上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高三下学期四模数学试题

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高三下学期四模数学试题，共14页。试卷主要包含了05，; 2，B 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则______．
2．已知方程的一个根是（i是虚数单位），则______．
3．已知球的表面积为16π，则该球的体积为______．
4．已知正实数a、b满足，则ab的最大值为______．
5．若函数为偶函数，则实数______．
6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则______．
7．在的展开式中，项的系数为______．
8．直线与圆相交所得的弦长为m，则实数______．
9．记为等比数列的前n项和，若，则的公比为______．
10．已知向量，，满足，，且，则____．
11．如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？
12．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如下图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设α、β为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
14．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
，则下列命题中不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
15．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．B．C．D．
16．已知数列不是常数列，前n项和为，且．若对任意正整数n，存在正整数m，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题B．①与②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）求的单调增区间；
（2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，求角B的大小．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱雉的所有棱长均为，且．
（1）在棱DE上找一点G，使得平面ABC⊥平面AFG，并给出证明；
（2）若，求直线DF与平面ABC所成的角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
（1）完成2×2列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知直线l：与双曲线C：相切于点Q．
（1）试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值；
（2）设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线l的距离为；
（3）已知过点Q且与直线l垂直的直线l′分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段AB中点，求点P的轨迹方程．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”．
（1）试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由；
（2）若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；
（3）证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？
【答案】
【解析】据题意知, 只有点在线段上某一适当位置,才能使总运费最省,
设点距点, 如图所示, 则,,
又设总的水管费用为元,
由题意得
令 解得.在上,只有一个极值点,
根据实际意义, 函数在处取得最小值,此时,
答：供水站建立在之间距甲厂处,可使水管费用最省.
12．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如下图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等
于______．

【答案】
【解析】该纸杯母线长为, 开口直径为.
旅客使用纸杯喝水时, 当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,
如图: 设.
即,
为椭圆的中心，分别为在底面上的射影,
可得为小圆的圆心,, 可得是椭圆的短轴长为,椭圆的离心率为:.
二、选择题
13.B 14. B 15. C 16.D
15．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线,
则对应函数为,的图象关于轴对称,
即,则令, 可得的最小值是.故选：.
16．已知数列不是常数列，前n项和为，且．若对任意正整数n，存在正整数m，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题B．①与②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①，数列不是常数列，则，则看作是一次函数的变化，
由得，看作是二次函数的变化，
当足够大时，极限的思想说明不成立；
②，取，则，
当时，取，满足；
当时，取，满足；故选．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）点G为DE的中点，证明略 （2）
19.（1） 有关 （2） （3）0.69
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知直线l：与双曲线C：相切于点Q．
（1）试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值；
（2）设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线l的距离为；
（3）已知过点Q且与直线l垂直的直线l′分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段AB中点，求点P的轨迹方程．
【答案】（1）当时,;当时,；当时,.
（2）见解析 （3）
【解析】（1）答题联立, 消去可得:
所以, 所以, 即,
所以当时,;当时,；当时,.
(2)设, 则, 对求关于的导数可得:, 所以,
则, 又过点与垂直的直线分别交,轴于两点,
所以, 所以,
令, 得, 所以,令, 得, 所以,
所以, 即,则,又,
所以,即的轨迹方程是
21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”．
（1）试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由；
（2）若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；
（3）证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
【答案】（1）是；不是； （2） （3）
【解析】（1）函数是“卓然”函数，由定义可证；不是“卓然”函数；举反例；
（2）有解．
函数： ；严格增区间：，
严格增区间：，值域：．
所以实数的取值范围是．
（3），，设，
，
当时，恒成立，
此时不存在使得成立，不合题意；
当时，在上严格减，所以在上严格增，
因为，
所以存在使，，
当时，严格减，
当时，严格增，
所以，
由，所以，
此时不存在使得成立，不合题意；
当时，若，则，从而，
所以在上严格增，
当时，设，则，
设，当时，在上严格增，
且，所以，从而，
所以在上严格增，所以，
从而，所以在上严格增，
又，
由零点存在性定理，存在使得，
即成立，符合题意；
当时，，显然存在零点符合题意；
当时，在上严格减，
且，所以，从而，
所以在上严格减，
又时，，
存在，使得，即，
当时，严格增，
当时，严格减，
又时，，
由零点存在性定理，存在使得，
即成立，符合题意；
综上所述，为“卓然”函数，该函数“卓然”取值范围是．