人教A版数学--圆锥曲线的方程专题八

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典例1、在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C.
（1）求C的方程：（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：.

随堂练习：平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；
（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.
典例2、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线 的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程; （2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.
随堂练习：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的
轨迹为C．
（1）求C的方程；（2）设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
典例3、在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到，的两点的距离之和为．
（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程．
（2）已知直线与圆交于、两点，与曲线交于、两点，其中、在第一象限，为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，说明理由．
随堂练习：设是圆：上的一动点，已知点，线段的垂直平分线交线段
于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线l与曲线交于两点，若线段的垂直平分线交轴于点T，若，求实数的取值范围．
知识点二 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、
斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为， 与双曲线交于A，两点，求的值．
随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
典例5、已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
（1）求圆心的轨迹方程（2）若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
随堂练习：已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率乘积为．当
时，点的轨迹为；当时点的轨迹为．
（1）求，的方程；
（2）是否存在过右焦点的直线，满足直线与交于，两点，直线与交于，两点，且？若存在，求所有满足条件的直线的斜率之积；若不存在，请说明理由，
典例6、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.
随堂练习：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：；
②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
人教A版数学--高考解析几何复习专题八答案
典例1、答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）根据椭圆的定义可得，点的轨迹是以为左右焦点，且长轴长为的椭圆，
设其方程为， 故可得，
故的方程为：.
（2）设，设，，则，
联立直线与椭圆的方程得：，
则，，
则
故，
故.
随堂练习：答案： （1）C是以点，为左右焦点的椭圆， （2）
解：（1）因为，， 所以C是以点，为左右焦点的椭圆.
于是，，故，因此C的方程为.
（2）当垂直于轴时，，，舍去.
当不垂直于轴时，可设， 代入可得.
因为，设，， 则，.
因为， 所以.
同理.因此.
由可得，，
于是. 根据椭圆定义可知，于是.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）设点坐标为， 定点，，直线与直线的斜率之积为，
，
（2）设，，，则，，
所以
又，所以，又即，
则直线：，直线：，
由，解得，即，
所以
令，则，所以
因为，当且仅当即时取等号，
所以的最大值为；
随堂练习：答案： （1） （2）证明过程见解析
解：（1）由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且，，所以， 所以C的方程为
（2）设直线l为：， 则联立得：，
设，则，， ，
则， AB中点坐标为，
所以AB的垂直平分线为，
令得：， 所以，，
典例3、答案：（1）动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
（2）2时取得最大值
解：（1）由题意知，， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，， 又因为， 所以， 所以的轨迹方程为．
（2）当时，解得， 又圆的半径，
所以在椭圆外，在椭圆内，点在内，在外，
在直线上的四点满足：，，
由，消去整理得，
因为直线经过椭圆内的右焦点， 所以该方程的判别式恒成立，
设，， 所以，， ，
又因为的直径， 所以，
化为，
因为为点到直线的距离， ，
当且仅当，即时等号成立， 所以时取得最大值．
随堂练习：答案： （1）； （2）
解：（1）因为点在线段的垂直平分线上，所以，
所以，
所以点的轨迹是焦点为的椭圆，故，可得，
所以曲线的方程为
（2）由题意，得直线的方程为：.联立方程组得，所以，，
则， 的中点坐标为，
所以直线的垂直平分线的方程为，
则与轴交点，所以，
因为， 所以，
因为，所以，即，
所以的取值范围为.
典例4、答案： （1） （2）6
解：（1）设所求双曲线方程为， 代入点得：，即，
双曲线方程为，即；
（2）由（1）知：，， 即直线的方程为，
设，， 联立，得，
满足，且，，
由弦长公式得.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析.
解:（1）设双曲线方程为 由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设 所以：
由弦长公式得：
设AB的中点 则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.
典例5、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标，圆C半径为，
则，， 所以<4， 所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，， 所以其轨迹方程为；
（2）设直线为，
联立，消去y得：， 所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，，
直线GP的方程为:， ，
所以， 所以=1.
随堂练习：答案： （1）C1：，C2： （2）存在，
解：（1）设，． 对于，由题可得， 整理得，
故的方程为． 对于由题可得，
整理得． 故的方程为．
（2）由（1）可得，，
的右焦点为，设，，，．
当直线的斜率不存在时，直线与无交点，不满足题意，故直线的斜率存在，
于是可设直线的方程为，
联立直线方程与椭圆方程可得，
恒成立， 由韦达定理：，．①
于是， 将①代人整理得．
同理其中，故．
因为，所以．
设，则即．
平方整理得， 因式分解得，
解得，，（舍去）， 即，．
于是所有满足条件的直线的斜率之积为．
典例6、答案： （1）；（2）.
解:（1）由，知，，，
故双曲线C的方程为或.
由点到渐近线的距离为，知双曲线方程为.
（2）设l：，，.
由可得；由可得.
由得，∴，.
∴.
由和的高相等，可， 由得，
所以，.
随堂练习：答案： （1）；（2）①见详解；②.
详解:（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线，
渐近线的方程为，焦点F（±c，0）， 所以解得a＝1，b＝2，
所以双曲线的方程为；
（2）①由（1）知双曲线的方程为， 其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2，
因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，
联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝，x1x2＝，
联立，解得x＝，y＝，则M（，），
联立，解得x＝，y＝，则N（，），
所以|AM|＝，|BM|＝，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2]＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|．
②由共线，可得，
由①可得，
解得，所以符合题意， 所以直线的方程为.