微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

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1、三角形面积问题
模型一：基本方法
模型二：分割三角形
模型三：三角形面积坐标表示
模型四（面积比）： “等角”“共角”“对顶角”
蝴蝶模型
蝉模型
2、四边形面积问题
模型一
模型二
模型三
3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
4、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【典型例题】
例1．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
【解析】（1）点在椭圆上，且垂直于轴，则有
设椭圆的焦距为，则，
点代入椭圆方程，有，
解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，由，
消去y，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，所以，
因为直线和直线关于对称，
所以
所以
所以
解得.
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点.
（ⅱ）设直线l的方程为，由，
消去，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
解得，
，
所以，
所以
令
则，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
例2．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
(1)求证：.
(2)求的面积的取值范围.
【解析】（1）
证明：设点．
①当直线的斜率都存在时，
设过点与椭圆相切的直线方程为．
联立，消去得．
．
令，整理得：．
设直线的斜率分别为．
∴．又．
∴．
∴，即为圆的直径，
∴．
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为．
∴点，点，也满足．
综上，有．
（2）设点，点．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
联立，消去得
．
令，整理得．
则．
∴直线的方程为．
化简可得，即．
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足．
同理，可得直线的方程为．
∵在直线上，
∴，．
∴直线的方程为．
联立，消去得．
∴，，
∴
．
又点到直线的距离．
，
令，．则．
又，
∴的面积的取值范围为
例3．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．
(1)证明是一个双曲线并求其离心率；
(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；
(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）设复数，
则
两边平方得
所以是一个焦点在实轴上，顶点为，渐近线为的双曲线．
其离心率.
（2）由（1）的计算得，，，则直线，
设，则，
，
由得，代入得
所以，原式得证．
（3）由（1）得的两条渐近线，，
由对称性，不妨设，则，
所以，同理得．
联立和：，得，
易知直线，所以点到直线的距离
由（1），所以
而，所以
，故平行四边形的面积为定值．
例4．（2024·天津·一模）已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，解得，
椭圆的方程；
（2）因为的面积与的面积总相等，故为的中点，
结合对称性可知两点关于轴对称，
由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0，
设直线，故，
，化简得，
由得，，
设，则，
则，
直线，令得，
，
所以.
例5．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．
【解析】（1）设，与直线的切点为N，则，
所以
化简得，所以C的方程为：；
（2）①设线段的中点为，
因为，所以可设，，
又因为，
所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线，
所以G，E，H三点共线．
②设，，，，AB中点为E，中点为F，
将代入得：，所以，，
所以，
同理，，（均在定直线上）
因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等；
所以四边形的面积等于四边形GAHB的面积，
设，，
直线，即
整理得：直线，又因为，所以，
同理，直线，，所以
所以
所以四边形GAHB面积
，
当且仅当，即，即时取等号，
所以四边形面积的最大值为16．
例6．（2024·高三·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：
(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.
【解析】（1）设，易知，准线方程为，所以.
当时，取得最小值，由，解得.所以抛物线的方程为.
（2）设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为0，
所以设直线的方程为，
联立，消去得，
所以，所以，
同理可得，所以.
（3）因为，所以，即.
因为，所以，即，
所以，由（2）知，所以，
故，所以，即，
化简得，解得或，
若，则，这与矛盾，所以，
所以.
例7．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率.
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
因为，
设，
则直线的方程的方程为，
联立，消去可得，
，
解得，代入直线方程可得，故，
直线的方程为，由，消去可得，，
解得，故，
设与的面积分别为，则，
因为，且三点共线，三点共线，结合距离公式化简可得
，
由，化简解得，
当时，，的斜率为，
当时，，的斜率为，
综上，直线的斜率.
例8．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足.
(1)求的平分线所在的直线的方程；
(2)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程.
【解析】（1）设的平分线与轴交于点，
由，则，由，有，故，
故，则，解得，故，
由角平分线的性质可得，所以，
解得，故，则有，
即直线的方程为；
（2）假设存在两点关于直线对称，则，所以，
设直线的方程为，联立，
得，则，
即，
所以的中点坐标为，因为的中点在直线，
所以，所以，所以的中点坐标为，
与点重合，矛盾，所以不存在满足题设条件相异的两点；
（3）由题意知，，
设与椭圆共焦点的双曲线的标准方程为，
设它们的一个交点坐标为，它们的交点为顶点的四边形面积记，
所以，
当且仅当取得等号，因为，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为.
例9．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.
【解析】（1）设椭圆焦距为，
由题意可得，
故椭圆方程为
（2）当斜率不存在时，易知；
②当斜率存在时，设，,，,，
由，得，显然，
所以，，
因为，，
所以，
因为，
所以，
又，
设，则，，解得且，
所以，
综上可得的取值范围为．
【过关测试】
1．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.
(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.
【解析】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，，
由，解得，
则双曲线的方程为，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去得，，，
设，则，
直线的斜率分别为，
所以.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得点的纵坐标，
用替换上式中的得点的纵坐标，
则
而，当且仅当时取等号，
因此，所以的最大值为.
2．（2024·河南·一模）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线相切．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，且，过分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）
因为直线与抛物线相切，
所以方程组有唯一解，所以有唯一解，
所以，且，解得．
（2）设直线的方程为，，
因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，
联立方程，消去x得，
则，可得，
因为，即，
整理得，
即，解得，
可知直线的方程为，可知，，符合题意，
则四边形的面积为
．
令，
所以，
因为，则，且与在上单调递增，
可知在上单调递增，
当且仅当，即时，，
所以四边形面积的最小值为．
3．（2024·辽宁·一模）已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
【解析】（1）设，，则，，
，两点在双曲线上，
，由①－②得，
即，，
，即，，
又，，双曲线的方程为：；
（2）由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，，
则，，
，
，为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，，，
，，
，
点在双曲线上，，
，
③，
又，，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
，分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
令，，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
，.
4．（2024·云南红河·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，是上异于的不同的两点，且满足，点为外接圆的圆心.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)当外接圆的面积最小时，求两点的坐标.
【解析】（1）由题意可知，，故.
设，，，因为，为外接圆的圆心，
所以为线段的中点，设，则，即①，
点在抛物线上，所以，将①式代入整理得，
显然点不满足题意，所以动点的轨迹方程为.
（2）显然斜率存在且不为，设，由知，
故设，
联立得，化简得（舍）或，所以，
联立得，，，
故，
令，则或，故.
所以
，
（当且仅当即时，等号成立），故的最小值为，
所以外接圆的面积为.
所以时，外接圆的面积取得最小值.
此时，，或，.
5．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：过点，且焦距为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
【解析】（1）依题意有，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）①设：，，，则：，
联立，故，，，
故，由代替m，得，
当，即时，：，过点.
当，即时，，：，
令，，直线MN恒过点.
当，经验证直线MN过点.
综上，直线MN恒过点.
②，
令，，
∵在上单调递减，
∴，当且仅当，时取等号.
故面积的最大值为.
6．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线.
(1)证明：，的交点在直线上;
(2)求直线围成的三角形面积的最小值.
【解析】（1）根据题意，蒙日圆的半径为，所以.
因为，可知，则，
所以椭圆的标准方程为，
因为直线过点，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线，
联立方程，消去可得，
由根与系数的关系可得：
因为，可得直线，直线，
所以
即，解得，
所以直线的交点在直线上.
（2）设直线与直线的交点分别为，
则由（1）可知：直线，直线.
联立方程和，
解得
因为，
又因为点到直线的距离，
可得，只需求的最小值.
由弦长公式可得

令，则.
可得，
当且仅当，即时等号成立.
即的最小值为，可得面积的最小值为.
故直线围成的三角形面积的最小值为.
7．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)若直线的斜率k存在，求k的取值范围；
(2)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值.
【解析】（1）
设，，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
可得 ，解得，
又由直线的斜率为，可得的取值范围是.
（2）由双曲线，可得，，
由（1）可得，，则.
所以
.
（3）由（2）可知，
所以直线与直线的方程分别为和，
联立两直线方程可得交点的横坐标为，
于是
，
故的最小值为，当且仅当时取等号成立.
8．（2024·山西·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，，且．
(1)求的取值范围；
(2)过点作直线与椭圆交于点，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求四边形面积的最大值．
【解析】（1）设，，易知，
联立消去，得．
，，，
．
又，
.
（2）如图：
解法一：设直线的倾斜角为，则．
由（1）知．
直线的倾斜角为，
同理可知．
，
．
令，则．
，
当时，取最大值．
解法二：依题意，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，
直线的斜率存在．
不妨设直线的方程：，且，．
由（1）同理得，
则
又，
，
令，，
，
解方程，得．
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，．
，时，，，
．
9．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
【解析】（1）
因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，
又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，
所以的方程为.
（2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去得：，
由直线与椭圆相切，得，整理得，
于是圆心到直线的距离，
则的面积为，
设，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，取得最大值，此时，
当的斜率不存在时，由（1）知，，
由，得，则.
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以.
（ii）因为均存在，
设点，且，
设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设，
令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因此，
而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则，
所以.
10．（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆经过，两点．
(1)求的方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）因为过点，，
所以解得
故的方程为．
（2）由题知的斜率存在且不为0．
设．
因为与圆相切，所以，得．
联立与的方程，可得，
设，，则，．
所以，
将代入，可得．
用替换，可得．
四边形的面积．
令，则，可得，
再令，，则，可得，
即四边形面积的最小值为．
11．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B．
(1)求A点坐标；
(2)在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，求的最大值；
(3)设点M在椭圆E上，记与的面积分别为，，若，求点M的坐标．
【解析】（1）
由椭圆的左，右焦点分别为，，
设，因为，可得，
整理得，
又因为，联立方程组，解得，，
所以点点坐标为.
（2）设P点坐标为，则可得Q点坐标为，
由，
当时，取最大值，最大值为.
（3）点的坐标为，点的坐标为，
则点O到线段的距离，
若，则点M到线段的距离应为，
故M点的纵坐标为或，代入椭圆方程，
解得M点的横坐标为或，
故M点的坐标为或.
12．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点．
(1)求椭圆W的方程；
(2)已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值．
【解析】（1）由题意知，解得，
由长轴长是短轴长的2倍，则，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在，这的方程为，，
因为，故可设方程为，
由，得，
则，，，
所以，
同理，
因为，所以，因为，所以，
所以，
当且仅当时，平行四边形取得最大值为4.
当直线的斜率不存在时，此时平行四边形为矩形，设，易得，
又因为，所以，当且仅当时取等.
综上所述：平行四边形的面积的最大值为4.
13．（2024·上海·二模）在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)求的外心的纵坐标的取值范围；
(3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
设，则的重心.
，，则，
为垂心，故
因为存在使，故，所以，，
而，由垂心定义得，即，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）
由外心的定义知点在轴上，则，
的中点，，
所以，整理得.
与的方程为联立，得.
因为，所以.
（3）由对称性，不妨设点在第一象限，设，，直线：，
联立方程得，
，整理得；
，又，所以.
由条件知，，，所以三点共线且所在直线平行于轴，
由，知，
所以.
令，解得（舍去）.
又点在直线：上，所以，
即，所以.又，联立得，所以.
又，所以，即，所以.
所以，当点在第一、四象限时，；当点在第二、三象限时，.
故存在实数使.
14．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得：，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）方法一：设直线AP：，，
则，消y得：，
得：，
又因为在双曲线上，满足，即，
所以，即.
同理设直线BP：，，可得，所以.
因为，所以，因为，所以.
把代入双曲线方程得，解得，则点.
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
因为，所以.
则.
因为，所以，所以.
方法二：设直线DE：，，，
则，消x得：，
所以，，得，
因为P，A，D三点共线，则，
因为P，B，E三点共线，则，两式相除得，
而
.
因为，所以.
因为，所以，得，
把代入双曲线方程得，解得，则点.
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
则，
因为，所以，所以.
15．（2024·福建莆田·二模）已知椭圆的离心率为，且上的点到右焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为坐标原点，对于内任一点，直线交于两点，点在上，且满足，求四边形面积的最大值．
【解析】（1）由题意可得，
所以，
所以椭圆的方程是；
（2）设点到直线的距离为，
因为，所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，
所以四边形的面积为，
当直线垂直于轴时，，点到直线的距离的最大值为2，
此时，
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，
代入椭圆方程，整理并化简得，即，
所以，
设过点与直线平行的直线的方程为，
代入椭圆方程，整理并化简得，
由，
所以，
所以，等号成立当且仅当且，
综上所述，四边形面积的最大值为3.
16．（2024·河南·三模）已知是椭圆C：上的动点，过原点O向圆M：引两条切线，分别与椭圆C交于P，Q两点（如图所示），记直线OP，OQ的斜率依次为，，且．
(1)求圆M的半径r；
(2)求证：为定值；
(3)求四边形OPMQ的面积的最大值．
【解析】（1）
如图，由题意，切线OP，OQ的方程分别为，，则有，，
故，是方程，即方程的两根．
若，则圆M与y轴相切，直线OQ的斜率不存在，矛盾；
于是，化简得，解得．
（2）设，，依题意，，代入 可得 ，解得 ，
于是；同理 .
所以
，
即 为定值7.
（3）
，当且仅当时等号成立．
综上所述，四边形OPMQ面积的最大值为．
17．（2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：.
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，显然当时，，
故直线经过定点.
（ii）设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
18．（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知椭圆，双曲线是的右顶点，过作直线分别交和于点，过作直线分别交和于点，设的斜率分别为.

(1)若直线过椭圆的右焦点，求的值；
(2)若，求四边形面积的最小值.
【解析】（1）椭圆，右焦点为，右顶点为，
设的斜率分别为.设，
则，
因为直线方程过椭圆的右焦点，
所以直线方程为，
直线方程与椭圆方程联立，得：
，
所以.
（2）设，直线方程分别为
，
联立与得，同理，
联立与得，同理，
所以四边形面积为
令，易知，且，则，
令，，则在内，，
，
所以关于单调递增，所以，
当取最小值时，，经检验满足题意.
19．（2024·广东梅州·一模）有一种曲线画图工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动，跟踪动点的轨迹得到曲线，跟踪动点的轨迹得到曲线，以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)分别求曲线和的方程；
(2)曲线与轴的交点为，，动直线与曲线相切，且与曲线交于，两点，求的面积与的面积乘积的取值范围.
【解析】（1）因为，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，
所以曲线的方程为；
设，
由题意可知，
所以，
由于不恒为零，所以，所以，
又，代入可得，
所以的方程为.
（2）
易知，
设，
则点到直线的距离，
点到直线的距离，
因为与相切，所以，
由，消去，得，
，
，
所以，
所以 ，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，
所以，所以的面积与的面积乘积的取值范围为.
20．（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知抛物线：上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.
(1)求抛物线的方程：
(2)过点作直线交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线与，与相交于点，过点A作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与轴交于点P、Q、R、S.记、、、的面积分别为、、、.若，求实数的取值范围.
【解析】（1）设，由题意可得，即，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为.
（2）如图，
设经过，两点的直线方程为：（，），
与抛物线方程联立可得，
即，
∴，.
∵，则，
∴，
∴过点作的切线方程为，
令，得，即.
同理，过点作的切线方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，即，
则到直线的距离.
又∵过点作直线垂直于，
直线的方程为，
令，得，即.
同理，直线的方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，
整理后可得，即，
则到直线的距离.
由上可得，，
，，
∴，得，
故的取值范围为.