2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若把向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作（ ）
A．﹣3kmB．﹣5kmC．3kmD．5km
2．（3分）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠ABC＝39°，则∠DEF的度数为（ ）
A．30°B．51°C．141°D．39°
4．（3分）已知（x+2）（2x﹣1）＝2x2+mx+n，则m、n的值依次为（ ）
A．5，2B．﹣5，﹣2C．3，﹣2D．﹣3，﹣2
5．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，连接DE，AP平分∠BAC交DE于点P，若CD＝4，则DP的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（3分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在一次函数y＝（k﹣3）x+1（k为常数，且k≠3）的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k的值不可能是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
7．（3分）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在OB上，点D在OC上，若OA＝AB＝6dm，OA⊥OD，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为（ ）
A．36πdm2B．27πdm2C．18πdm2D．12πdm2
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（ ）
A．4ac﹣b2＜0
B．该二次函数图象开口向上
C．abc＞0
D．m的值为﹣5
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）比较大小：2 ．（填“＞”、“＜”、“＝”）
10．（3分）陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 ．
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接EO并延长，交BC于点F，若，BC＝2AB，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（3分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，∠OCB＝45°，BA⊥y轴于点A，CB⊥OB于点B，若AB＝1，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝20，tan∠BAD＝，点E和点F分别为对角线AC和边AD上的动点（不与端点重合），连接DE、EF，∠DEF＝∠ACB，当△DEF是直角三角形时，DF的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解方程：．
16．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0没有实数根，求m的取值范围．
17．（5分）如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一点，请用尺规作图法在AC的延长线上求作一点E，连接DE，使得△ADE∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF，连接DE、AF交于点G，求证：GE＝GF．
19．（5分）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价多少元？（利润率＝×100%）
20．（5分）随着科技的发展，电信网络诈骗呈现出团伙化、多样化等特征，新型诈骗方式花样百出．为增强学生的反诈骗意识，某社区举办了“中小学生防诈骗小课堂”宣传活动，通过测试决定从A，B，C，D四名学生中通过抽签的方式确定两名学生到社区参加宣讲活动，抽签规则：将四名学生的名字分别写在四张背面完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，举办方先从中随机抽取第一张卡片，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片．
（1）举办方抽取的第一张卡片上恰好是“B”学生的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图法求出A，B两名同学都被抽中的概率．
21．（6分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度AB．
22．（7分）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x（10＜x≤20）套，购买的实际单价为y元/套．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝20时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
23．（7分）2024年4月13日，我国首口自主设计实施的海上超深大位移井在珠江口盆地海域投产，成为我国海上第一深井，同时创造了我国钻井水平长度纪录．某校为了解学生对我国勘探事业的知晓程度，随机抽取了该校部分九年级学生，就“勘探事业知多少”进行了问卷测试，并将测试成绩（满分为10分）整理成如下不完整的统计图表：
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 ，所抽取学生测试成绩的众数为 分，中位数为 分；
（2）请计算所抽取学生测试成绩的平均数；
（3）已知该校共有300名九年级学生，若对这300名九年级学生全部进行此项问卷测试，请你估计能得满分的有多少名学生？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，＝，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝24，⊙O的半径为13，求DE的长．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B在第四象限，点C在x轴的正半轴上，连接AB、AC、BC，AB∥OC，OC＝2OA，抛物线C1y＝ax2﹣2ax﹣4（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求点B的坐标和抛物线C1的函数表达式；
（2）将抛物线C1向上平移2个单位长度后得到抛物线C2，在抛物线C2上是否存在点D，使得S△OAD＝4S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点O是AB的中点，以点O为圆心，OA为半径向AB上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接CP，则线段CP的最小值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝2，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠PAB＝∠PCA，求线段BP长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形ABCD，其边长AB＝1000米，现计划在小区内部（正方形ABCD内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即BE＝BA），过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离DF最小，请问DF是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若把向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作（ ）
A．﹣3kmB．﹣5kmC．3kmD．5km
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作﹣3km，
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据“面动成体”结合各个选项中图形和旋转轴进行判断，即可解答．
【解答】解：A、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故A不符合题意；
B、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故B不符合题意；
C、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故C符合题意；
D、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了点、线、面、体，理解“面动成体”是正确判断的前提．
3．（3分）如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠ABC＝39°，则∠DEF的度数为（ ）
A．30°B．51°C．141°D．39°
【分析】根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可．
【解答】解：∵AB∥DE，BC∥EF，∠ABC＝39°，
∴∠1＝∠ABC＝39°，∠DEF＝∠1＝39°；
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练应用．
4．（3分）已知（x+2）（2x﹣1）＝2x2+mx+n，则m、n的值依次为（ ）
A．5，2B．﹣5，﹣2C．3，﹣2D．﹣3，﹣2
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据对应项相等，求出m，n的值即可．
【解答】解：∵（x+2）（2x﹣1）＝2x2+3x﹣2＝2x2+mx+n，
∴m＝3，n＝﹣2；
故选：C．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是关键．
5．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，连接DE，AP平分∠BAC交DE于点P，若CD＝4，则DP的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】因为DE为△ABC的中位线，进而得到DE∥AB，根据平行线的性质和角平分线的性质，推出AD＝DP，即可得出结论．
【解答】解：∵点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE∥AB，AD＝CD＝4，
∴∠BAP＝∠APD，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠DAP
∴∠APD＝∠DAP，
∴DP＝AD＝4；
故选：C．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是三角形中位线定理的应用．
6．（3分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在一次函数y＝（k﹣3）x+1（k为常数，且k≠3）的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k的值不可能是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】根据（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，不妨设x1＜x2，则可得到y1＞y2，即y随着x的增大而减小，进而得到k﹣3＜0，即k＜3，即可得出结果．
【解答】解：∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在一次函数y＝（k﹣3）x+1（k为常数，且k≠3）的图象上，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
不妨设x1＜x2，则：y1＞y2，
∴y随着x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3；
故k的值不可能是4；
故答案为：A．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数性质是关键．
7．（3分）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在OB上，点D在OC上，若OA＝AB＝6dm，OA⊥OD，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为（ ）
A．36πdm2B．27πdm2C．18πdm2D．12πdm2
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解．根据马面裙裙面的面积为＝，即可求解．
【解答】解：∵OA⊥OD，
∴∠AOD＝90°，
∵OA＝AB＝6dm，
∴OB＝2OA＝12dm，
∴该马面裙裙面的面积为＝﹣＝27π（dm2）．
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积S＝．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（ ）
A．4ac﹣b2＜0
B．该二次函数图象开口向上
C．abc＞0
D．m的值为﹣5
【分析】先在表格中选取三个点代入y＝ax2+bx+c中，求出抛物线的表达式，可得y＝﹣2x2+4x﹣6，然后再根据二次函数的性质依次判断各选项即可得到正确答案．
【解答】解：由表格可知抛物线经过（﹣1，﹣12），（0，﹣6），（2，﹣6），
∴，
解得a＝﹣2，b＝4，c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x﹣6．
∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣2）×（﹣6）＝﹣32＜0，
∴4ac﹣b2＞0，
故A选项错误，不符合题意；
∵a＝﹣2＜0，
∴该二次函数图象开口向下，
故B选项错误，不符合题意；
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴abc＞0，
故C选项正确，符合题意；
∵x＝1时，y＝﹣2+4﹣6＝﹣4，
∴m＝﹣4，
故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）比较大小：2 ＞ ．（填“＞”、“＜”、“＝”）
【分析】先把进行估算，再根据两个正数比较大小，绝对值大的它就大，即可得出答案．
【解答】解：∵≈1.414，
∴＜2．
故答案为：＞
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，掌握两个正数比较大小，绝对值大的它就大是本题的关键．
10．（3分）陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 十二 ．
【分析】由题意知，AB＝BC，则∠BCA＝∠BAC＝15°，可求∠B＝150°，设这个正多边形的边数为n，依题意得，150°n＝180°（n﹣2），计算求解即可．
【解答】解：由题意知，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝150°，
设这个正多边形的边数为n，
依题意得，150°n＝180°（n﹣2），
解得，n＝12，
故答案为：十二．
【点评】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键．
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接EO并延长，交BC于点F，若，BC＝2AB，则图中阴影部分的面积为 16 ．
【分析】证明△AEO≌△CFO（AAS），则S△AEO＝S△CFO，设AB＝x，则BC＝2x，由勾股定理得，，可求AB＝4，BC＝8，根据，计算求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OA＝OC，，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴S△AEO＝S△CFO，
设AB＝x，则BC＝2x，
由勾股定理得，，
解得，x＝4，
∴AB＝4，BC＝8，
∴，
故答案为：16．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．正确表示阴影部分面积是解题的关键．
12．（3分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，∠OCB＝45°，BA⊥y轴于点A，CB⊥OB于点B，若AB＝1，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为 2 ．
【分析】过点C作CD⊥x轴，延长AB，DC交于点E，证明△ABO≌△ECB，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出C点坐标即可得出结果．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，延长AB，DC交于点E，
∵BA⊥y轴，∠BOD＝90°，
∴四边形OAED为矩形，
∴∠E＝∠OAB＝90°，OA＝DE，
∵∠OCB＝45°，∠OBC＝90°，
∴Rt△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝BC，
∵∠ECB＝∠OBA＝90°﹣∠CBE，
∴△ABO≌△ECB（ASA），
∴CE＝AB＝1，BE＝OA，
∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是掌握发布会老师的性质，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝20，tan∠BAD＝，点E和点F分别为对角线AC和边AD上的动点（不与端点重合），连接DE、EF，∠DEF＝∠ACB，当△DEF是直角三角形时，DF的长为 4或5 ．
【分析】过点D作 DH⊥AB于点H，由四边形ABCD是菱形，AB＝20，tan∠BAD＝，得到AD＝AB＝20，，设DH＝4x，AH＝3x，根据勾股定理得到AD＝＝5x＝20，求得x＝4，得到DH＝16，AH＝12，连接BD交AC于O，根据勾股定理得到BD＝＝8，求得OA＝OC＝＝8，于是得到tan∠DEF＝tan∠ACB＝，①当点D为直角顶点时，②当点F为直角顶点时，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过点D作 DH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝20，tan∠BAD＝，
∴AD＝AB＝20，，
∴设DH＝4x，AH＝3x，
∴AD＝＝5x＝20，
∴x＝4，
∴DH＝16，AH＝12，
∴BH＝8，
AH＝12，BH＝8，DH＝16，
连接BD交AC于O，
∴BD＝＝8，
∴，
∴OA＝OC＝＝8，
∵∠DEF＝∠ACB，
∴tan∠DEF＝tan∠ACB＝，
①当点D为直角顶点时，
∴＝，
∴DE＝10
∴DF＝5；
②当点F为直角顶点时，
∴EF⊥AD，
∴＝，
∵AF+DF＝AD＝20，
∴设DF＝m，则EF＝2m，AF＝4m，
∴4m+m＝20，
∴m＝4，
∴DF＝4．
综上所述，DF的长为4或5，
故答案为：4或5．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】先利用二次根式的性质进行化简，去绝对值，进行完全平方和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题考查负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15．（5分）解方程：．
【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，然后检验即可．
【解答】解：+1＝，
2x﹣5+x2﹣2x＝x（x﹣5），
2x﹣5+x2﹣2x＝x2﹣5x，
解得，x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
16．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0没有实数根，求m的取值范围．
【分析】由题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×2m＜0，计算求解即可．
【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣3）2﹣4×2m＜0，
解得，
∴m的取值范围为．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．（5分）如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一点，请用尺规作图法在AC的延长线上求作一点E，连接DE，使得△ADE∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】依据作一个角等于已知角的方法，作∠ADE＝∠ABC即可．
【解答】解：如图：
由作图可知：∠ADE＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【点评】本题考查尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
18．（5分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF，连接DE、AF交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】证明△ABF≌△DCE，得到∠E＝∠F，即可得证．
【解答】证明：∵矩形ABCD，
∴AB＝CD，∠ABF＝∠DCB＝90°，
∵BE＝CF，
∴CE＝BF，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴GE＝GF．
【点评】本题考查矩形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等角对等边是解题的关键．
19．（5分）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价多少元？（利润率＝×100%）
【分析】设该早餐机每台可降价x元，根据计划以利润率不低于20%的价格降价出售，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设该早餐机每台可降价x元，
根据题意得：320﹣x﹣240≥240×20%，
解得：x≤32，
∴x的最大值为32，
答：该早餐机每台最多可降价32元．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
20．（5分）随着科技的发展，电信网络诈骗呈现出团伙化、多样化等特征，新型诈骗方式花样百出．为增强学生的反诈骗意识，某社区举办了“中小学生防诈骗小课堂”宣传活动，通过测试决定从A，B，C，D四名学生中通过抽签的方式确定两名学生到社区参加宣讲活动，抽签规则：将四名学生的名字分别写在四张背面完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，举办方先从中随机抽取第一张卡片，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片．
（1）举办方抽取的第一张卡片上恰好是“B”学生的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图法求出A，B两名同学都被抽中的概率．
【分析】（1）根据简单的概率公式计算求解即可；
（2）根据题意画树状图，然后求概率即可．
【解答】解：（1）由题意知，举办方抽取的第一张卡片上恰好是“B”学生的概率为，
故答案为：；
（2）由题意画树状图如下；
∴共有12种等可能的结果，其中A，B两名同学都被抽中共有2种等可能的结果，
∵，
∴A，B两名同学都被抽中的概率是．
【点评】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
21．（6分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度AB．
【分析】选择方案①：先证明∠ABC＝∠C，结合∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，可得△ABD≌△ECD，再利用全等三角形的性质可得结论；
选择方案②：直接利用SAS证明△ACB≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得结论；
【解答】解：选择方案①；
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，
∴△ABD≌△ECD，
∵CE＝20m，
∴AB＝CE＝20（m），
∴水潭的宽度AB为20m；
选择方案②：
∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，
∴△ACB≌△DCE，
∵DE＝20m，
∴AB＝DE＝20（m），
∴水潭的宽度AB为20m；
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键．
22．（7分）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x（10＜x≤20）套，购买的实际单价为y元/套．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝20时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
【分析】（1）根据一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元可得y＝120﹣5（x﹣10）＝﹣5x+170，而﹣5x+170≥60，得：x≤22，故y＝﹣5x+170（10＜x≤20）；
（2）当x＝20时，y＝﹣5×20+170＝70，再列式计算可得校团委购买这些书法套具的付款总额为1400元．
【解答】解：（1）∵一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，
∴y＝120﹣5（x﹣10）＝﹣5x+170，
∵单价不得低于60元/套，
∴﹣5x+170≥60，
解得：x≤22，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+170（10＜x≤20）；
（2）当x＝20时，y＝﹣5×20+170＝70＞60，
∵20×70＝1400（元），
∴当x＝20时，校团委购买这些书法套具的付款总额为1400元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．（7分）2024年4月13日，我国首口自主设计实施的海上超深大位移井在珠江口盆地海域投产，成为我国海上第一深井，同时创造了我国钻井水平长度纪录．某校为了解学生对我国勘探事业的知晓程度，随机抽取了该校部分九年级学生，就“勘探事业知多少”进行了问卷测试，并将测试成绩（满分为10分）整理成如下不完整的统计图表：
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 4 ，所抽取学生测试成绩的众数为 8 分，中位数为 8 分；
（2）请计算所抽取学生测试成绩的平均数；
（3）已知该校共有300名九年级学生，若对这300名九年级学生全部进行此项问卷测试，请你估计能得满分的有多少名学生？
【分析】（1）根据题意求出样本容量为4÷＝20，再求出m、众数、中位数即可；
（2）根据加权平均数公式求出答案即可；
（3）先根据题意列出算式，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵成绩为7分的在扇形图中的圆心角是72°，人数是4，
∴样本容量是4÷＝20，
∴m＝20﹣3﹣4﹣7﹣2＝4，
众数为8分，中位数是＝8（分）．
故答案为：4，8，8；
（2）抽取学生测试成绩的平均数是×（6×3+7×4+8×7+9×2+10×4）＝8（分），
答：抽取学生测试成绩的平均数是8分；
（3）300×＝120（名），
答：能得满分的有120名学生．
【点评】本题考查了众数，中位数，加权平均数，用样本估计总体等知识点，能熟记中位数、众数的定义和平均数的公式是解此题的关键．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，＝，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝24，⊙O的半径为13，求DE的长．
【分析】（1）如图，连接OD，AC，由OD是半径，可得OD⊥AC，由AB是⊙O的直径，可得AC⊥BC，则OD∥BC，DE⊥OD，进而结论得证；
（2）由勾股定理得，AD＝10，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°＝∠DEB，证明△ABD∽△DBE，则，即，计算求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AC，
∵，OD是半径，
∴OD⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由题意知，AB＝26，
由勾股定理得，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠DEB，
∵，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
∴，即，
解得，，
∴DE的长为．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B在第四象限，点C在x轴的正半轴上，连接AB、AC、BC，AB∥OC，OC＝2OA，抛物线C1y＝ax2﹣2ax﹣4（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求点B的坐标和抛物线C1的函数表达式；
（2）将抛物线C1向上平移2个单位长度后得到抛物线C2，在抛物线C2上是否存在点D，使得S△OAD＝4S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出抛物线的对称轴为x＝1，再根据A的坐标为（0，﹣4），AB∥OC，得出点B的坐标为（2，﹣4），根据OC＝2OA，得出C（8，0），待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平移可得抛物线C2的函数表达式为，先求出，设点D的坐标为，根据S△OAD＝4S△ABC得出m＝±8，将m＝±8代入即可求解．
【解答】解：（1）∵该抛物线的表达式为y＝ax2﹣2ax﹣4（a≠0），
∴y＝a（x﹣1）2﹣a﹣4，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，
∵抛物线y＝a（x﹣1）2﹣a﹣4经过点A，且点A在y轴的负半轴上，
∴点A的坐标为（0，﹣4），
∵AB∥OC，对称轴为x＝1，
∴点B的坐标为（2，﹣4）；
∵OC＝2OA，
∴C（8，0），代入y＝ax2﹣2ax﹣4（a≠0），
即64a﹣16a﹣4＝0，
解得：，
∴抛物线C1的函数表达式为，
（2）存在，理由如下：
∵将抛物线C1向上平移2个单位长度后得到抛物线C2，
∴抛物线C2的函数表达式为，
∵A（0，﹣4），B（2，4），
∴AB＝2，
∴，
设点D的坐标为，
∵S△OAD＝4S△ABC，
∴，
∴，
解得：m＝±8，
当m＝8时，＝，
当m＝﹣8时，，
∴点D的坐标为（8，2）或．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，面积问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点O是AB的中点，以点O为圆心，OA为半径向AB上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接CP，则线段CP的最小值为 ﹣1 ；
【问题探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝2，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠PAB＝∠PCA，求线段BP长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形ABCD，其边长AB＝1000米，现计划在小区内部（正方形ABCD内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即BE＝BA），过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离DF最小，请问DF是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接CO，PO，根据CP+PO≥CO即可求解；
（2）由题意可推出∠APC＝120°，结合AC＝2，为定值以AC为底边作底角为30°的等腰三角形OAC，则点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动，据此即可求解；（3）连接AE，AF，EF，延长BF，可推出∠AFB＝135°，以AB为底边等腰直角三角形OAB，则点F在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动，据此即可求解；
【解答】解：（1）连接CO，PO，如图所示：
∵CP+PO≥CO，
∴CP≥CO﹣PO，
由题意得：，，
∴，
∴CP的最小值为﹣1．
故答案为：；
（2）由题意得：∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，
∵∠PAB＝∠PCA，
∴∠PCA+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∴∠APC＝180°﹣60°＝120°，
∵AC＝2，为定值，
以AC为底边作底角为30°的等腰三角形OAC，则点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动，如图所示：
∴∠BAO＝∠BAC+∠CAO＝90°，
，
，
∵BP+PO≥BO，
∴，
即：线段BP长度的最小值为；
（3）连接AE，AF，EF，延长BF，如图所示：
∵∠GEB+∠GBE＝90°，点F是△GEB的内心，
∴，
∵BE＝BA，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵BF平分∠ABE，
∴BF垂直平分线段AE，
∴FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE，
∴∠FAB＝∠FEB，
∴∠FAB+∠FBA＝45°，
∴∠AFB＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝135°，
∵AB为定值，
以AB为底边等腰直角三角形OAB，则点F在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动，如图所示：
∵DF+FO≥DO，
∴DF≥DO﹣FO，
∵AB＝1000，
∴，
∴，
作DN⊥ON，则，
∴DN＝AD+AN＝1500，，
∴．
【点评】本题属于圆综合题，考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣22
﹣12
﹣6
m
﹣6
…
方案
方案①
方案②
测量示意图


测量说明
如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度
如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果
CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB
AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
测试成绩/分
6
7
8
9
10
人数/名
3
4
7
2
m
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣22
﹣12
﹣6
m
﹣6
…
方案
方案①
方案②
测量示意图


测量说明
如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度
如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果
CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB
AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
测试成绩/分
6
7
8
9
10
人数/名
3
4
7
2
m