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    2.5等腰三角形的轴对称性(第2课时)(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
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    初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性教课内容课件ppt

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    这是一份初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性教课内容课件ppt,共37页。PPT课件主要包含了学习目标,证法1,你能证明你的结论吗,证法2,符号语言,在△ABC中,等腰三角形,等边三角形,∵ABAC,∴∠B∠C等内容,欢迎下载使用。

    1. 探索并证明等腰三角形的判定定理;
    2. 探索等边三角形的性质定理和判定定理;
    3. 会利用所学的定理进行说理.
    定理1 等腰三角形的两底角相等. (简称“等边对等角”).
    定理2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. (简称“三线合一”).
    等腰三角形有哪些性质?
    请说出“等腰三角形的两底角相等”这个命题的逆命题,并判断它是真命题还是假命题?
    活动一 探究等腰三角形的判定
    操作 画线段BC,在BC的同侧画两个相等的锐角,即∠CBM和∠BCN,设BM与CN相交于点A,量一量AB与AC的长度,你有什么发现?
    我测量后发现AB与AC相等.
    讨论 你用文字语言叙述条件与结论吗?
    已知:△ABC 中,∠B=∠C.
    作顶角的平分线AD,则∠BAD=∠CAD.
    ∴ △BAD ≌ △CAD (AAS).
    ∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).
    作底边的高线AD,则∠ADB=∠ADC=90°
    等腰三角形的判定定理:
    在△ABC中,∵∠B =∠C (已知),
    ∴AB =AC ( 等角对等边).
    (简称“等角对等边”)
    有两个角相等的三角形是等腰三角形.
    在同一个三角形中,等角对等边.
    ∴∠B =∠C ( 等边对等角).
    ∵AC = AB (已知),
    ∴AC = AB ( 等角对等边).
    ∵∠B =∠C (已知),
    它们的条件与结论正好调换了过来, 这也叫互逆命题.
    1. 辨一辨:如图,下列推理正确吗?
    解:错,因为都不是在同一个三角形中.
    ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC(等角对等边).
    2. 在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是(   )A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=80°,∠B=60°
    3. 如图,在△ABC中,AB=AC,角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗?请说明理由.
    讨论1 什么是等边三角形?说说等边三角形与等腰三角形的关系.
    活动二 探究等边三角形的性质
    定义:三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.
    等边三角形是特殊的等腰三角形
    讨论2 等边三角形的性质有哪些?请同学们说一说.
    ∵AB=AC, ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A=∠B=∠C=60 °.
    等腰三角形的两个底角相等.
    等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
    等边三角形性质定理:等边三角形的每个内角都等于60°.
    符号语言:∵△ABC是等边三角形∴ ∠A=∠B=∠C=60 °.
    顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.
    每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
    每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)
    轴对称图形对称轴(3条)
    轴对称图形对称轴(1条)
    底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
    例1 如图,已知△ABC为等边三角形,点E、F分别在边AC、BC上,且AE=CF,AF与BE相交于点D.(1)求证:△ABE≌△CAF;(2)求∠BDF的度数.
    解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°,AB=CA,
    ∴△ABE≌△CAF (SAS).
    解:(2)∵△ABE≌△CAF,∴∠ABE=∠CAF.∴∠BDF=∠ABE+∠BAF =∠CAF+∠BAF =∠BAC=60°.
    1.等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有(   )A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 以上都不对
    2. 如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,AB=4,则BD=  ,∠BAD=   °. 
    3.如图,在等边△ABC的AC边上取中点D,BC的延长线取一点E,使CE=CD,连接BD,DE.求证:∠ABD=∠E.
    活动三 探究等边三角形的判定
    讨论1 如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形吗?为什么?
    解:理由如下:如图,∵∠B=∠C, ∴AB=AC .(等角对等边) 同理 BC=AC . ∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.
    讨论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗?为什么?
    解:理由如下:若顶角是60°,则两个底角相等,也都是60°. 所以三个角都相等,△ABC是等边三角形.若一个底角是60°,则另一个底角也是60°,顶角也是60°.所以三个角都相等,△ABC是等边三角形.
    (1)三个角都相等的三角形是等边三角形.
    等边三角形的判定定理:
    (1)在△ABC中,∵∠A =∠B =∠C (已知),
    ∴△ABC是等边三角形.
    (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
    (2)在△ABC中,∵∠A =60°(或∠B =60° 或∠C=60°
    ∴等腰△ABC是等边三角形.
    三条边都相等的三角形是等边三角形
    两个角相等的三角形是等腰三角形
    三个角都相等的三角形是等边三角形
    两条边相等的三角形是等腰三角形
    有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.(等腰三角形法)
    等边三角形判定方法归纳:
    例2 如图,在等边三角形ABC中,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E .求证:△ADE是等边三角形.
    证明:∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B=60°, ∠ AED= ∠C=60°.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED=60°.∴ △ADE是等边三角形.
    想一想:本题还有其他证法吗?
    变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线或反向延长线上,且 DE∥BC,结论还成立吗?
    变式2:上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
    ∵ △ABC是等边三角形,
    ∴ ∠A= ∠B= ∠C.
    ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
    ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
    ∴ △ADE是等边三角形.
    例3 如图,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.(1) 线段AN与线段BM是否相等?请说明理由;
    解:(1)AN=BM.理由:∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.∴∠ACN=∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.
    (2) AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
    (2)△CEF是等边三角形.证明:∵∠ACE=∠FCM=60°,∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB,∴∠CAE=∠CMB.∵AC=MC,∴△ACE≌△MCF(ASA),∴CE=CF.∴△CEF是等边三角形.
    想一想:本题你还能得到哪些结论?
    1.下列条件中,不能得到等边三角形的是(   )A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形
    2.如图, 等边△ABC中, D、E、F分别是各边上的一点, 且AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
    证明:∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°,∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),∴DF=ED=EF,∴△DEF是等边三角形.
    1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有(   )A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
    2. 如图,四边形ABCD是正方形,△PCD是等边三角形,连接BP,则∠BPC等于 ( )A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
    3. 如图,等边三角形ABC的三条角平分线交于点O,DE∥BC,则这个图形中的等腰三角形共有 ( )
    A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
    4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线相交于点F,试判断△ADF的形状,并说明理由.
    解:△ADF是等腰三角形.理由:在△ABC中.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°,∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,∴∠BDE=∠F.∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠F,∴AF=AD.∴△ADF是等腰三角形.
    5. 如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.
    解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.
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