2024年湖南省常德市普通高中沅澧共同体高考数学第一次联考试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年湖南省常德市普通高中沅澧共同体高考数学第一次联考试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|3−x2>1}，B={0,1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {3,4}B. {2,3,4}C. {0,1}D. {0,1,2}
2.设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等比数列{an}中，a3⋅a10=1，a6=2，则公比q为( )
A. 12B. 2C. 14D. 4
4.已知cs(α+π6)=13，则sin(π3−α)+sin(2α−π6)=( )
A. 109B. −49C. 23D. 65
5.已知三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=4，BC=3，CD=5，BD=7，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. 196π3B. 244π3C. 196π5D. 244π5
6.已知抛物线方程为：y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x−5)2+(y−1)2=1，设P为抛物线上的点，Q为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.将三个分别标注有ex，x，1lnx的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球(每次取一球)，分别记录下小球的标注为f(x)，g(x).若h(x)=f(x)g(x)，则h(x)在x∈(0,1)上单调递减的概率为( )
A. 16B. 29C. 13D. 23
8.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x.若g(f(x)−a)≥0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知关于x的方程x2+tx+4=0(−40,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，且AF2=3F2B，AB⊥BF1，则双曲线的离心率为______.
14.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD.动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=λAB+μAE.则λ+μ的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acsC=2b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若△ABC的外接圆半径为 2，求△ABC周长的最大值.
16.(本小题15分)
已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，M，N分别为BC和BB1的中点，P为棱A1C1上的动点，AN⊥A1C1.
(1)证明：平面ANP⊥平面A1MP；
(2)设A1P=λA1C1，是否存在实数λ，使得平面AA1B1B与平面PMN所成的角的余弦值为 63？
17.(本小题15分)
某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据(单位：小时)：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.
(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，其中σ=10，μ为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)；
②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50,70]内，则当ξ的均值不小于32时，n的最小值为多少？
附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2 3，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，R为椭圆上的一点，且△RF1F2的周长为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E，F两点(点E在第一象限)，P，Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点，始终保持∠QEF=∠PEF，求证：直线PQ的斜率为定值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2mlnx−x+1x(m>0).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)1}得A={x|− 28，所以x>2，此时|x|>2；
因为|x|>2，所以x>2或x8”是“|x|>2”的充分不必要条件．
故选：A.
先化简x3>8，结合四种条件的定义进行判定．
本题考查了充分必要条件的定义，考查转化思想，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：q=1q3⋅q4=a3a6⋅a10a6=a3⋅a10a62=122=14.
故选：C.
直接使用已知条件及公比的性质得到结论．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：sin(π3−α)+sin(2α−π6)=cs(π2−(π3−α))−cs((2α−π6)+π2)：
=cs(α+π6)−cs(2α+π3)
=cs(α+π6)−(2cs2(α+π6)−1)
=13−(2×19−1)=109.
故选：A.
使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，
设△BCD的外心为M，过M作底面的垂线MO，使MO=12BA，则O为三棱锥的外接球的球心，
在△BCD中，由BC=3，CD=5，BD=7，得cs∠BCD=32+52−722×3×5=−12，
故sin∠BCD= 32，设△BCD的外接圆的半径为r，
则r=72× 32=7 3，OM=2，
∴OB2=(7 3)2+22=613=R2.
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=4π×613=2443π.
故选：B.
由题意画出图形，利用正弦定理求出△BCD的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
本题考查的知识点：余弦定理，求和三棱锥的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由抛物线方程为y2=16x，
得到焦点F(4,0)，准线方程为x=−4，
过点P做准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，
所以|PF|=|PN|，
所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，
当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，
又因为Q在圆上运动，
由圆的方程为(x−5)2+(y−1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，
所以|QN|min=|MN|−r=8，
故选：C.
根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|−r得到最小值．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的性质及圆的性质，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：若h(x)=f(x)g(x)=xex，由y=ex，y=x均为(0,1)上的单调递增函数，且为正，
故h(x)为(0,1)上的单调递增函数，
若h(x)=f(x)g(x)=xlnx，则x∈(0,1)时，h′(x)=lnx−1ln2x0恒成立，
所以f(x)>a恒成立，
所以只需a0恒成立，只需a0，知f(x)>0恒成立．从而可得出f(x)=2x，再逐个判断选项即可．
本题考查了对函数奇偶性、单调性的判断，难点是得出f(x)=2x，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，设O是正方形ABCD的中心，则OA=OB=OC=OD=2 2.
过O在正方形ABCD上方作直线OP，使得OP⊥平面ABCD，OP=2 2，
再在平面PBD内以O为圆心，2 2为半径作圆O，
则S的轨迹为圆O位于正方形ABCD上方的部分(不含点B，D).
由于OP⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，故OP⊥AC.
而AC⊥BD，OP和BD在平面PBD内交于点O，所以AC⊥平面PBD.
又因为SD在平面PBD内，所以AC⊥SD，A正确；
对于B，由于OP⊥平面ABCD，平面PBD的两直线OP和SD相交，
故直线SD与平面ACD所成角即为∠SDB，
而当S在圆O的上半部分(不含点B，D)运动时，∠SDB的范围是(0,π2)，B错误；
对于C，由于S到平面ABCD的距离d的取值范围是0