湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高一上学期期中考试数学卷试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】集合，
所以.
故选：B
2. 函数为幂函数，则该函数为（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数；
【详解】由题意知，即，
则该函数，此时函数定义域为全体实数集，
该函数在定义域内有增有减，不是单调函数；
函数满足，为偶函数.
故选：D
3. 下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】先检验两函数定义域，再检验解析式，根据同一函数的概念，分析即可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，，定义域为，定义域和解析式都同，是同一个函数，故A正确；
对于B，，定义域为，的定义域为，定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，，，解析式不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D，由解得，故的定义域为，
由解得或，故的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故D错误.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由配凑法和即可得解.
【详解】因为，且，
所以.
故选：A.
5. 设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ②
【答案】B
【解析】
【分析】从函数的三要素：定义域、对应法则和值域对图形逐一判断即得.
【详解】对于①，从图中可看出，函数的定义域是，不符合集合到集合的函数关系；
对于②，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系；
对于③，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系；
对于④，任取，在图中可看到有两个的值与之对应，不符合函数定义的要求.
故② ，③ 可表示集合到集合的函数关系.
故选：B.
6. 已知的定义域为则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用抽象函数定义域求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以,
所以,
所以
所以的定义域为.
故选：C.
7. 已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.
【详解】由于函数为偶函数，故，
且在上单调递减，
所以，即，
故选:D．
8. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】变形给定不等式可得，构造函数可得 单调性，再利用单调性求解不等式.
【详解】由，且，不妨设，即，
得，
即，则，即，
令，即，因此在上单调递减，
不等式中，，则有，又，
于是，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分．
9. 关于x不等式的解集为或x>2，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题设可得，，再对各个选项分析判断，即可求解.
【详解】因为关于x不等式的解集为或x>2，
则且的两根为和，由韦达定理得到，
得到，故易知选项A正确，
对于选项B，因为，所以选项B错误，
对于选项C，，所以选项C错误，
对于选项D，，所以选项D正确，
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则的最小值为
B. 当时，的最小值为
C. 设，则“”是“”成立的充分不必要条件
D. 命题：，是真命题，则实数
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式求的最小值判断A，
利用基本不等式求的最小值判断B，
结合充分条件和必要条件的定义判断C，
根据三个二次关系可得有两个不等实根，求的范围，判断D.
【详解】对于A，当时，，，
所以，
当且仅当时等号成立；所以
当时，的最小值为，A正确；
对于B，因为x∈0,2，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当x∈0,2时，的最小值为，B正确；
对于C，不等式，等价于或，
所以由可推出，由不能推出，
所以“”是“”成立的充分不必要条件，C正确；
对于D，由命题为真命题可得有两个不等实根，
所以，所以，D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 为增函数D. 为奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，求得，判断A，由计算出，然后由求得，判断B，令判断D，首先赋值求得，再由已知不等式证得时，，即时，，然后由展开后证明C．
【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；
由，可得，
，即，可得，故B错误；
令，则，即，
则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，
当时，，即，
设，即，即有，
则在R上递增，故C正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，是偶函数，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，即可求解.
【详解】因为是偶函数，则其定义域关于原点对称，
所以，解得，
故答案为：.
13. 已知是二次函数，且，若，则的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解.
【详解】由已知设，
因为，所以，
因为，
，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
14. 若函数的定义域和值域均为，则b的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可.
【详解】由函数，可得对称轴为，
故函数在上增函数.
函数的定义域和值域均为，
，即.
解得，或.，.
故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知奇函数，
（1）求实数的值；并作出y=fx的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求a的取值范围．
【答案】（1）；图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出时，函数的解析式，即可求得的值，分段作出函数的图象，即可得到的图象；
（2）根据图象，利用函数在区间上单调递增，建立不等式，即可求的取值范围．
【小问1详解】
设，则，，
函数fx是奇函数，，
；
如下图：
小问2详解】
由图象可知，，
，
故a的取值范围为：．
16. 记全集，集合，或．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算，即可求解；
（2）由，列出不等式组，求解即可；
（3）由，则，再分集合是否为空集，进行分类讨论求的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，则或，
因此或或或.
【小问2详解】
若，则，解得，
故的取值范围为.
【小问3详解】
若，则，
当时，，解得，
当时，，或，
解得，或，
综上知，的取值范围为.
17. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2），最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可.
【小问1详解】
由题意知利润收入总成本，
所以利润，
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
.
【小问2详解】
当时，，
故当时，，
当时，，
当且仅当，即时取得等号;
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元.
18. 已知
（1）当，解关于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论当、、、情况下，解一元二次不等式即可；
（2）将原不等式转化为，利用分离参数法可得，结合换元法和对勾函数的性质求出的最大值即可.
【小问1详解】
若即，原不等式为，解得，
即原不等式的解集为；
若即，方程的解为和，
当时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为R；
当即时，，原不等式的解集为.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为R.
【小问2详解】
由，得，
对于方程，，
所以R上恒成立，故，
令，则，得可变形为，即，
对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，为，
所以在上的最大值为，
得.
综上，a的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由参变量分离法可得，求出函数在0,4上的最大值，即可求得实数的取值范围；
（3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：当时，，
任取、，且，
则，，，，
所以，，所以，函数在单调递增.
【小问2详解】
解：由题，因为，则，
所以，，即，
由（1）知，函数在单调递增，
所以，当时，函数取最大值，即，
所以，，则，
因此，实数的取值范围是.
【小问3详解】
解：对任意的，任意的，恒成立，
即，
令，
因为时，，
则，
所以，对任意的恒成立，
令，则，解得，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论
即取值作差变形定号下结论.