微专题24 痛点问题之新定义问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

这是一份微专题24 痛点问题之新定义问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分，共52页。

1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！
【典型例题】
例1．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角
坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．
【解析】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，
即，即，
所以“椭圆”的方程为；
（2）由方程，得，
因为，所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“椭圆”的范围为，，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于轴，轴，原点对称；
（3）由题意可设椭圆的方程为，
将点代入得，解得，
所以椭圆的方程为，，
由题意可设直线的方程为，
联立，得，
恒成立，
则，
因为的中点为，
所以直线的中垂线的方程为，
同理直线的中垂线的方程为，
设，则是方程的两根，
即是方程的两根，
所以，
又因，
所以，
两式相比得，所以，
所以，
所以直线与的斜率之积为定值．
例2．（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．

(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
【解析】（1）依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换，
综上，.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.，，；
Ⅱ.，，，
，
所以；
Ⅲ.
，
而，所以；
Ⅳ.，
；
综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.
②，，证明如下：
先证明：由于是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以.
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.
③的所有子群如下：
，
，，
，
例3．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
【解析】（1），则
所以，可得在处的切线斜率为
（2）令，
则，
下面证明：对任意恒成立,
先证明：对任意.证明如下：设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，故，故，
继续证明：对任意.
证明如下：令，则，
因此在上单调递增；所以，故
当时，对，都有，函数在上单调递增，
则，解得；
当时，对，
都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）（i），令，则所以在上单调递增，所以
所以当时，成立；
（ii）下面证明：当时，成立，
令，则
由前问解答过程，对任意成立，所以
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立
令且，可得，
即，
由题意，令且，可得，因为
所以，
由①当时，，所以令且，可得
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，可得，
所以，
又且，所以，
所以所以可得
，
即可得.
例4．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)若正整数互质，证明：；
(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
【解析】（1）因为，易知，
所以；
又，因为5的指数，所以；
（2）①若或，因为，所以；
②若，且存在质数，使得或的质因数分解中包含，则的质因数分解中一定也包含，
所以，
③若，且不存在②中的，可设，
其中均为质数，则，
因为互质，所以互不相等，
所以，
综上可知
（3）由于，所以可设，为偶数，
的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果，
所以
，
所以．
例5．（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade apprximatin）是有理函数逼近的一种方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，….又函数，其中.
(1)求实数，，的值；
(2)若函数的图象与轴交于，两点，，且恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，
则，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，，
故，，.
（2）由（1）可知，函数定义域为，，
，时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减.
函数的图像与轴交于两点，，，
，即，
令，则，，
时，；时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，使，
即，，
当时，，当时，.
，，.
，，
，，
，，
令，则恒成立.
令，则，
，
令，
则在上单调递减，，
在上单调递减，则，
即，在上单调递减，
当时..
，故.
所以实数的取值范围为.
例6．（2024·安徽合肥·一模）“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意，
(1)计算：；
(2)证明：对于任意，
(3)证明：对于任意，
【解析】（1）由定义可知，
.
（2）因为，
.
又
,
所以
（3）由定义得：
对任意.
结合（2）可知
即，
也即.
所以，
，
……
.
上述个等式两边分别相加得：
.
例7．（2024·辽宁鞍山·二模）设数列的前项和为，已知，且．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．
【解析】（1）当时，，又，所以，
当时，①，
故②，
式子①-②得，，即，
又，故当时，，
故，即，
因为为首项为，公比为的等比数列，
故，故，
（2）由（1）知，，故，
对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
设，于是，
当时，，即，
当时，，即，
故，所以，
综上，的取值范围是；
（3）由（1）知，，
因为
，
当为奇数时，，故，
当为偶数时，，故，
所以
，
，
考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除，
故除以16的余数为除以16的余数，
，
故除以16的余数为8.
例8．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
(1)求的最大值；
(2)当时，均有，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
【解析】（1）
由题意得
，
当且仅当时取等号，
即的最大值为140；
（2）由题意知，
从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列，
故共有个满足条件；
（3）证明：以下面表格作为的函数关系：
，
故为3阶闭环函数；
又，
故也为4阶闭环函数，
故原命题得证.
【过关测试】
1．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在函数满足下列条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则.
(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：当时，.
【解析】（1）因为对于，，所以；
因为对于，若，则，
取，则，故；
综上，.
（2）对于，且时，
有，，
根据条件②，得，
因为根据条件①，得，则，
所以，
即，
所以
.
（3）由（2）知，
设，且，则，
因为
，所以，
所以在上为不减函数，
对于任意，则必存在正整数，使得，
所以，
由（2）知，
由（1）知，又，所以，
所以，所以时，，
因为时，，且，
所以，即.
2．（2024·高三·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
【解析】（1）当时,正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数，即.
（2）由题意可知，，
因为，题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以.
（3）由题意知，，
所以，
因为，
所以
，
因为，，所以，
所以，即.
3．（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；
(1)求实数a的值；
(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．
【解析】（1）由已知，
所以，解得（舍去），
所以；
（2）由（1）得，，
则，
对任意的，，即恒成立，
令，则，不等式恒成立，
当时，，原不等式化为，
令，
则
，
所以在区间单调递增，所以，
所以，
综上所述，实数m的取值范围为；
（3），证明如下：
由已知方程可化为，
令，则，
因为，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
故
，
，
所以存在唯一，使得，
又，，
则
由单调递减可得，
所以.
4．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
【解析】（1）已知，，且，
所以，的所有情形有：、、、；
（2）设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
5．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
【解析】（1）由题意得.
若，则，即.
因式分解得.因为，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为，
第2对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为，
所以
所以.
（3）由题意知，证明
等价于证明，
注意到左侧求和式，
将右侧含有的表达式表示为求和式有
故只需证成立，
即证成立，令，
则需证成立，
记，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
6．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较与的大小；
(3)若在上存在极值，求的取值范围．
【解析】（1）由，，有，
可知，，，，
由题意，，，所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，．
（3）由，
．
由在上存在极值，所以在上存在变号零点．
令，则，．
①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件．
②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件．
③当，即时，令即，．
当时，，为减函数；时，，为增函数，
；
令，，，在时恒成立，
在上单调递增，，恒成立；
，，，则，，
；
，
令，
令，，
则在是单调递减，，所以，
，
令，则，，．
，即．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
又由③知，当时，，为减函数，，
所以此时，，在内无零点，
在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为．
7．（2024·全国·模拟预测）对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
（恒等元）存在，使得对任意，；
（逆的存在性）对任意，都存在，使得．
记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．
【解析】（1）
我们需证在普通加法下可构成一个群，需从以下四个方面进行验证：
①封闭性：对，则，封闭性成立；
②结合律：对，，结合律成立；
③恒等元：取，则对任意，．符合恒等元要求；
④逆的存在性：对任意，，且，满足逆的存在性．
综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群．
（2）首先提出，的“×”运算可以是复数的乘法：，理由如下．
即证明在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：
①封闭性：设，，其中，即．
则，
所以
，即，封闭性成立；
②结合律：设，，，其中，
即，结合律成立；
③恒等元：取，则对任意，，符合恒等元要求；
④逆的存在性：对任意，取其共轭，则，满足逆的存在性；
综上所述，在复数的乘法运算下构成一个群．
（3）所有阶数小于等于四的群都是阿贝尔群，理由如下：
若群的阶数为0，则为空集，与定义矛盾．所以的阶数为1，2，3，4．下逐一证明．
（1）若群的阶数为1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时是阿贝尔群；
（2）若群的阶数为2，设其元素为，其中是恒等元，则，符合交换律，故此时是阿贝尔群；
（3）若群的阶数为3，设其元素为，其中是恒等元，由群的封闭性，．
若，又，推出，则集合有两个相同的元素，
不满足集合的唯一性，矛盾，所以，
现要验证交换律，即．
若，有前知，且，所以，
与群的封闭性矛盾．所以，交换律成立，故此时是阿贝尔群；
（4）若群的阶数为4，设其元素为，其中是恒等元，
由群的封闭性，，由③的分析可知，且，
所以或．
若．由群中逆的存在性，群中存在一个元素使得，很明显，
所以或．
假设，即，又，推出则集合有两个相同的元素，
不满足集合的唯一性，矛盾，故只能；
先证交换律对成立，即．
若，则由，只能等于．
又因为，（和同理），
不满足群中逆的存在性，矛盾，所以．交换律对成立．
接下来只需证交换律对和也成立．
事实上，由和的对称性，只需证即可．
由群中逆的存在性，存在使得．
①若，则只需证．
若，由群的封闭性，，所以只能等于，
又因为，得，即，
但是任取的，该结论具有局限性，不对一般的成立，故矛盾．
即，此时交换律对成立．
②若．群中逆的存在性，存在使得，
又因为，所以只能等于，即，
由①可得：，即此时交换律对成立．
故群的阶数为4时，交换律成立，故此时是阿贝尔群．
综上所述，所有阶数小于等于四的群都是阿贝尔群．
8．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
【解析】（1）设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.
（3）设.
为理想数集.
，且，使得.
对于，同样有.
下先证对元理想数集，有.
不妨设集合中的元素满足.即.
为理想数集，
，且，使得.
当时，，
当且仅当且时，等号成立；
当时，，当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
.
.当且仅当时，等号成立.
.
理数.
当且仅当或时，等号成立.
理数的最小值为.
9．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
【解析】（1）由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于1，
则，.
（2）点不在直线族的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解.
将整理成关于的一元二次方程，
即.
若该方程无解，则，即.
证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为：，
即.
今直线族中，
则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意都是抛物线在点处的切线.
所以直线族的包络曲线为.
（3）法一：已知，设，
则，；
由（2）知在点处的切线方程为；
同理在点处的切线方程为；
联立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示：
则，因为，显然.
又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即.
同理可知，
所以，即.
则.
所以成立.
10．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据）
(2)现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.
①若，对成立，求实数，，的值；
②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.
【解析】（1）如图所示：
由题意设为正四棱锥的高，为中点，
由于正四棱锥的底面边长和高都是2，
所以，所以，
由对称性以及三线合一可知，
若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，
则的所有可能取值为，
且，
所以，
若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，
则的所有可能取值为，
，
代入参考数据，得，
若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，
则的所有可能取值为，
，
所以.
（2）①因为中项的系数为，
一般地，从中的第个因式中取一个，其余因式中取常数即可得到一个项，
而这一项的系数为，，
因为中项的系数为，
一般地，从中的第个因式中各取一个，其余因式中取常数即可得到一个项，
而这一项的系数为，从而，
从而，
，
由题意得，解得；
②用数学归纳法证明：且时，.
当时，，故结论对成立，
假设结论对成立，即，
则
，
所以结论对也成立，
故，对任意成立.
11．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
【解析】（1）
的定义域为，求导得，直线的斜率为2，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”.
（2）函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，
所以曲线的“双重切线”的方程为.
（3）设对应的切点为，对应的切点为，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
12．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
【解析】（1）因为
，
且，
所以，由可得，
所以.
（2）因为，
所以
又因为
所以，
所以.
（3）对于，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
.
13．（2024·高三·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）
【解析】（1）
，
在点处的切线方程为：
令，得，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
故
（2）令
法一：错位相减法
，
，
两式相减得：
化简得：
故，
化简得
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
法二：裂项相消法
由，
设且，
则，
于是，得，
即
所以

故，化简得
令，
则时，，
当当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数
14．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．
(1)试在上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
【解析】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意；
（2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾），
另一方面，若对任意，由可以得到，
我们用反证法证明是单射，
假设不是单射，即存在，有，
又由可以得到，即，这就产生了矛盾，
所以是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若是单射，则由可得，
同理存在单射，使得，，有，
另一方面，若存在映射，使对任意，有，
我们用反证法来证明是单射，
若不是单射，即存在，有，
又若，则由题意，这与产生矛盾，
所以此时是单射，
综上所述，命题得证.
15．（2024·河南信阳·一模）定义：已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．
【解析】（1）依题意，，显然；
故；
，
即或，则或．
（2），
对恒成立，
.
，
，
① 时,
当 , 且时,.
的集合为 且
② 时,
，
，
，
当, 且 时, .
的集合为 且
③且时, 的集合为
（3），；
设，
①若，则，，
对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数），
当时，；
②若，
ⅰ）若S为有限集，设，，
对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数），
当时，；
ⅱ）若S为无限集，设，，
若，则，又，矛盾；
故；
记；
当时，，，；
因为，所以；
当时，，，
因为，故；
因为，故，
故对任意，取，当时，；
综上所述，不存在实数A，使得．
综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有．
16．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．
(1)求数列的前项和；
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：
①对任意且，存在“-数列”，使得成立；
②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．
【解析】（1）
，
各项均不为0且递增，
，
，
，
，
化简得，
，
，
，
，
，
为等差数列，
，
，
；
（2）①证明：设“G-数列”公比为，且，
由题意，只需证存在对且成立，
即成立，
设，则，
令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，
，
存在，使得对任意且成立，
经检验，对任意且均成立，
对任意且，存在“G-数列”使得成立；
②由①知，若成立，则成立，
当时，取得，取得，
由，得，
不存在，
当且时，不存在“G-数列”使得对任意正整数成立．
17．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；
(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
和角公式：，
故；
导数：，；
（2）构造函数，，
由（1）可知，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为严格增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，
则，可知是严格增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在上为严格减函数，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3）当时，存在，使得，
由数学归纳法证明：，证明如下：
①当时，成立，
②假设当（为正整数）时，，
则成立.
综上：.
所以，有，即.
当时， ，
而函数的值域为，
则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比余弦二倍角公式，猜测.
证明如下：
类比时的数学归纳法，设，
易证，，，，，
所以若，
设，则，解得：或，即，
所以，于是.
综上：存在实数使得成立.
18．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．
【解析】（1）由，故，故，
；
（2）因为，等式两边同时乘b，得，
因为a，b都为整数，所以也为整数，
又，所以，所以，即得证，
假设b，，…，都小于等于a，，因为，
所以，所以，
因为，所以，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为个；
（3），将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．
对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
将这些数都提取出来，此时p的倍数中还有可以提取出的数，
注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来；
同理，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
依此这样进行下去，
则质因数的指数，即得证．
19．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知为正整数，数列，记.对于数列，总有，则称数列为项数列.若数列，均为项数列，定义数列，其中.
(1)已知数列，求的值；
(2)若数列均为项数列，求证：；
(3)对于任意给定的正整数，是否存在项数列，使得，并说明理由.
【解析】（1）根据题中定义知，
数列：，数列，
所以,
故.
（2）对于数列，
记数列对于，
若，则，
若，则，
故对于数列，
若，则；
若，则，
所以数列与数列是同一数列，
故.
（3）若是奇数，则不存在满足条件的项数列，
证明如下：
对于3个项数列，
记，
则，
当时，，
当中有一个不同于其他两个时，
，
所以是奇数，
则
为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；
若为偶数，即,
可构造：，,，
此时数列为，数列相同，
都是，
所以有，
综上所述，当为偶数时，
有可能为；
当为奇数时，不可能成立.
20．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
【解析】（1）依题意，，，
.
（2）（i）记，
，
，
，
，所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，从而对于任意给定的数列，
由，，由（i）知，
所以.
21．（2024·高三·江苏·专题练习）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：，求证:数列为“数列”；
(2)已知数列满足:，其中为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
【解析】（1）设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得．
由于等比数列的首项为1，公比为正数，因此所有的项均为正数，
因此数列为“数列”.
（2）①因为，所以
由得，则，
由，得
当时，由，得
故
整理得．
所以数列是等差数列，且首项为公差均为，
因此，数列的通项公式为.
②由①知，，.
因为数列为“数列”，设公比为，所以，.
因为，所以，其中.
当时，有；
当时，有．
设，则．
令，得.列表如下：
因为，所以．
所以，故，故，
令，则，
令，则，
当时，，即，
在,上单调递减，
即时，，则，
下面求解不等式，
化简得，
令，则，
由得，，在,上单调递减，
又由于， ，
存在使得，所以，
的最大值为5.
22．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【解析】（1）设这两个球形邻域分别为，，
为和的交集．
①若与不相交，则；
②若与相交，则
且
故或且．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为，，为和的交集．
①若与不相交，则，即可以看作零个球形邻域的并集；
②若与相交，则取，
令，构造球形邻域．
因为对于，有
故，这说明．
由于是中任取的一点，这说明，
继而
即可被表示为若干个球形邻域的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设，由（2）可知可看作若干个球形邻域的并集，
即
则，使得，故是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设是一个开集，由情况①得，使得，所以
即
故可被表示为若干个球形邻域的并集．必要性证毕．
23．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
【解析】（1），
则，即的最小值为；
，
则，即的最小值为.
（2）当时，，
点为直线上一动点，
则当时，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为.
（3）令，则，，
，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
的最小值
24．（2024·高三·河北·阶段练习）信息熵是信息论之父香农（Shannn）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.
【解析】（1）当时，则，所以
（2）随着的增大而增大.
当，则，
设，则，
因此随着的增大而增大.
（3）证明：若，随机变量所有可能的取值为，且.
.
，
因为，故
故，
由于，所以，
所以，所以，
所以.
x
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
5
6
7
4
x


+
0
–
单调递增
极大值
单调递减