【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第三章《圆锥曲线的方程》综合测试

第三章 圆锥曲线的方程综合测试

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.

【详解】

解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），

当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，

当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，

故选：B

2．若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果.

【详解】

设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，

则，可得，

所以，椭圆的焦点在轴上，则.

故选：C.

3．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，结合离心率与的关系求解即可

【详解】

由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.

故选：B.

4．已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（          ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义求出曲线的方程，再根据抛物线的性质计算可得；

【详解】

解：依题意曲线上任意一点到定点的距离和点到直线的距离相等，

由抛物线的定义可知：曲线是以为焦点，为准线的抛物线，

所以曲线的方程为．分别设点M、N、Q到准线的距离分别为，，d，

则，所以中点Q到y轴的距离为3，

故选：A．

5．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.

【详解】

因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，

故，

又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，

故选：D

6．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.

【详解】

设，则，由椭圆定义知：；

，，即，，

，椭圆的离心率.

故选：C.

7．双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（       ）．

A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m

【答案】C

【解析】

【分析】

由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长.

【详解】

由双曲线的定义得：①，②，

两式相加得：，

即，

所以，

故的周长为.

故选：C

8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（       ）

A． B．4 C．2 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离结合条件求出，然后由双曲线的定义结合余弦定理可得出，由条件求出,，结合三角形的面积公式可得出答案.

【详解】

双曲线的渐近线方程为：，

因为点到该双曲线渐近线的距离为1，所以．

由题意，则   （1）

由余弦定理可得 （2）

将（1）代入（2）可得．

因为，所以，，

所以，

故的面积为．

故：D

二、多选题

9．已知曲线：，则下列说法正确的是（       ）

A．若曲线表示双曲线，则

B．若曲线表示椭圆，则且

C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则

D．若曲线与椭圆有公共焦点，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据双曲线，椭圆的特征一一计算可得；

【详解】

解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；

对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；

对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，

所以，则，解得，故C正确；

对于D：椭圆的焦点为，

若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；

若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；

故选：BCD

10．已知点P是双曲线的右支第一象限上的一点，为双曲线E的左､右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线E的焦点在x轴上 B．双曲线E的离心率为

C．点P的纵坐标为4 D．点P的横坐标为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由双曲线的性质判断AB，由三角形面积公式结合双曲线方程求出点坐标，进而判断CD.

【详解】

由题意可知，双曲线E的焦点在x轴上，离心率，设，因为的面积为20，所以，，又，所以.

故选：ACD

11．若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（          ）

A． B．渐近线方程为

C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由焦点坐标可求得值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项．

【详解】

依题意可知，所以A答案错误；双曲线的方程为，所以渐近线的方程为，，

渐近线方程为，焦点到渐近线的距离是，

故选：BCD．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，为椭圆上一点，连接交轴于点，，，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（          ）

A．

B．椭圆的长轴长为

C．若点Q在椭圆C上，则的最大值为

D．点P到x轴的距离为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对于A选项，由可得，从而有；对于B选项，再由椭圆的定义结合勾股定理解关于的方程，解得；对于C选项，可由椭圆的性质得；对于D选项，设在轴上的投影为，得到，结合勾股定理，进而求解即可.

【详解】

对于A选项，由题意得，，，因为，所以，则，故，A选项正确；

对于B选项，，所以，，在中，，解得，所以椭圆的长轴长为，故B选项错误；

对于C选项，因为在椭圆上，则，故C选项正确；

对于D选项，设在轴上的投影为，则，则，所以，又，解得，则到轴的距离为，故D选项正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知双曲线的渐近线方程为，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；

【详解】

解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，

则，，又双曲线的渐近线方程为，

所以，即，解得；

故答案为：

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则PF的长为______．

【答案】5

【解析】

【分析】

把点代入抛物线方程解得，根据抛物线定义．

【详解】

的焦点为

点在抛物线上，则，解得

根据抛物线的定义

故答案为：5．

15．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为，且过点，则该椭圆的方程是______.

【答案】或

【解析】

【分析】

根据焦点的不同分类讨论，先设出椭圆的方程，再代入点即可求解.

【详解】

当焦点在轴上时，由题意，设椭圆方程为，又椭圆过点，

所以，所以此时椭圆方程为；

当焦点在轴上时，由题意，设椭圆方程为，又椭圆过点，

所以，所以此时椭圆方程为.

故答案为: 或

16．设为双曲线C：的左、右焦点，为双曲线虚轴的下端点，为过点的圆与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为_________；

【答案】

【解析】

【分析】

由得为圆的直径，，再由得，求得，即可求出离心率.

【详解】

如图，不妨设在第二象限，由知即为圆的直径，连接，易得，

将代入解得，则，又，，

即，则，离心率为.

故答案为：.

四、解答题

17．分别求满足下列条件的曲线方程

(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；

(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意得出的值后写椭圆方程

（2）待定系数法设方程，由题意列方程求解

(1)

的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，

∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．

又，∴a＝6．∴．

∴所求椭圆方程为．

(2)

根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，

把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．

18．世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为米，是由我国天文学家南仁东先生于年提出构想，历时年建成的．它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内．

(1)求的方程；

(2)一束平行于轴的脉冲信号射到上的点，反射信号经过的焦点后，再由上点反射出平行脉冲信号，试确定点的坐标，使得从入射点到反射点的路程最短．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）将点代入抛物线中即可求得抛物线方程；

（2）由抛物线焦点弦性质可知，知，由此可得结果.

(1)

由题意知：抛物线过点，

设抛物线，，解得：，

抛物线的方程为：.

(2)

由题意知：弦为抛物线的焦点弦，

当为通径时，从入射点到反射点的路程最短，，

，即.

19．如图，已知定点，点P是圆C：上任意一点，线段PD的垂直平分线与半径CP相交于点M.

(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程；

(2)过定点且斜率为k的直线l与M的轨迹交于A、B两点，若，求点O到的直线l的距离.

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用椭圆的定义知：M轨迹是以C，D为焦点，长轴长为4的椭圆，且且，即可求椭圆方程；

（2）设直线为：联立的轨迹方程，由，结合韦达定理、向量数量积的坐标表示列方程求得，从而得直线方程，由点线距离公式求到直线的距离.

(1)

由已知得：且，则，

∴根据椭圆的定义：M的轨迹是以C，D为焦点，长轴长为4的椭圆.

∴，，，则点M的轨迹方程为.

(2)

由题设，直线l为，代入M的轨迹方程并整理得：.

设，，则，.

由，解得.

所以，故O到直线l的距离.

20．椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）由已知条件可确定椭圆的a,b,c，从而得到椭圆方程；

（2）对直线讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线，由直线与圆相切可得，然后将直线与椭圆联立，写出韦达定理，由弦长公式即可得到答案.

(1)

由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.

(2)

由（1）得，圆的方程为，设，

当直线的斜率不存在时，，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立方程组，可得，

所以，，

所以

， 解得或，

所以直线或.

21．已知椭圆的离心率为，上顶点为，左焦点为，且直线与圆相切.

(1)求椭圆的方程

(2)是椭圆长轴两个端点，点是异于点的动点，点满足，求证：三角形面积与三角形面积之比为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由离心率得出的关系，写出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数的值，得椭圆方程；

（2）设，由垂直写出直线和的方程，联立求得点纵坐标，根据在椭圆上，得出的关系，从而得出结论．

(1)

由得：，解得：

则，则直线，即，

又直线与圆相切得：椭圆的标准方程为.

(2)

设，则直线斜率直线斜率，

直线的方程为：，同理直线的方程为：，

联立上面两直线方程，消去，得，即，

在椭圆上，，即

所以的面积与的面积之比为定值.

22．在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线、的斜率分别为、.求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆长轴长算出，根据再算出，进而求出椭圆方程；

（2）分别表示出直线、的斜率分别为、，然后计算即可.

(1)

因为，所以，又，

所以，所以，，所以椭圆的标准方程为.

(2)

当的斜率为0时，显然，.

当的斜率不为0时，设，由得，

设，，故有，，

所以.

因为，所以.

综上所述，恒有为定值.