2023江苏高考数学仿真模拟卷02（解析版）

2023年高考数学仿真模拟卷02

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。

2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。

3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。

4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式得集合A，再求出A的补集即可作答.

【详解】解不等式得：或，即，则，

又，于是得，

所以.

故选：A

2．若复数满足 ，其中为虚数单位，则等于

A． B．i C．i D．

【答案】C

【详解】分析：根据题意得到z的表达式化简即可.

详解:由题可得：

故选C.

点睛：考查复数的除法运算，属于基础题.

3．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知

,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.

4．等差数列中，，，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】根据条件求出即可.

【详解】因为，，

所以可解得，所以，

故选：C

5．观察下表：

则（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】D

【解析】根据表格求出，，再求出即可得解.

【详解】由题中表格得，，

∴，

故选：D.

【点睛】此题考查函数概念辨析，根据表格形式表示的函数关系求函数值.

6．在三棱锥中，为正三角形，，，E为AB的中点，F为PC的中点，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先利用题目给出的边长证明和，进而得到平面PAB，然后将三棱锥补全为正三棱柱，再求外接球的表面积即可.

【详解】如图，在中，设，，

，则，所以，即，

，E为AB中点，则，则，因此平面PAB．

如图将三棱锥补全为正三棱柱，即求正三棱柱外接球的表面积．

底面正三角形外接圆半径r满足：，则．

三棱锥外接球半径．

.

故选：B．

7．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（    ）

A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，

因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，

点在抛物线上，所以，解得，

所以，所以管柱的高度为．

故选：B．

8．设，（e是自然对数的底数），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先构造函数得到，判断出.由二项式定理判断出，比较出a、b；对于a、c，构造函数，利用单调性证明出.

即可得到答案.

【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以.

又单调递增，所以

所以，即.

而由二项式定理得：.

对于a、c，由，.

记，则，

所以在上单调递增，所以.所以，所以.

综上所述：.

故选：C

【点睛】比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较；

（3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（    ）

A．中位数为3 B．众数为3，6，8

C．平均数为5 D．方差为4.75

【答案】BCD

【分析】由中位数、众数、平均数及方差的概念与计算公式可得解.

【详解】将该组数据从小到大重新排列为：2,3,3,4,6,6,8,8,

所以中位数为，故A错误；

众数为出现次数最多的数，为3，6，8，故B正确；

平均数为，故C正确；

方差为，故D正确.

故选：BCD．

10．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为正方形，.点分别为的中点.则在原四棱锥中，下列结论正确的是（    ）

A．平面平面 B．平面

C．平面 D．平面平面

【答案】ABC

【分析】对于A：利用面面平行的判定定理证明平面平面；对于B：利用线面平行的判定定理证明平面；对于C：利用垂线面直的判定定理证明平面；对于D：由平面平面可判断平面平面不成立.

【详解】如图示，在四棱锥中.

对于A：分别为的中点，所以.

又面ABCD，面ABCD，所以面ABCD，

同理：面ABCD.

因为面EFGH，面EFGH，,

所以平面平面.故A正确；

对于B：, 面PAD，面PAD，所以平面.故B正确；

对于C：在四棱锥中，底面四边形为正方形，.

所以四棱锥为正四棱锥.

连接AC,BD交于点O，则面，所以，

因为四边形为正方形，所以.

又PO,BD交于点O，所以平面.故C正确；

对于D：因为平面，所以平面平面.

所以平面平面不成立.故D错误.

故选：ABC.

11．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律. 其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】由已知，根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，以所在的直线为x轴和y轴，分别表示出各点坐标，然后逐个选项计算验证即可.

【详解】解：由题意，分别以所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正八边形，

所以，

作，则，

因为，所以，所以，

同理可得其余各点坐标，，

对于A中，，故A正确；

对于B中，，故B正确；

对于C中，，

所以，故C错误；

对于D中，，所以在方向上的投影为，

又因为，所以在方向上的投影，向量为，故D正确．

故选：ABD．

12．已知函数，的图象与直线y=m分别交于A、B两点，则（ ）.

A．

B．，曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交

C．的最小值为1

D．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线

【答案】ACD

【分析】设A、B的横坐标分别为x1，x2，则,由指数函数的值域即可得到m的范围，从而判定A正确;有一些简单的常识，注意到当m=1时A,B两点的特殊性，可知此时的两切线斜率相等，从而否定B;由,求得，利用导数研究单调性可求得最小值，进而判定C正确；曲线在点A处的切线同时也是曲线的切线，可设切点为,利用导数的几何意义求出切线的方程，进而得到有关方程组，消去，得到关于的方程，利用零点存在定理证明所的方程有解，即可判定D正确.

【详解】设A、B的横坐标分别为x1，x2，

则

由于，故，故A正确；

当时,

,

所以曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线斜率相等，两切线不相交，故B错误；

,

设则,是单调递增函数，且,

所以在上单调递减，在上，单调递增，

所以,故C正确；

曲线在点A处的切线方程为,若此切线同时也是曲线的切线，可设切点为,

则,

消去得,

设,

,

因为的图象是连续的，所以至少有两个零点（可以证明恰有两个零点，因与本题结论无关，在此从略），

故有解，进而得到的值是存在的且大于零的，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、零点问题，切线问题，属中高档题，熟练掌握利用导数研究切线的方法和利用导数研究单调性与求最值的方法，则问题不难解决.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．若将函数表示为，其中为实数，则=_______.

【答案】1

【分析】由题意可知，，然后利用二项式定理进行展开，使之与

进行比较，可得结果

【详解】由题可知：

而

则

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将转化为是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果

14．正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.

【答案】17：7或7：17

【分析】如图，正方体被截面所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果

【详解】设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，

因为E，F分别是棱，的中点，

所以棱台的体积为

，

所以另一部分的体积为，

所以正方体被截面分成两部分的体积之比为17：7或7：17，

故答案为：17：7或7：17

15．已知函数的单调递增区间为，则________

【答案】

【分析】令可得一个单调递增区间，根据对称性可知，由此可构造方程求得结果.

【详解】令，则的一个单调递增区间为，

，，即，.

故答案为：.

16．如图，在半径为的中,弦AB，CD 相交于点P，PA=PB=2，PD=1，圆心O 到弦CD 的距离为__________

【答案】

【分析】用相交弦定理求出PC，再构造直角三角形即可.

【详解】

由相交弦定理可知，，

因为PA=PB=2，PD=1，∴PC=4，即，

连接CO，过圆心做CD的垂线交于F，

在三角形OFC中 ；

故答案为： .

四、解答题（本大题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知是等差数列，，.

(1)求的通项公式；

(2)若数列是公比为3的等比数列，.求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列中的两项，求出首项和公差，即可得出；

（2）先求出等比数列的通项公式，每项分成等差和等比分组求和，结果加起来即可.

【详解】（1）设公差为d，则由，可得，

     解得，

所以，

（2）由已知，等比数列中，首项，公比，

则.

则数列的前项和

18．已知函数.

（Ⅰ）求的单调增区间；

（Ⅱ）若，，求的值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）利用倍角公式以及辅助角公式将函数化为的形式，进而利用正弦函数的单调性列不等式求解函数的单调增区间；（Ⅱ）由求得，结合角的取值范围，利用平方关系以及两角和的正弦公式求解.

【详解】（Ⅰ）

，

令，，

，

所以增区间为，.

（Ⅱ），

则，

因为，，

若，则，不合题意，

又，所以，

因为，

所以，

所以

.

【点睛】高考解答题对三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.

19．如图，已知四棱柱的棱长都为，底面是菱形，且，侧棱平面，为棱的中点，为线段的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）连结，易证⊥平面，而，从而有平面，由面面垂直的判定定理即可证得平面⊥平面；

（2）三棱锥的体积，直接求解即可．

【详解】（1）

证明：（如上图）连结，设与交于点，连接

由直四棱柱，可知：⊥平面，

又∵平面

∴．

∵四边形为菱形，

∴．

又∵，、平面，

∴⊥平面．

∵为中点，为中点

∴

又

∴

∴四边形为平行四边形

而，

∴平面．

又∵平面AFC1，

∴平面⊥平面                                         

（2）解：∵，

∴到的距离为：，就是到平面的距离，，

∴三棱锥的体积：

20．有研究显示，人体内某部位的直径约的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约的结节，他做了该项无创血液检测．

(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；

(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；

(3)医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年缴纳保险费的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．

【答案】(1)0.8486；

(2)0.00035；

(3)13万元.

【分析】（1）记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，利用求解；

（2）先求出，再利用得解；

（3）设获得20万元赔付的有X人，利用二项分布求出，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，求出即得解.

【详解】（1）记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，

由题，，，，，，，则

所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486．

（2），

．

所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035．

（3）记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，

，则，

记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，

，

则，

所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元．

21．已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：直线与的斜率之积为定值；

(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

【答案】(1)

(2)定值为，证明见解析.

(3)三点，，共线，证明见解析.

【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.

（2）设，，，再计算即可.

（3）分别计算和，根据， 为公共点，即可证明，，三点共线.

【详解】（1）由题知：，

所以椭圆：.

（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，

则，即.

.

所以直线与的斜率之积为定值.

（3），，三点共线，证明如下：

设直线：，则直线：，

将代入直线，得：，，

，设直线：，

联立，

设，则，解得，

所以，即，

所以，，

所以， 为公共点，所以，，三点共线.

22．已知函数有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.

（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.

【答案】（1）（2）（3）没有最小值.见解析

【解析】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.

（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.

（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.

【详解】（1）定义域为，.

因为有两个不同的极值点，且，

所以有两个不同的正根，，解得.

（2）因为，不妨设，所以，，

所以

.

令，则，

所以在上单调递增，所以，

即的极大值与极小值之和的取值范围是.

（3）由（2）知.因为，

所以，

所以.

因为，所以

.

令，则，

所以在上单调递减，无最小值，

故没有最小值.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.