2023年新高考数学二轮复习微专题【提分突破】 微专题05 数列经典题型精练

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

微专题05 数列经典题型精练

【秒杀总结】

1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.

3、几种常见的数列放缩方法：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）

；

（10）

；

（11）

；

（12）；

（13）.

【典型例题】

例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和，求；

（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，

∴当时，，

当时，

∴，即，

∴数列为首项为1公差为1的等差数列，

故；

（2）∵，

∴，

所以当时，，

当时，

∴；

（3）由题知，

令，则，

∴，

故单调递减，于是

∴要得不等式对一切都成立，则．

例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知为数列的前项和，，，成等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：．

【解析】（1）因为，，成等差数列，即，

当时，，两式相减得，

所以是公比为2的等比数列，

即，即．由，得，

所以的通项公式．

（2）由（1）知

，

又因为，，

故

，

∴．

例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点．点的横坐标构成数列

（Ⅰ）试求与之间的关系，并证明：；

（Ⅱ）若，求证：．

【解析】（Ⅰ）由已知，，从而有

因为在上，所以有

解得

由及，知，下证：

解法一：因为，所以与异号

注意到，知，

即

解法二：由可得，

所以有，即是以为公比的等比数列；

设，则解得，

从而有

由可得

所以，

所以

（Ⅱ）证明：因为

所以

因为，所以，所以有

从而可知

故

所以

所以

例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）设出等差数列的公差，根据给定条件列式计算即可作答．

（2）由（1）的结论求出，借助裂项相消法求出，再探求成等差数列的m，n值即可作答．

（1）设等差数列的首项为，公差为（d>0），则，解得：，，

于是有，

所以数列的通项公式是．

（2）由（1）知，，

因此，．

假设存在正整数，，使得，，成等差数列，

则，即，整理得，

显然n+3是25的正约数，又，则或25，

当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，

所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．

例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列满足，求证：．

【解析】（1）两边同时除以，得，再利用等差数列的定义证明．

（2）由（1）得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解；

（3）根据，得到证明．

（1）证明：两边同时除以，

得，

又，故是以为首项，为公差的等差数列．

（2）由（1）可知，，

则．

当时，，

而符合上式，故．

（3）证明：因为，故，

且，

而，

故．

例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有

（1）求的通项公式；

（2）设数列满足，求证：．

【解析】（1）当，，时，分别求出通项公式，再综合即可；

（2）利用放缩法进行证明即可．

（1）当时，即

奇数项成等比数列

时，

当时，即①

当时，②

②-①得

化简得

即

等式两边同时除以得

等价于

即

由题知，当时，

故即

时，

综上，，

（2）由（1）知，

当时，

即，

，，

即

【过关测试】

1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.

(1)若，求的值；

(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.

【解析】（1）中令得：，

因为数列的各项均为非零实数，所以，

因为，所以，即，解得：；

（2），即，

所以，，，……，，以上式子相乘得：

，

因为数列的各项均为非零实数，且，所以，

即，当时，，

所以，

因为，所以，

所以，，

故数列为等差数列，首项为，公差为，

数列为等差数列，首项为，公差为，

，所以，

所以，

，

故，所以，所以数列是等差数列，

其前项和.

2．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列的前项和满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)若对于任意的，都有成立，求的最大值.

【解析】（1）时，，且，

解得，（舍去），

，，

化简可得时，，

，，，，，

累加可得，，

又，故时，，

当时，,上式也成立，

所以，

又因为，所以，所以，

，，

时，适合该式，

故.

（2）由（1）得

，

（此处不等关系是因为： ，

故，当且仅当时取等号，而，故上式中等号取不到），

，，

因为，

所以，

即，

所以，即，所以数列是递减数列，

所以，

因为，都有成立，

所以.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．

(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．

(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）由可得，且，

故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，

所以，又，

故，即.

（2）由（1）为等比数列，故，

故即恒成立，求的最大值即可.

设，则，

令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.

又，故为的最大值，为，

所以，.

4．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数.

(1)求函数的最小值；

(2)证明：.

【解析】（1），，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以

（2）由（1）知，

即（当且仅当时等成立），

令，则，所以，

而，故，

从而，，…，，

累加可得，命题得证.

5．（2023·全国·高三专题练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．

(1)求、；

(2)若，求n的最小值；

(3)是否存在实数a、b、c，使得数列为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．

【解析】（1）原数列有3项，经第1次拓展后的项数；

经第2次拓展后的项数；

（2）数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n次拓展后的项数为，

则经第次拓展后增加的项数为，

所以，所以，

由（1）得，，所以，

由，即，解得，

所以n的最小值为10；

（3）设第n次拓展后数列的各项为，，，，…，，，

所以，

因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，

所以，

即，

所以，

得，

由，则，

若使为等比数列，则或，

所以a、b、c满足的条件为或．

6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，且对任意的，都有.

(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【解析】（1）证明：因为，，所以.

因为，所以，

又，则有，

所以，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以，

所以，

又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，所以.

（2）由（1）知，

则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.

所以当为偶数，且时，

；

当为奇数，且时，为偶数，

.

时，，满足.

所以，当为奇数，且时，有.

综上，.

7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知为数列的前项和，，．

(1)求；

(2)若，证明：．

【解析】（1）①

时，②

则①-②得，

当时可整理得，

即，

由①当时，，得，

当时，，得，

，

，

又，，符合，

；

（2）由（1）得，

，

8．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知数列的前项和为，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和为．

【解析】（1）①,

当时，②，

①-②得，即，

又，得，

，

又不符合

；

（2）当时，

当时，，

当时，

，

又当时，，符合

.

9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设为的前项和，证明：

(1)数列单调递减；

(2)．

【解析】（1），即，

且，

又因为当时，，此时数列为常数列，不满足，

所以，故数列单调递减．

（2）．．

10．（2023·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.

(1)求数列，的通项公式.

(2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.

【解析】（1）由条件： 知：

，

，

当 时， 符合，

所以；

， 是等比数列，

又  ；

（2）当 时， ，

当   时，  

；

当 时， ，

当  时，  .

11．（2023·山东滨州·高三统考期末）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求满足条件的正整数的最大值．

【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，

因为，且，，成等比数列，

所以，，

即，解得

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，易得，

则，

所以．

，

因为，

所以，

解得，

所以正整数的最大值为674．

12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知数列的通项公式为，等比数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，的前n项和分别为，，求满足（）的所有数对．

【解析】（1）由，所以，故，

所以等比数列的公比为，

故，所以，即等比数列{}的通项公式为；

（2）由已知得：，

由（1）可知，

由，所以，

即，故，

因为m正整数，，所以，

，

故满足条件所有数对为．

13．（2023·福建·统考一模）已知正项数列的前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．

【解析】（1）依题意，

当时，，解得，

由，

当时，有，

作差得：，

所以，

因为，

所以，

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，

所以.

（2）由（1）得，，

又，同时，

所以

所以

．

所以的前50项和为2150．

14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列的前n项积为，且．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)记，求数列的前2n项和．

【解析】（1）由题意得，又，

所以，即，所以．

当n＝1时，，所以，解得＝3，

故是以3为首项，2为公差的等差数列．

（2）由（1）可知，，

所以，

所以．

15．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知数列满足，，，表示数列的前项和

(1)求证：

(2)求使得成立的正整数的最大值

【解析】（1）证明：由得

累加得

于是.

（2）由，，得：对任意，，

进而，故数列单调递增，

由（1）可知，故，

于是只需求使得最大的正整数，

从而只需求使得最大的正整数，

由，，列举得：，，，，，，，，，，，

结合数列单调递增，于是使得最大的正整数为11.

16．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列满足

(1)求证：为等差数列；

(2)令，求数列的前项和.

【解析】（1）由，可得

因此为等差数列，且公差为.

（2）又因为，所以 ，所以

所以

得

17．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知为等差数列，为等比数列，．

(1)求和的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和；

(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，

∴，

若的公比为且，结合题设可得：，又，故，

∴.

（2）由（1）知：，

∴，

∴，

以上两式相减，得：，

∴.

（3）由题设，，要使任意恒有，

∴，则恒成立

当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；

当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；

综上，存在实数，使得对任意的，恒有.

18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

已知正项数列的前n项和为，且______，

(1)求数列的通项公式；

(2)设，若数列满足，求证：．

【解析】（1）选择条件①，因为，所以，

因为，所以，则，

当时，，

所以两式相减得：，即，则，

当时，，所以符合上式，

所以；

选择条件②，因为，

当时，，

所以两式相减得：，整理得，

因为，所以，

当时，，所以或（舍），

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则；

选择条件③，因为，所以，

累乘得：，，

所以，，又符合式子，所以，，

当时，，

所以两式相减得：，即，

又符合上式，所以；

（2）由（1）得：，则，

所以

.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)记的前项和为，若，均有，求实数的取值范围．

【解析】（1）由得：，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）得：，即，

，又，

数列为常数列且，即，

，，

则由得：

令，

则；

当为奇数时，恒成立，则；

当为偶数时，，

单调递增，；

综上所述：单调递增，，

，解得：，即实数的取值范围为.

20．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知二项式的展开式的各项系数和构成数列数列的首项，前项和为，且当时，有．

(1)求和；

(2)设数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）令得，

由，得，

化简得，两边同除，

，

为公差的等差数列，，

，

（2），

，

，

通过得

．

，

恒成立，即对任意的恒成立．

分离参数得，令，

由，

得为单调递增数列，所以.

即．