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初中数学9.4 乘法公式课后练习题
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这是一份初中数学9.4 乘法公式课后练习题，共26页。试卷主要包含了计算，若，则的值为 ，若，，则 ，由完全平方公式，已知，，先阅读下面的内容，再解决问题，等内容，欢迎下载使用。
1．进一步理解和掌握平方差公式和完全平方公式。
2．利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。
3．在应用公式的过程中，感受整体思想。
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
三．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
四．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
五．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
六．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
七．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
八．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
一．完全平方公式（共10小题）
1．（2023春•滨湖区期中）下列各式中计算正确的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•吴江区期中）已知，，则的值为
A．3B．9C．49D．100
3．（2023春•泗洪县期中）、为实数，整式的最小值是
A．B．C．D．
4．（2023春•江都区期中）计算：已知：，，则 ．
5．（2023春•宝应县期中）若，则的值为 ．
6．（2023春•南京期末）若，，则 ．
7．（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：可得，若，则的最小值为 ．
8．（2023春•淮安期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ．
9．（2023春•丹阳市期中）已知，．求：
（1）的值；
（2） 的值．
10．（2023春•邗江区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：
，
，
问题（1）若，求的值．
（2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
二．完全平方公式的几何背景（共8小题）
11．（2023春•兴化市月考）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式
A．B．
C．D．
12．（2023春•南京期中）如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、正方形．若这两个正方形的面积和为13，的面积为3，则的长度是 ．
13．（2023春•宜兴市月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
（1）观察如图2填空：正方形的边长为 ，阴影部分的小正方形的边长为 ；
（2）观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，，求的值．
14．（2023春•高港区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
（1）在学习乘法公式时，通过对图1的面积“算两次”得到请设计一个图形说明成立：（画出示意图，并标上字母）
（2）如图2，两个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长、、有什么数量关系吗？（注写出解答过程）
（3）根据（2）中的结论回答，当，时，则的值为 ．
15．（2023春•邗江区期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到
．
材料二：已知，，求 的值．
解：，，
请你根据上述信息解答下面问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）已知，，求 的值．
（3）已知，求 的值．
（4）如图3，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ．
16．（2023春•工业园区期中）【阅读理解】
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝ ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．
17．（2023春•靖江市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求 的值．
解：，，
，．
，
．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两侧作正方形与正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
18．（2023春•江都区期中）【探究】
若满足，求的值．
设，，则，，
；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
【拓展】
（2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形．
① ， ；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
三．完全平方式（共5小题）
19．（2023春•句容市期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足
A．B．C．D．
20．（2023春•江阴市期中）若是完全平方式，则的值是
A．6B．C．3D．
21．（2023春•丹阳市期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为 ．
22．（2023春•邗江区校级期末）已知是一个完全平方式，则 ．
23．（2023春•睢宁县期中）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．
（1） ；
（2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ；
（3）对于有理数、，若，．
①求的值；
②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点、、在同一条直线上，点在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求的值．
四．平方差公式（共3小题）
24．（2023春•新吴区期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
25．（2023春•邳州市期中）如果计算时能使用平方差公式，则、应满足
A．、同号B．、异号C．D．
26．（2023春•工业园区期中）计算： ．
五．平方差公式的几何背景（共7小题）
27．（2023春•工业园区校级月考）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形，这两个图能解释一个等式是
A．B．
C．D．
28．（2023春•江阴市期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是
A．B．
C．D．
29．（2023春•东台市期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是80，则阴影部分的面积是
A．30B．40C．50D．60
30．（2023春•玄武区校级月考）在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式
A．B．
C．D．
31．（2023春•邗江区期末）（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，请写出这个乘法公式 ；
（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：
若是不为0的有理数，已知，，比较、大小．
（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个棱长为的正方体，挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 ．
32．（2023春•兴化市月考）【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ； ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
计算：．
【拓展】
①结果的个位数字为 ；
②计算：．
33．（2023春•宝应县期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）．
公式①：
公式②：
公式③：
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ．
（2）请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式
（3）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）
六．整式的除法（共3小题）
34．（2023春•玄武区校级月考）墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是
A．B．C．D．
35．（2023春•镇江期中）一个长方形的面积为，若一边长为，则它的另一边长为 ．
36．（2023春•姜堰区期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图
，
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：余式为能被整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）多项式除以多项式，所得的商式为 ；
（2）已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式；
（3）已知能被整除，则 ；
（4）如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
七．整式的混合运算（共7小题）
37．（2023春•兴化市月考）如果表示，表示，则 ．
38．（2023春•秦淮区校级月考）已知实数，满足，则的最大值为 ．
39．（2023春•建邺区校级期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，
40．（2023春•灌南县期中）如图所示，长方形中放置两个边长都为4的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为 ．
41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：
（1）； （2）．
42．（2023春•东台市期中）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
43．（2023春•鼓楼区校级月考）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数， 记作：，例如： 求，因为，所以；又比如，，
（1） 根据定义计算：
① ；② ；③如果，那么 ；
（2） 设，，则，，，、均为正数） ，，，，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，，
（3） 请你猜想： ，，、均为正数）
八．整式的混合运算—化简求值（共6小题）
44．（2023春•大丰区期中）已知，那么 ．
45．（2023春•赣榆区期末）若，，则代数式的值是 ．
46．（2023春•滨湖区期中）先化简，再求值：，其中．
47．（2023春•东台市期中）先化简，再求值：，其中，满足．
48．（2023春•亭湖区校级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
49．（2023春•灌云县期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图．
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值．
一、单选题
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若多项式是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3B．C．6D．
2．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）下列各式能用平方差公式计算的是( )
A．B．
C．D．
3．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A．2020B．2024C．2025D．2026
4．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）在下列各式中，运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知，那么的值为（ ）
A．4046B．2023C．4042D．4043
6．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
7．（2023下·江苏·七年级校考阶段练习）中三边长a，b，c满足条件，则c边不可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
8．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知，，则的值为
9．（2023下·江苏扬州·七年级仪征市第三中学校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片 张．
10．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，点C是线段上的一点，以、为边在的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ．
11．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是 ．
12．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
13．（2022上·江苏连云港·七年级校考期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．
三、解答题
14．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）先化简，后求值：，其中，．
15．（2023下·江苏·七年级专题练习）当，时，求代数式的值．
16．（2022下·江苏淮安·七年级校考期中）【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出下图中所表示的数学等式______．
(2)如下图，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______．
(3)【知识应用】若，求的值；
(4)【灵活应用】下图中有两个正方形、，现将放在的内部得到图甲，将、并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形的面积之和______．
17．（2023上·江苏泰州·七年级统考期中）若有理数满足等式，我们不妨称是“差异数对”，记作．如：、．
(1)通过计算判断数对，是不是“差异数对”；
(2)猜想：两个连续整数______“差异数对”（填“是”或“不是”）；
(3)若是“差异数对”，求代数式的值．
18．（2022上·江苏盐城·七年级校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为（ ）；（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ；
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
19．（2023下·江苏·七年级期末）【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．数形结合
(2)根据图2，可以得到等式：______；
(3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______；
②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______；
(4)画出一个几何图形，使它的面积能表示．
【知识迁移】
(5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______；
②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______．
(6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
1．进一步理解和掌握平方差公式和完全平方公式。
2．利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。
3．在应用公式的过程中，感受整体思想。
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
三．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
四．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
五．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
六．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
七．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
八．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
一．完全平方公式（共10小题）
1．（2023春•滨湖区期中）下列各式中计算正确的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•吴江区期中）已知，，则的值为
A．3B．9C．49D．100
3．（2023春•泗洪县期中）、为实数，整式的最小值是
A．B．C．D．
4．（2023春•江都区期中）计算：已知：，，则 ．
5．（2023春•宝应县期中）若，则的值为 ．
6．（2023春•南京期末）若，，则 ．
7．（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：可得，若，则的最小值为 ．
8．（2023春•淮安期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ．
9．（2023春•丹阳市期中）已知，．求：
（1）的值；
（2） 的值．
10．（2023春•邗江区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：
，
，
问题（1）若，求的值．
（2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
二．完全平方公式的几何背景（共8小题）
11．（2023春•兴化市月考）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式
A．B．
C．D．
12．（2023春•南京期中）如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、正方形．若这两个正方形的面积和为13，的面积为3，则的长度是 ．
13．（2023春•宜兴市月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
（1）观察如图2填空：正方形的边长为 ，阴影部分的小正方形的边长为 ；
（2）观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，，求的值．
14．（2023春•高港区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
（1）在学习乘法公式时，通过对图1的面积“算两次”得到请设计一个图形说明成立：（画出示意图，并标上字母）
（2）如图2，两个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长、、有什么数量关系吗？（注写出解答过程）
（3）根据（2）中的结论回答，当，时，则的值为 ．
15．（2023春•邗江区期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到
．
材料二：已知，，求 的值．
解：，，
请你根据上述信息解答下面问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）已知，，求 的值．
（3）已知，求 的值．
（4）如图3，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ．
16．（2023春•工业园区期中）【阅读理解】
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝ ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．
17．（2023春•靖江市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求 的值．
解：，，
，．
，
．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两侧作正方形与正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
18．（2023春•江都区期中）【探究】
若满足，求的值．
设，，则，，
；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
【拓展】
（2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形．
① ， ；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
三．完全平方式（共5小题）
19．（2023春•句容市期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足
A．B．C．D．
20．（2023春•江阴市期中）若是完全平方式，则的值是
A．6B．C．3D．
21．（2023春•丹阳市期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为 ．
22．（2023春•邗江区校级期末）已知是一个完全平方式，则 ．
23．（2023春•睢宁县期中）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．
（1） ；
（2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ；
（3）对于有理数、，若，．
①求的值；
②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点、、在同一条直线上，点在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求的值．
四．平方差公式（共3小题）
24．（2023春•新吴区期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
25．（2023春•邳州市期中）如果计算时能使用平方差公式，则、应满足
A．、同号B．、异号C．D．
26．（2023春•工业园区期中）计算： ．
五．平方差公式的几何背景（共7小题）
27．（2023春•工业园区校级月考）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形，这两个图能解释一个等式是
A．B．
C．D．
28．（2023春•江阴市期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是
A．B．
C．D．
29．（2023春•东台市期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是80，则阴影部分的面积是
A．30B．40C．50D．60
30．（2023春•玄武区校级月考）在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式
A．B．
C．D．
31．（2023春•邗江区期末）（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，请写出这个乘法公式 ；
（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：
若是不为0的有理数，已知，，比较、大小．
（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个棱长为的正方体，挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 ．
32．（2023春•兴化市月考）【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ； ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
计算：．
【拓展】
①结果的个位数字为 ；
②计算：．
33．（2023春•宝应县期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）．
公式①：
公式②：
公式③：
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ．
（2）请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式
（3）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）
六．整式的除法（共3小题）
34．（2023春•玄武区校级月考）墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是
A．B．C．D．
35．（2023春•镇江期中）一个长方形的面积为，若一边长为，则它的另一边长为 ．
36．（2023春•姜堰区期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图
，
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：余式为能被整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）多项式除以多项式，所得的商式为 ；
（2）已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式；
（3）已知能被整除，则 ；
（4）如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
七．整式的混合运算（共7小题）
37．（2023春•兴化市月考）如果表示，表示，则 ．
38．（2023春•秦淮区校级月考）已知实数，满足，则的最大值为 ．
39．（2023春•建邺区校级期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，
40．（2023春•灌南县期中）如图所示，长方形中放置两个边长都为4的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为 ．
41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：
（1）； （2）．
42．（2023春•东台市期中）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
43．（2023春•鼓楼区校级月考）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数， 记作：，例如： 求，因为，所以；又比如，，
（1） 根据定义计算：
① ；② ；③如果，那么 ；
（2） 设，，则，，，、均为正数） ，，，，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，，
（3） 请你猜想： ，，、均为正数）
八．整式的混合运算—化简求值（共6小题）
44．（2023春•大丰区期中）已知，那么 ．
45．（2023春•赣榆区期末）若，，则代数式的值是 ．
46．（2023春•滨湖区期中）先化简，再求值：，其中．
47．（2023春•东台市期中）先化简，再求值：，其中，满足．
48．（2023春•亭湖区校级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
49．（2023春•灌云县期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图．
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值．
一、单选题
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若多项式是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3B．C．6D．
2．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）下列各式能用平方差公式计算的是( )
A．B．
C．D．
3．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A．2020B．2024C．2025D．2026
4．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）在下列各式中，运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知，那么的值为（ ）
A．4046B．2023C．4042D．4043
6．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
7．（2023下·江苏·七年级校考阶段练习）中三边长a，b，c满足条件，则c边不可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
8．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知，，则的值为
9．（2023下·江苏扬州·七年级仪征市第三中学校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片 张．
10．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，点C是线段上的一点，以、为边在的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ．
11．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是 ．
12．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
13．（2022上·江苏连云港·七年级校考期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．
三、解答题
14．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）先化简，后求值：，其中，．
15．（2023下·江苏·七年级专题练习）当，时，求代数式的值．
16．（2022下·江苏淮安·七年级校考期中）【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出下图中所表示的数学等式______．
(2)如下图，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______．
(3)【知识应用】若，求的值；
(4)【灵活应用】下图中有两个正方形、，现将放在的内部得到图甲，将、并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形的面积之和______．
17．（2023上·江苏泰州·七年级统考期中）若有理数满足等式，我们不妨称是“差异数对”，记作．如：、．
(1)通过计算判断数对，是不是“差异数对”；
(2)猜想：两个连续整数______“差异数对”（填“是”或“不是”）；
(3)若是“差异数对”，求代数式的值．
18．（2022上·江苏盐城·七年级校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为（ ）；（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ；
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
19．（2023下·江苏·七年级期末）【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．数形结合
(2)根据图2，可以得到等式：______；
(3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______；
②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______；
(4)画出一个几何图形，使它的面积能表示．
【知识迁移】
(5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______；
②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______．
(6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
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