人教A版数学--圆锥曲线的方程专题一0

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典例1、已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.
（1）求C的方程；（2）若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.
随堂练习：已知椭圆的离心率为，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）试求面积的最大值以及此时直线的方程.
典例2、已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，
（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：
（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.
随堂练习：已知椭圆：经过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.
典例3、已知点与，动点满足直线，的斜率之积为，则点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；（2）若点在直线上，直线，分别与曲线交于点，，求 与面积之比的最大值.
随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形
的面积为，斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点.当直线经过，A两点时，点到直线 的距离为.
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得为定值?若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由.
知识点二 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例4、已知双曲线的方程为.
（1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；
（2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数.
随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线
与直线平行.
（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线 的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
典例5、以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点．
（1）求双曲线的离心率及方程；（2）点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值．
随堂练习：已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三
个点中有且仅有两点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线 与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．
典例6、在平面直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；（2）已知直线与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足，问是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
随堂练习：已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为M，N，点满足
（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
人教A版数学--高考解析几何复习专题十答案
典例1、答案：（1）； （2），面积的最大值为.
解：（1）由题意可得，，，.
又因为，，， 由已知可得，即，
又椭圆C的离心率，所以，则，
解得，所以， 所以椭圆C的方程为.
（2）设，，又，
因为，所以，所以，
化简整理得①.
设直线，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，可得②，
由韦达定理，可得，③， 将，代入①，
可得④， 再将③代入④，可得，解得，
所以直线l的方程为， 且由②可得，，即，
由点到直线l的距离，
，
.
令，则，
当且仅当时，即，等号成立，
所以面积S最大值为.
随堂练习：答案： （1）； （2）最大值为，此时直线的方程.
解：（1）依题意，椭圆的半焦距，而离心率，则，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）显然直线不垂直于y轴，设其方程为：，设，
由消去x得：，则，
，
因此的面积，
令，有，而函数在上单调递增，
因此当，即时，取得最小值4，取得最大值，此时直线，
所以面积的最大值为，此时直线的方程.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1），∴， ，，又，
解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2），∴，椭圆，
令，直线l的方程为：，
联立方程组： ， 消去y得，
由韦达定理得，， 有 ，
因为：，所以， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： .
， 而，
O点到直线l的距离， 所以：，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得， 又，所以
，当，即时等号成立.
所以的最大值是.
随堂练习：答案： （1） （2）4
解：（1）由题意可得：，又离心率为，所以，
可得，那么，代入可得：，， 所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，原点到直线的距离为2，那么，即：，
设，，联立可得：
，其判别式
，可知
由韦达定理可得：，，
那么
，
所以的面积
当且仅当时取得等号，所以△的面积的最大值.
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）， ， 化简得，
（2）当位于轴上时，此时直线，的斜率均不存在，不合题意，舍去
故曲线的方程为；
设，则直线的方程为，
联立得：， ， 直线的方程为，
联立，得， .
故
，
当且仅当时等号成立. 最大值为.
随堂练习：答案： （1） （2）存在，1
解：（1）设，，则.
当直线经过点，A时，由的面积为，到的距离为， 得①，
同时得，即②. 联立①②，结合，
解得，，或，，.
因为为钝角三角形，所以，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意设直线的方程为，
联立 消元得.
当，即时满足题意.
设，，则，.

，
若为定值，则上式与无关，故，得，
此时. 又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
经检验，此时成立， 所以面积的最大值为1.
典例4、答案： （1）； （2），证明见解析.
解：（1）直线与双曲线即
联立得即
由题意得有两个同号根，则满足 即，即
解得：
双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为
则，所以的中点
又因为点在双曲线上，即 即，即.
随堂练习：答案： （1） （2）是，2
解：（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则， 则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，则， 消得：，
则，可得：①
设与轴交点为， 则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即， 同理可得：，
则（定值）.
典例5答案：（1）离心率为，方程为； （2）．
解：（1）双曲线的渐近线为，
所以圆与切于点，．①
设，则，即，② 又，③
由①②③解得，，， 所以双曲线的离心率为，方程为．
（2）因为，，，
设的方程为，，，
由，消去整理得，
所以且解得，
所以，， ，，

． 故的值为．
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知：不可能同时在双曲线上；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，
解得：，双曲线方程为；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，方程组无解；
综上所述：双曲线的标准方程为.
（2）由题意知：直线，即直线斜率存在，可设，，，
由得：，
且，即且；
，，
直线与直线的斜率互为相反数，，
即，
化简得：，
整理可得：，即；
当时，，则，恒过点，与已知矛盾，舍去；
当，即时，直线直线，即，，
，即； 要证为定值，即证为定值，
即证为定值，
，，即为定值.
典例6、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）设，由题意得，化简得
（2）存在. 设，，
联立直线与双曲线方程，有
由韦达定理，有 ，


法一：注意到上式当时，上式恒成立，即过定点和
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故为定值，该定值为
法二：联立直线与双曲线方程，有……（1）
（1）式两边平方，有，即……（2）
注意到，是此方程的两个增根，故含有因式，记为代入（2），有 即
即 即
解得，代回（1）有或
经检验直线不过这两点，故上述两点为P，Q，为定值，该定值为
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知，又， 所以，
由，可得， 又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点， 不合题意，故l的斜率存在，

设l：， 联立得：，
设， 则.
因为，故，①
又， 所以，②
联立①②，解得，
于是
所以为定值.