长为4，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．

(1)求证：．
(2)若，求的度数．
14．（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，是边上的中线．
求证：．
证明：如图1，延长到点，使得，连接．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：．
15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．

16．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知，，点D是的中点，连接，把线段沿射线方向平移得到线段，点F在射线上，连接.
(1)如图1，当点F与点B重合时，求证：；
(2)如图2，当经过的中点G时，连接，若，求证：；
(3)如图3，，F在的延长线上，连接，当时，求证：.
17．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，E、F分别是的中点．
(1)如图1，若M是的中点，求证：．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与的延长线交于点M、N，求证：．
(3)如图3，在中，，D点在上，，E、F分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并说明理由．
18．（21-22八年级下·福建泉州·期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形.
中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编之六大题型
中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
模型1：中位线模型
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC.
中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.
模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）.
模型2：直角三角形斜边中线模型
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，若AD为斜边上的中线，则：
（1）；（2），为等腰三角形；（3），．

图1 图2
拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．
模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）
模型3：中点四边形模型
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.
中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.
结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形.

图1 图2 图3 图4
结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）
如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形.
结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）
如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形.
结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形.
推广与应用
1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.
2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的.
与三角形中位线有关的求解问题
例题：（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．

【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
【详解】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
点为边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：3
【变式训练】
1．（23-24九年级上·重庆万州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为 ．

【答案】4
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，能熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解决问题的关键，根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，得到，根据等腰三角形的判定得出 ，即可求出．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理等知识．连接，取中点，连接，，由三角形中位线定理推出，，，，再证明，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，取中点，连接，，交于点H．
∵，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
∵，，
∴，
∵，
，
∴在中，．
故答案为：
三角形中位线与三角形面积问题
例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．

【答案】/0.6
【分析】取中点可证得，进一步推出故可得出结论．
【详解】解：取中点，则是中位线，
∴，
，
∴，
∴
设，则，，
∴，
故答案为．

【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则的值为 ．
【答案】4
【分析】取的中点H，连接，根据三角形的中位线定理可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形的面积相等可得，再求出，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，即可得解答案；
【详解】解：取的中点H，连接，
∵点H是的中点，是的中位线，
∴，，
∴，
∵F是的中点，，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线进行解题是解题的关键．
2．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．

【答案】8
【分析】根据中线的性质，可得，同理可得，，，即可得到四边形的面积．
【详解】解：∵点D，E，F，G分别是，，，的中点，
∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
∴，
同理可得：，，，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形中线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
与三角形中位线有关的证明
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，延长线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理即可得到结论．
（1）根据三角形中位线定理得到，，求得，同理，，等量代换即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵P是的中点，M是的中点，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)当、所在直线存在什么关系时，．
【答案】(1)是等腰三角形，见解析
(2)当时，，见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质；
（1）根据三角形中位线定理可得，，结合已知证明即可；
（2）延长、交于点E，根据平行线的性质得到，，结合，即可得到此时．
【详解】（1）是等腰三角形；
证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）当时，；
证明：如图，延长、交于点E，
由（1）得：，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，即．
2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边中，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别是，，的中点．
(1)观察猜想
图1中的形状是______；
(2)探究证明
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，的形状是否发生改变？并说明理由．
【答案】(1)等边三角形
(2)不发生改变，理由见解析
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
（1）利用三角形的中位线定理证明，再证明即可解决问题．
（2）的形状不发生改变，仍为等边三角形．如图2中，连接，．证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：结论：是等边三角形．
理由：如图1中，
是等边三角形，
，，
，
，
，，，
，，，，
，，，
，
是等边三角形．
（2）解：的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：
如图2中，连接，．
由旋转可得，
是等边三角形，
，，
又，
，
，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，且．
同理可证且，
，，，
，
，
是等边三角形．
三角形中位线的实际应用
例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取的中点M，N，测得，则A，B两点间的距离是 ．

【答案】
【分析】
根据三角形中位线定理进行求解即可．
【详解】解：∵的中点分别为M，N，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理的内容是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 A，B 两点的距离，同学们在 外选择一点 C，测得，两边中点的距离为 15m，则 A，B 两点的距离是 m．

【答案】30
【分析】根据题意得出为的中位线，然后利用其性质求解即可．
【详解】解：∵点D、E为的中点，
∴为的中位线，
∵，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．
2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是
【答案】
【分析】由等边三角形的性质得到，由中点定义得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
，
分别是的中点，
，
是的中位线，
，
需要篱笆的长是．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到．
直角三角形斜边中线模型
例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质得、结合直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵为直角三角形斜边中线，
∴
∴．
故答案为：4．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理．作关于的对称图形，连接，当点P在上时，最小，，再根据三角形中位线定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，作关于的对称图形，连接，
∵在中，，，，
∴，
当点P在上时，最小，
此时：，
∵点Q是的中点，点C是的中点，
∴，即的最小值为
故答案为：
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，则的长为 ．
【答案】 /52度
【分析】本题主要考查了勾股定理和翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（1）依据△是等腰三角形，，即可得到的度数；
（2）如图所示，连接，过作于，过作于，依据，即可得到，进而得出，再根据勾股定理，即可得到中，的长，即可得到的长．
【详解】解：（1）为斜边的中点，
，
由折叠可得，
，即△是等腰三角形，
在中，为斜边的中点，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：；
（2）如图所示，连接，过作于，过作于，
在中，，
由折叠可得，，，
垂直平分，
，
，，
又，
，
∴，
，
是的中线，
，
即，
，
，
中，，
．
故答案为：．
中点四边形模型
例题：（22-23八年级下·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ．
【答案】2
【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可．
【详解】解：连接，，交于点M，
∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，
∴，同理：，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
【变式训练】
1．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．
(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________
【答案】(1)见解析
(2)3.5
【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由矩形的判定与性质得出答案．
【详解】（1）证明：连接BD，
∵E、F分别为AD、AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=BD，EF∥BD，
同理，GH=BD，GH∥BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴DH=AF=CH=BF，
∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形，
∴AD=HF=BC，DC=EG=AB，
∴S四边形EFGH=EG•HF＝AB•BC，
∵四边形ABCD的面积是7cm2，
∴AB•BC=7cm2，
∴四边形EFGH的面积是3.5cm2，
故答案为：3.5．
【点睛】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2）
【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论；
拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案．
【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故选：D；
性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD；
理由如下：如图1，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故答案为：AC⊥BD，AC=BD；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MNBG，MN=BG，
RLBG，RL=BG，
RNCE，RN=CE，
MLCE，ML=CE，
∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴▱MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MNBG，MLCE，
∴∠LMN=90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：（1）MN=AC，理由如下：
如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN===FM，
∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM=AC，
∴MN=AC；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
连接BD交AC于O，连接OM、ON，
当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2（OM+ON） 2MN，
由性质探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2（OM+ON）=AB+CD，
∴AB+CD2MN，
由拓展应用（1）知：MN=AC；
又∵AC=2，
∴MN=，
∴AB+CD的最小值为2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
一、单选题
1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：，分别是，的中点，，
，
在中，是的中点，，
，
由勾股定理得：，
故选：C
2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】D
【分析】直接利用三角形中位线的性质以及正方形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且．
理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴菱形是正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接，构造平行线．
3．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（ ）

A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【详解】∵，分别是，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
4．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：过点作交于，
则，
在和中，
，
，
，，
，是的中点，
，
，
的面积为2
的面积为6，
故选：．
5．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A．10B．12C．16D．18
【答案】B
【分析】本题考查平行线性质，中位线性质定理，等边三角形性质及判定，三角形周长等．根据题意可得，再根据平行线性质可得，继而得到是等边三角形，再利用周长公式即可得到本题答案．
【详解】解：∵P、N是和的中点，，，
∴，，
∴，
同理，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长是12．
故选：B．
6．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）

A．4B．6C．D．8
【答案】D
【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴当时，取得最大值，即的最大值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键．
二、填空题
7．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．
【详解】解：是公路的中点，
，
，
，
，两点间的距离为．
故答案为：．
8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
【答案】300
【分析】本题考查三角形中位线的的应用，根据“三角形中位线等于第三边的一半”即可求解．
【详解】解：如图，周长为600米，分别为的中点，
则均为的中位线，
（米），
即水渠的总长为300米，
故答案为：300．
9．（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意求得第二、三个矩形的面积，找到规律，依此类推，第n个矩形的面积为，而第1个菱形的面积为第1个矩形面积的一半，据此即可求解．
【详解】解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是
…
∴故第n个矩形的面积为：
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识．由折叠的性质可得，可证得是等边三角形，从而得到，根据题意得：当时，最短，过M作于H，取的中点N，连接，根据直角三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵O为AD的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据题意得：当时，最短，
过M作于H，取的中点N，连接，如图，
在中，N是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
11．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的规律，根据题意可知，的周长=的周长，的周长的周长，根据规律即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，的周长=的周长，
的周长的周长，
所以的周长的周长，
故答案：．
12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、边上的点，且的长为4，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．作点A关于的对称点H，连接，，，可知当H、P、G、D共线时，最小，求出、长即可．
【详解】解：作点A关于的对称点H，连接，，，如图所示：
∵，
∴当H、P、G、D共线时，最小，
∵，，
∴，，
∵的长为4，点为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．

(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36度
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论．
（2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是边上的高线，
，
是边上的中线，
，
，
，
点为的中点，
．
（2）解：连接，

则，
点为的中点，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
∵
，
，
．
14．（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，是边上的中线．
求证：．
证明：如图1，延长到点，使得，连接．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可；
（2）由直角三角形斜边中线的性质得，进而可证，然后证明是线段的垂直平分线即可．
【详解】解：（1）是边上的中线，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，
．
（2）如图，连接．
是边上的高，是边上的中线，
，是的中点．
．
，
．
．
是的中点，
．
是线段的垂直平分线．
．
15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．

【答案】[三角形中位线定理]见解析；[应用]；[拓展]见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论；
[应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可；
[拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【详解】解：[三角形中位线定理]，；
理由：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，；
[应用]连接，如图所示，
、分别是边、的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
；
[拓展]证明：取的中点，连接、．
、分别是、的中点，
是的中位线，
且，
同理可得且．
，
，
，，
，，
，
，
．
16．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知，，点D是的中点，连接，把线段沿射线方向平移得到线段，点F在射线上，连接.
(1)如图1，当点F与点B重合时，求证：；
(2)如图2，当经过的中点G时，连接，若，求证：；
(3)如图3，，F在的延长线上，连接，当时，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质，得到，由平移的性质得到四边形是平行四边形，推出四边形是菱形，得到；
（2）由平移的性质得到四边形是平行四边形，因此，而，得到，证明是等边三角形，推出，又，因此；
（3）由平移的性质，推出四边形是矩形，于是可以证明，推出，得到是等腰直角三角，因此．
【详解】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，
∴，
由平移的性质得：，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）证明：连接,如图，
由平移的性质得：四边形是平行四边形，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴,
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴是等腰直角三角形，
∵D是中点，
∴，
由平移的性质得：四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是由平移的性质，推出四边形DCEF是平行四边形．
17．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，E、F分别是的中点．
(1)如图1，若M是的中点，求证：．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与的延长线交于点M、N，求证：．
(3)如图3，在中，，D点在上，，E、F分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据E、M是的中点，证明是中位线，同理证明是中位线，根据中位线的性质以及角的等量代换，得证是等腰三角形，，即可作答；
（2）连接，作的中点P，连接．根据中位线的判定与性质，得，同理得，然后等边对等角，得，结合角的等量代换，即可作答．
（3）连接，取的中点H，连接，根据中位线的判定与性质，得，，同理，，，然后证明、是等边三角形，结合角的等量代换，得证是直角三角形，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E、M是的中点，
∴，
同理可得
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴；
（2）证明：如图，连接，作的中点P，连接．
∵点F是的中点，
∴在中，，，
∴
同理可证：，．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴；
（3）证明：如图连接，取的中点H，连接，
∵F是AD的中点，
∴，，
同理，，，
∵
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
∴
∴
即是直角三角形．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
18．（21-22八年级下·福建泉州·期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等
【分析】（1）先根据“SAS”证明，得出，，根据平行线的判定得出，得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出，，即可证明结论；
（2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出，，即可得证明四边形EFGH为平行四边形；
②根据矩形的判定方法，得出结论即可；
③根据正方形的判定方法，得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中，
∴，
∴，，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即DEBC，DEBC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知，，，
∵AC=BD，
∴，
∴四边形EFGH是正方形．
故答案为：垂直且相等
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法，是解题的关键