2024~2025学年湖南省常德市沅澧共同体高一(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年湖南省常德市沅澧共同体高一(上)期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合，所以.
故选：B.
2. 函数为幂函数，则该函数为（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数
【答案】D
【解析】由题意知，即，
则该函数，此时函数定义域为全体实数集，
该函数在定义域内有增有减，不是单调函数；
函数满足，为偶函数.
故选：D.
3. 下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】对于A，的定义域为，，定义域为，
定义域和解析式都同，是同一个函数，故A正确；
对于B，，定义域为，的定义域为，
定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，，，解析式不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D，由解得，故的定义域为，
由解得或，故的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故D错误.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，
所以.
故选：A.
5. 设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ②
【答案】B
【解析】对于①，从图中可看出，函数的定义域是，
不符合集合到集合的函数关系；
对于②，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系；
对于③，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系；
对于④，任取，在图中可看到有两个的值与之对应，不符合函数定义的要求.
故② ，③ 可表示集合到集合的函数关系.
故选：B.
6. 已知的定义域为则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为的定义域为，所以，所以，
所以，所以的定义域为.
故选：C.
7. 已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于函数为偶函数，故，
且在上单调递减，
所以，即.
故选：D．
8. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，且，不妨设，即，
得，
即，则，即，
令，即，因此在上单调递减，
不等式中，，则有，又，
于是，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分．
9. 关于x不等式的解集为或x>2，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为关于x不等式的解集为或x>2，
则且的两根为和，由韦达定理得到，
得到，故易知选项A正确；
对于选项B，因为，所以选项B错误；
对于选项C，，所以选项C错误；
对于选项D，，所以选项D正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则的最小值为
B. 当时，的最小值为
C. 设，则“”是“”成立的充分不必要条件
D. 命题：，是真命题，则实数
【答案】ABC
【解析】对于A，当时，，，
所以，
当且仅当时等号成立；所以当时，的最小值为，A正确；
对于B，因为x∈0，2，所以，当且仅当时等号成立，
所以当x∈0，2时，的最小值为，B正确；
对于C，不等式，等价于或，
所以由可推出，由不能推出，
所以“”是“”成立的充分不必要条件，C正确；
对于D，由命题为真命题可得有两个不等实根，
所以，所以，D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为增函数D. 为奇函数
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；
由，可得，
，即，可得，故B错误；
令，则，即，
则函数为奇函数，故D正确；
令，可得，
即，
当时，，即，
设，即，
即有，
则在R上递增，故C正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，是偶函数，则实数的值为______．
【答案】
【解析】因为是偶函数，则其定义域关于原点对称，
所以，解得.
13. 已知是二次函数，且，若，则的解析式为______.
【答案】
【解析】由已知设，
因为，所以，
因为，
，
所以，解得，所以.
14. 若函数的定义域和值域均为，则b的值为________．
【答案】3
【解析】由函数，可得对称轴为，故函数在上增函数.
函数的定义域和值域均为，
，即.
解得，或.
，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知奇函数.
（1）求实数的值；并作出y=fx的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求a的取值范围．
解：（1）设，则，，
函数fx是奇函数，，；
如下图：
（2）由图象可知，，，
故a的取值范围为：．
16. 记全集，集合，或．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围．
解：（1）当时，，则或，
因此或或或.
（2）若，则，解得，
故的取值范围为.
（3）若，则，
当时，，解得，
当时，或，
解得，或，
综上知，的取值范围为.
17. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解：（1）由题意知利润收入总成本，
所以利润，
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
.
（2）当时，，
故当时，，
当时，，
当且仅当，即时取得等号;
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元.
18. 已知.
（1）当，解关于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
解：（1）若即，原不等式为，解得，
即原不等式的解集为；
若即，方程的解为和，
当时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为R；
当即时，，原不等式的解集为.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为R.
（2）由，得，
对于方程，，
所以在R上恒成立，故，
令，则，得可变形为，即，
对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，为，
所以在上的最大值为，得.
综上，a的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）证明：当时，，任取、，且，
则，，，，
，
所以，所以函数在单调递增.
（2）由题，因为，则，
所以，即，
由（1）知，函数在单调递增，
所以当时，函数取最大值，即，
所以，则，
因此，实数的取值范围是.
（3）对任意的，任意的，
恒成立，
即，
令，
因为时，，
则，
所以，对任意的恒成立，
令，则，解得，
所以，实数的取值范围是.