2024年湖南省邵阳市高考数学第一次联考试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省邵阳市高考数学第一次联考试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x=3n+1,n∈N}，B={4,5,6,7}，则集合A∩B的元素个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.若i(1+z)=1(i为虚数单位)，则z+z−=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.命题“∀x∈R，x2−2x+3>0”的否定为( )
A. ∃x∈R，x2−2x+3>0B. ∃x∈R，x2−2x+3≤0
C. ∀x∈R，x2−2x+30)上一点M(3,m)到焦点的距离是5p，则p的值为( )
A. 34B. 43C. 23D. 32
5.城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为( )
A. 110B. 144C. 132D. 156
6.已知向量a=(t,2)，b=(2,−1).若a与b的夹角的余弦值为2 55，则实数t的值为( )
A. 52B. −52C. 32D. −32
7.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.7和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为( )
A. 1529B. 78C. 58D. 1729
8.已知a=10lg4，b=9lg5，c=8lg6，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面直角坐标系中，M(−2,0)，N(2,0)，动点P(x,y)满足|PM|= 2|PN|，点P的轨迹为曲线C，点P到直线l：x+y+6=0的距离的最小值为d，下列结论正确的有( )
A. 曲线C的方程为(x−6)2+y2=32B. d=2 2
C. 曲线C的方程为(x+6)2+y2=32D. d= 2
10.下列命题中，说法正确的有( )
A. 设随机变量X～B(10,12)，则D(X)=5
B. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r越接近于1
C. 决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
D. 基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2b>0)的短轴长为2 3，左顶点到左焦点的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图所示，点A是椭圆C的右顶点，过点(6,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，且都在x轴的上方，点P的坐标为(23,0)，证明：∠APE=∠OPF．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=3lnx+ax2−4x+b(a>0,b∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=12时，方程f(x)=0有三个不相等的实数根，分别记为xi(i=1,2,3)．
①求b的取值范围；
②证明|xi−xj|0”的否定为：∃x∈R，x2−2x+3≤0．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：由已知可得，抛物线的准线方程为x=−p2，
根据抛物线的定义可得，点M(3,m)到焦点的距离等于到准线的距离3+p2，
所以，3+p2=5p，解得p=23．
故选：C．
先求出准线方程，根据抛物线的定义得出3+p2=5p，求解即可得出答案．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线定义的应用，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：添加节目后，共有12个节目，
因为保持原来10个节目的相对顺序不变，
则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，
所以，不同的排法种数为A122=12×11=132．
故选：C．
共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由a=(t,2)，b=(2,−1)，
可得|a|= t2+4，|b|= 4+1= 5，
a⋅b=2t−2，
则cs=2t−2 t2+4× 5=2 55，
解得t=−32．
故选：D．
由向量的夹角公式，代入坐标列方程即可求得结论．
本题考查平面向量的夹角与数量积的坐标运算，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A，B，C，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，
∴P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(C)=0.5，
P(D)=P(A−B−C)+P(A−BC−)+P(AB−C−)=0.4×0.3×0.5+0.4×0.7×0.5+0.6×0.3×0.5=0.29，
P(B−D)=P(A−B−C)+P(AB−C−)=0.3×0.4×0.5+0.3×0.5×0.6=0.15，
则P(B−|D)=P(B−D)P(D)=．
故选：A．
根据条件概率的计算公式计算得解．
本题考查条件概率的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为a=10lg4，b=9lg5，c=8lg6，
两边取对数得：lga=lg4⋅lg10，lgb=lg5⋅lg9，lgc=lg6⋅lg8，
令f(x)=lgx⋅lg(14−x)，4≤x≤6，
则f′(x)=lg(14−x)xln10−lgx(14−x)ln10=1ln10[(14−x)lg(14−x)−x⋅lgxx⋅(14−x)]，
令g(x)=x⋅lgx，则g′(x)=x′⋅(lgx)+x⋅(lgx)′=lgx+1ln10>0,x∈(1,+∞)，
可知g(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为4≤x≤6，则8≤14−x≤10，可知14−x>x恒成立，
则g(14−x)>g(x)，即g(14−x)−g(x)>0，可得f′(x)>0，
则f(x)=lgx⋅lg(14−x)在[4,6]上单调递增，可得f(4)