人教A版数学--圆锥曲线的方程专题四

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典例1、已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．
（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．
随堂练习：已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．
（1）求C的方程．（2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
典例2、已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
（1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.
随堂练习：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的离心率与抛物线的方程；（2）过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；（3）点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．
典例3、已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．
随堂练习：设椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，分别过点，作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，已知，的面积为，求直线的方程．
知识点二 求椭圆中的最值问题
典例4、已知椭圆：经过点，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于､两点，求的取值范围.
随堂练习：已知椭圆，经过拋物线的焦点的直线与交于 两点，在点处的切线交于两点，如图.
（1）当直线垂直轴时，，求的准线方程；
（2）若三角形的重心在轴上，且，求的取值范围.

典例5、已知椭圆的焦距为，且过点
（1）求椭圆的方程；（2）若点是椭圆的上顶点，点在以为直径的圆上，延长 交椭圆于点，的最大值.
随堂练习：如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且
斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．
（1）求点P的坐标并确定当为常数时的值；（2）求取最大值时直线l的方程．
典例6、如图，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率为正的直线与椭圆交于、两点，过点、
分别作与直线垂直的直线，交轴于、两点，求的最小值.

人教A版数学--高考解析几何复习专题四答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）因为，所以，且．
又，所以，
即，即，所以，
又离心率，所以，，所以， 所以椭圆方程为．
（2）∵，又∵，∴，∴P点的坐标为．
依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由消去y整理，解得或，
所以Q点坐标为， 从而M点坐标为，
所以直线PM的方程为， 则N点的坐标为，
因为的面积是的面积的2倍，点Q在第三象限， 所以，
即，解得（舍负），
所以满足条件的直线l的方程为， 即：．
随堂练习：答案：（1） （2）存在；
解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为， 则，解得，
则C的内接正方形的面积为，
即．又，所以，
代入，解得，故C的方程为．
（2）存在梯形，其面积的最大值为． 理由如下：设直线，．
因为直线l经过点，所以， 所以点到直线l的距离为，
点到直线l的距离为，
所以梯形的面积（为直线l的倾斜角），
所以， 当且仅当时，等号成立，
此时，直线，直线，
联立这两条直线的方程，解得， 因为，
所以点在C的内部. 同理可证：也在C的内部.
故在C内存在梯形，其面积的最大值为．
典例2、答案： （1） （2）与的方程分别为：，
解：（1）由已知，，，所以E的方程为.
（2）又题意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合题意；
②若斜率存在，设，和的方程联立得：
，，，
，
设，同理可得，
所以
解得，，所以与的方程分别为：，，
随堂练习：答案： （1）离心率为；抛物线的方程为
（2） （3）
解：（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．
且椭圆的右焦点坐标为．
于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即．
从而抛物线的方程为．
（2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得．
于是． 即．
故动点的轨迹方程为：．
（3）由于，设直线方程为，，．
由得，故．
则． 又点到直线的距离，
故由，
解得，从而．因此，直线的方程为．
典例3、答案： （1） （2），或，
解：（1）根据题意可得解得 椭圆的标准方程
（2）圆 设，则
设，，，
则，同理可得：，，
∵的面积是面积的倍，则
代入整理得：
联立方程，得或，即，同理
联立方程，得或，即，同理
代入可得：，解得或
当时，直线，；
当时，直线，
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以．①
又椭圆经过点，所以．②
结合，③由①②③，解得． 故椭圆的标准方程是．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，
根据对称性知两平行线的交点在轴上，又交点刚好在椭圆上，
所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是．
此时点或；
直线的斜率不存在不成立
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
将直线代入椭圆方程得，
则， ， ．
不妨设两平行线的交点为点，则，故点的坐标为．
因为点刚好在椭圆上，所以，
即． 此时，
则．
设点到直线的距离为，则．
所以，
即，解之得：或，
当时，，当时，（舍），所以，直线的方程
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形 故，
即椭圆：，代入 可得
故椭圆的方程为：
（2）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，则；
②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得， 则恒成立，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
，则，所以，.
综上所述，的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）x=-1； （2）
解：（1）由知，， 当直线PF垂直于x轴时，由，得，
有， 所以的准线方程为：，即；
（2）由题意知，，设直线，，
则，，
，
由，即直线PB的斜率为，
所以直线PB的方程为：，即，
，
，又G为的重心，且G在x轴上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，
①，令，则，
所以①式②，
令，则， 所以②式，
故的取值范围为.
典例5、答案：（1）；（2）.
解：（1）根据题意，椭圆的焦距为，且过点， 可知，，则，
，， 所以椭圆的方程为；
（2）可得，，则，则以为直径的圆，圆心为，半径为，
以为直径的圆方程为， 即：，
点，由于延长交椭圆于点，则点在直线上，
可知直线的斜率存在，且， 则设直线的方程为，设，
联立直线和圆的方程，得， 解得：，
可得，
联立直线和椭圆的方程，得， 解得：，
可得， 则，
可知，设上式为， 即有，，
，即为， 解得：， 则的最大值为.

随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由得． 设直线l的方程为．
由得，由韦达定理得．
又，同理可得，
则
所以当时，为常数．
（2）由（1）知，．
设直线的方程分别为．
由得，
由韦达定理得，解得，
代入直线的方程得，同理可得．
又由（1）知，，得．
所以
．
所以，令，
则，当且仅当时，等号成立，
此时直线l的方程为．
典例6、答案：（1）；（2）最小值是.
解:（1）由题意，解得，因此，椭圆的标准方程为；
（2）设点、，设直线的方程为，
由得，，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，令得，
同理， 所以，
令，则，
当且仅当时，即当时，取最小值.