2025届湖南省沅澧共同体高三(上)第二次联考数学试卷(解析版)

这是一份2025届湖南省沅澧共同体高三(上)第二次联考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 设命题，，则为， 设，则的大小顺序为， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，
则，
所以.
故选：B.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，
命题“，”的否定“，”.
故选：A.
3. 设，则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数在0,+∞上单调递增，可得， .
因函数在R上单调递增，则.故，
即.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】，则，
所以.
故选：B.
5. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由投影向量定义可知，在上的投影向量为.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以
.
故选：C.
7. 关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数图象如图所示．
若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则
即解得.
故选：A．
8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得
，
所以，所以切线方程为，
令，则，令，则，
则三角形的面积为，故选：A.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. 若满足对定义域内任意的，都有，则称为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，函数定义域为R，
取，则，
则存在，使得，故A满足题意；
对于B，函数的定义域为，
对于定义域内任意的，
故B不满足题意；
对于C，函数定义域为R，
取，则，
则存在，使得故C满足题意；
对于D，函数定义域R，
取，则，
则存在，使得故D满足题意.
故选：ACD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 的图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】A．由图可得，，，解得，
又函数图象经过点，所以，即，
因为，所以，解得，故，故A正确；
B．当时，，此时函数取得最小值，
的图象关于直线对称，故B正确；
C．是奇函数，故C错误；
D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得到函数的图象，故D正确，
故选：ABD．
11. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，且，恒有
C. 函数在上的值域为
D. 若，恒有的一个充分不必要条件是
【答案】AD
【解析】对于A：∵函数是奇函数，其定义域为，
则，
解得，故A正确；
对于B：由选项A可得：，
对，且，
则，可得，故，
可得，则，
即，故在上单调递增，
∴，且，恒有，故B错误；
对于C：∵，，且在定义域内单调递增，
∴函数在上的值域为，故C错误；
对于D：∵，恒有，且在上单调递增，∴，恒成立，
即，恒成立，
当时，则不恒成立，不合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
∵，
∴，恒有的一个充分不必要条件是，故D正确；
故选：AD．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，．
当且仅当时等号成立．
所以，最小值为．
13. 用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为________．
【答案】
【解析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于,
则，，
圆锥筒的高为：，
这个圆锥筒的体积为; .
14. 函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.
【答案】
【解析】由题意可得
，
令，即恰有三个实根，
三根为：①
，k，
∵，∴，
∴无解；
或，
当时，解得的范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知分别为的三个内角的对边，且，，．
（1）求及的面积；
（2）若为边上一点，且，求的正弦值．
解：（1）由余弦定理得，
整理得，即，
因为，解得，
所以.
（2）由正弦定理得：，
所以，
在三角形中，因为，则，
所以.
16. 已知数列的前项和为，且，数列满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求．
解：（1）由，
当时，.
当时，，也适合.
综上可得，.由，所以.
（2）由（1）知，
①
②
①②得
，
所以．
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
,，
,
，且平面平面，
（2）由（1）得，，
异面直线与所成角的余弦值为．
（3）由（1）得，．
设平面的法向量n=x,y,z，
由得，，
令，
则，
设，
．
整理得，，
解得或存在点或．
18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
解：（1）由题意得，解得，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线方程为.
（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.
19. 已知是自然对数的底数．
（1）讨论函数单调性；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
解：（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，恒有，则函数在R上单调递增；
当时，由，得；由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
（2）方程，当时，方程不成立，则，令，
依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有2个交点，
求导得，当或时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，当时，，且当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图：
观察图象，当时，直线与函数的图象有2个交点，
所以的取值范围为.
（3）当时，，求导得，
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
由，且，得，令函数，
求导得，
则函数在上单调递增，有，于是，
而，因此，即，又，
函数在上单调递增，从而，
所以.