湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

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时量：120分钟 满分：150分 命题单位：淮阳中学刘莉 审题单位：常德市第二中学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数 ，则的的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A. B．3 C． D．
4.在锐角中，角A，B，C的对边分别是，，.已知，，的面积为，则=（ ）
A． B．3 C． D．
5.孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭。初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛. 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（ ）
A.米 B．米 C．米 D．米
6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100 B．230C．130D．365
7.在中，，，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形D．等腰（非直角）三角形
8.如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段BC上运动（包括端点）且，若△ABC的面积为.则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
下列说法正确的是（ ）
A.空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件
B.在复数集中，方程有两个解，依次为
C.，则（为平面，为点）
D.二次函数为偶函数
10.函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D．在上的零点有4个
11.如图，已知正方体的棱长为2，，，分别是棱，，的中点,则下列说法正确的是（ ）
是共面直线
如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为
过三点作一个截面，截得的几何体的体积
若在上存在一点 使得 最小，最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.角终边上有一点，则=
13.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为
14. 已知在中，角的对边分别为，，为
的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为 （用表示）
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直?
16．在中，角A，B，C的对边分别是，，且．
(1)求角的大小；
(2)若,为的中点，，求
17.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到
(1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
18.已知函数.
（1）求的最小正周期
（2）若是锐角，且，求角的正弦值
（3）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，求周长的取值范围.
19．对于函数，，如果存在实数，，使得，那么称函数为的“重组函数”
(1)已知，，是否存在实数，，使得是的重组函数？若存在，求出，，；若不存在，试说明理由.
(2)当，时，求的重组函数的值域.
(3)当，时，的重组函数有唯一的零点，求实数的取值范围．