2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学对抗赛试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学对抗赛试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的倒数是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，直线a//b，直角三角形的直角顶点B在直线b上，若∠1=115∘，则∠2的度数为( )
A. 20∘
B. 65∘
C. 35∘
D. 25∘
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. 3a3−a3=2a
C. (ab2)3=a3b6D. (a+b)2=a2+b2
5.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为( )
A. 23
B. 2 1313
C. 32
D. 3 1313
6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线y=x+6分别与y轴、直线y=−2x交于点A、B，则△AOB的面积为( )
A. 6B. 8C. 9D. 12
7.如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，切点为P，点D是⊙O上一点，连接BD、DP，若∠BDP=29∘，则∠C的度数为( )
A. 35∘
B. 34∘
C. 33∘
D. 32∘
8.将二次函数y=x2−2x−3的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y′的图象，则二次函数y′有( )
A. 最大值−4B. 最小值−4C. 最小值−1D. 最大值−1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.方程x2−x=0的解为______.
10.如图，已知正五边形ABCDE，经过C，D两点的⊙O与AB，AE分别相切于点M，N，连接CM，CN，则∠MCN=______ ∘.
11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，边AB在x轴上，若点B的坐标为(−3,0)，点C的坐标为(0,4)，则点D的坐标为______.
12.已知点A(m,m−3)，B(3,−m3)都在反比例函数y=k−3x的图象上，则k的值是______.
13.如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=3，BC= 3，点E在AB边上，AE=2，点P为对角线AC上一动点，连接PB，PE，则△BPE周长的最小值为______.
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 2sin45∘+3−27−(π−1)0.
15.(本小题5分)
解不等式：x2+x−13>43.
16.(本小题5分)
化简：(1−3nm+n)÷m2−4n2m+n.
17.(本小题5分)
如图，已知⊙O，利用尺规作图作∠ABC，使得A、B、C三点都在⊙O上，且∠ABC=45∘.(不写作法，保留作图痕迹)
18.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB、AD上的高CE、CF，BE=DF，求证：四边形ABCD是菱形.
19.(本小题5分)
阳春三月，万物复苏，全国各地迎来了开学潮.某校全体师生齐聚操场，举行2024年春季开学典礼暨安全教育第一课活动，德育校长就用电、食品、交通、防火、防诈骗、防校园欺凌、一盔一戴等安全方面给全校师生进行了知识讲解，让全校师生了解校园安全知识，增强了师生们“珍爱生命，安全第一”的常识.随后，七、八年级举行了一次校园安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生(用A，B表示)和八年级的两名学生(用C，D表示)获得优秀奖.
(1)从获得优秀奖的这四名学生中随机抽取一名进行经验分享，恰好抽到七年级学生的概率是______；
(2)从获得优秀奖的这四名学生中随机抽取两名进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率.
20.(本小题5分)
古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服.“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺.他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去.问：竹竿有多少尺？
21.(本小题6分)
小明和小华利用学过的知识测量某古塔CD的高度(如图)，测量时，在阳光下，小华站在点B处时，小华影子的顶端恰好与古塔的影子顶端重合于点E，且BE的长为0.5米；小明在古塔的另一侧N处，安装测倾器，测得古塔顶端C的仰角为71.57∘，已知小华的身高AB、测倾器的高MN均为1.5米，E、B、D、N在同一水平直线上，且B、N之间的距离为13米，AB⊥EN，CD⊥EN，MN⊥EN.请你根据相关测量信息，计算古塔CD的高度.(参考数据：sin71.57∘≈0.95，cs71.57∘≈0.32，tan71.57∘≈3.00)
22.(本小题7分)
【项目情境】
校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高.为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修(听课)记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示.设印制数量为x(份)，甲、乙两个印刷厂的收费分别为y1(元)和y2(元).
【项目解决】
目标1：确定甲、乙两厂的收费标准.
(1)分别求y1、y2关于x的函数表达式.
目标2：给出最终选择方案.
(2)根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？
23.(本小题7分)
2024年2月29日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功发射卫星互联网高轨卫星01星.为普及航天知识、传承航天精神，某校组织开展了“中国航天”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩如下.(竞赛成绩均为整数，满分10分)
七年级20名学生成绩(单位：分)分别为：
7，7，8，9，8，6，7，8，8，10，7，9，6，8，7，8，9，7，8，9.
八年级20名学生成绩的条形统计图如图所示：
经过对七、八年级这20名学生成绩的整理，得到分析数据如表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)填空：表中的a=______，b=______，c=______；
(2)若学校规定竞赛成绩超过平均成绩a的为合格，已知八年级有500人，请估算八年级的合格人数有多少人？
(3)请你结合以上分析数据说明学校会推荐哪个年级参加区级比赛？并说明理由.
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，以AB为腰作等腰△ABC，底边BC交⊙O于点D，连接AD，延长CA交⊙O于点E，连接BE、DE.
(1)求证：∠CAD=∠BED；
(2)若BD=20，tan∠BDE=247，求⊙O的半径长.
25.(本小题8分)
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度AB为8米，棚顶最高点距离地面高度OC为4米.以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若借助横梁DE(DE//AB)在大棚正中建一个2米高的门(DE到地面AB的距离为2米)，求横梁DE的长度是多少米？(结果保留根号)
26.(本小题10分)
问题提出
(1)如图1，AB为⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=30∘，则AC的最大值为______；
问题探究
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=10，AD=24，以AD为斜边在矩形外部作直角三角形AED，F为CD的中点，求EF的最大值；
问题解决
(3)如图3，老李家有一正方形花园ABCD，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉.在正方形ABCD中，AB=300米，AD边上有两个点E、F，使得AE=DF，连接BE、CF.在△ABE与△CDF区域种植花卉，BD是花园内一条小路，与CF交汇于点G，在点G处设计一个凉亭.连接AG，交BE于点H，在H处设计一口水井.老李想在H与D之间铺设一条笔直的水管，为了节约成本，要求HD的长度尽可能的小，问HD的长度是否存在最小值？若存在，求出HD长度的最小值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数．
【解答】
解：因为−2×(−12)=1.
所以−2的倒数是−12，
故选：B.
2.【答案】C
【解析】解：从上面看易得上层有2个正方形，下层最右边有一个正方形．
故选：C.
根据从上面看是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】D
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠2+∠ABC，
∵直角三角形ABC，
∴∠ABC=90∘，
∵∠1=115∘，
∴∠2=∠1−∠ABC=115∘−90∘=25∘，
故选：D.
根据平行线的性质即可解答．
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵a2⋅a4=a6，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵3a3−a3=2a3，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵(ab2)3=a3b6，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C.
利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则和完全平方公式，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图：
在Rt△ABD中，AD=2，BD=3，
∴AB= AD2+BD2= 22+32= 13，
∴sin∠ABC=ADAB=2 13=2 1313，
故选：B.
在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在y=x+6中，令x=0，得y=6，
联立解析式得y=x+6y=−2x，
得x=−2y=4，
∴A(0,6)，B(−2,4)，
∴△AOB的面积=12×6×2=6.
故选：A.
求得A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线围成图形面积问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接OP，
∵∠BDP=29∘，
∴∠BOP=2∠BDP=58∘，
∵CP为⊙O的切线，
∴CP⊥OP，
∴∠CPO=90∘，
∴∠C=90∘−∠BOP=90∘−58∘=32∘.
故选：D.
连接OP，由圆周角定理得到∠BOP=2∠BDP=58∘，由切线的性质得到∠OPC=90∘，则可得出答案．
本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是由切线的性质得到∠OPC=90∘.
8.【答案】C
【解析】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴将二次函数y=x2−2x−3的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y′=(x−1−2)2−4+3，即y′=(x−3)2−1，
∴二次函数y′有最小值−1.
故选：C.
根据“左加右减，上加下减”的平移法则得到二次函数y′的解析式，然后利用二次函数的性质即可求得最值．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，熟知“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键．
9.【答案】x1=0，x2=1
【解析】解：方程分解得：x(x−1)=0，
所以x=0或x−1=0，
解得：x1=0，x2=1.
故答案为：x1=0，x2=1.
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】36
【解析】解：连接OM，
∵⊙O与AB，AE分别相切于点M，N，
∴∠OMA=∠ONA=90∘，
∵多边形ABCDE是五边形，
∴∠A=(5−2)×180÷5=108∘，
∴∠MON=180∘−∠A=72∘，
∵OM=OC，
∴∠MCN=12∠NOM=12×72∘=36∘，
故答案为：36.
连接OM，根据切线的性质得到∠OMA=∠ONA=90∘，得到∠A=(5−2)×180÷5=108∘，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆、切线的性质，熟练掌握正五边形的性质和切线的性质是解题的关键．
11.【答案】(5,4)
【解析】解：∵点B的坐标为(−3,0)，点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4，OB=3，
∴BC= OC2+OB2=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=5，
∴D(5,4).
故答案为：(5,4).
根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12.【答案】7
【解析】解：∵点A(m,m−3)，B(3,−m3)都在反比例函数y=k−3x的图象上，
∴k−3=m(m+3)=3×(−m3)，
解得m1=−4，m2=0，
∵k−3≠0，
∴m=0不合题意，
∴m=−4，
∴k−3=3×(−m3)=4，
∴k=7，
故答案为：7.
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=xy得到关于m的方程，解方程求得m的值，进一步求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=kx中横纵坐标的积是定值k.
13.【答案】1+ 7
【解析】解：将△ABC沿AC翻折，点B落在B′处，连接BB′，PB′，EB′，作B′H⊥AB于点H，如图，
则AB′=AB，
∵AB=3，AE=2，
∴BE=AB−AE=3−2=1，
∴△BPE周长=BE+PE+PB=1+PB′+PE≥1+B′E，
即△BPE周长的最小值为1+B′E，
∵AB=3，BC= 3，
∴tan∠CAB=BCAB= 33，
∴∠CAB=30∘，
∴∠B′AB=2∠CAB=60∘，
∴△B′AB是等边三角形，
∴B′B=AB=3，BH=12AB=32，
在Rt△B′BH中，
由勾股定理，得B′H= B′B2−BH2= 32−(32)2=32 3，
在Rt△B′EH中，
∵HE=BH−BE=32−1=12，
∴由勾股定理，得B′E= B′H2+HE2= (32 3)2+(12)2= 7，
∴△BPE周长的最小值为1+ 7，
故答案为：1+ 7.
将△ABC沿AC翻折，点B落在B′处，连接BB′，PB′，EB′，作B′H⊥AB于点H，推出△BPE周长的最小值为1+B′E，再根据已知条件得出△B′AB是等边三角形，利用勾股定理求出B′H，BH，HE的长，进而求出B′E的长，从而解决问题．
本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，能用一条线段的长表示两线段和的最小值，以及发现△B′AB是等边三角形是解题的关键．
14.【答案】解：原式= 2× 22−3−1
=1−3−1
=−3.
【解析】利用特殊锐角三角函数值，立方根的定义，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：x2+x−13>43，
3x+2(x−1)>8，
3x+2x−2>8，
3x+2x>8+2，
5x>10，
x>2.
【解析】本题考查一元一次不等式的解法，步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
16.【答案】解：(1−3nm+n)÷m2−4n2m+n
=m+n−3nm+n⋅m+n(m+2n)(m−2n)
=m−2n(m+2n)(m−2n)
=1m+2n.
【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图，∠ABC为所作．

【解析】先作直径AD，作O点作AD的垂线交⊙O于E、C点，然后作出AC所对的圆周角即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
18.【答案】证明：∵CE、CF分别是▱ABCD的边边AB、AD上的高，
∴∠B=∠D，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB=∠CFD=90∘，
在△BEC和△DFC中，
∠CEB=∠CFD∠B=∠DBE=DF，
∴△BEC≌△DFC(AAS)，
∴BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】由平行四边形的性质得到∠B=∠D，由垂直的定义得到∠CEB=∠CFD=90∘，即可证明△BEC≌△DFC(AAS)，得到BC=DC，即可证的结论．
本题考查的性质平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是由平行四边形的性质推出△BEC≌△DFC.
19.【答案】12
【解析】解：(1)由题意得，恰好抽到七年级学生的概率是24=12.
故答案为：12.
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为812=23.
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：设竿长为x尺，
由题意得，(x−2)2+(x−4)2=x2.
解这个方程，得x1=2，x2=10，
当x=2时，x−2=0，x−4=−2(舍去)
∴x=10.
答：竹竿有10尺．
【解析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为(x−4)尺，高为(x−2)尺，对角线长为x尺，然后根据勾股定理列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．
21.【答案】解：过点M作MF⊥CD，垂足为F，
由题意得：FM=DN，DF=MN=1.5米，
设CF=x米，
∴CD=DF+CF=(x+1.5)米，
在Rt△CFM中，∠CMF=71.57∘，
∴FM=CFtan71.57∘≈13x(米)，
∴FM=DN=13x(米)，
∵BN=13米，
∴BD=BN−DN=(13−13x)米，
由题意得：ABBE=CDDE，
∴+1.50.5+13−13x，
解得：x=19.5，
经检验：x=19.5是原方程的根，
∴CD=x+1.5=21(米)，
∴古塔CD的高度约为21米．
【解析】过点M作MF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：FM=DN，DF=MN=1.5米，然后设CF=x米，则CD=(x+1.5)米，在Rt△CFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，从而求出BD的长，最后根据同一时刻物高与影长成比例可得：ABBE=CDDE，从而进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由图象可知，甲厂每本收费400÷1000=0.4(元)，
∴y1=0.4x；
设y2=kx+b，把(0,500)，(1000,700)代入得：
b=5001000k+b=700，
解得k=0.2b=500，
∴y2=0.2x+500；
(2)当y1>y2，即0.4x>0.2x+500时，
解得：x>2500，
∴印制数量大于2500本时，选择乙厂；
当y1=y2，即0.4x=0.2x+500时，
解得：x=2500，
∴印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；
当y1解得：x<2500，
∴印制数量小于2500本时，选择甲厂；
答：印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于2500本时，选择甲厂．
【解析】(1)求出甲厂每本收费400÷1000=0.4(元)，可得y1=0.4x；设y2=kx+b，把(0,500)，(1000,700)代入得：b=5001000k+b=700，即可解得y2=0.2x+500；
(2)分三种情况讨论：当y1>y2，即0.4x>0.2x+500时，x>2500，当y1=y2，即0.4x=0.2x+500时，x=2500，当y1本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和分类讨论思想的应用．
23.【答案】
【解析】解：(1)八年级的平均数a=120×(5×1+6×4+7×5+8×2+9×4+10×4)=7.8，
八年级的中位数为b=7+82=7.5，
七年级的众数c=8.
故答案为：7.8，7.5，8；
(2)500×4+4+220=250(人)，
答：估算八年级的合格人数有250人；
(3)学校会推荐七年级参加区级比赛，理由如下：
根据以上数据分析，从平均数来看，七八年级成绩相同；从中位数来看，七年级成绩更优秀；从众数来看，七年级成绩更优秀；
故学校会推荐七年级参加区级比赛．
(1)根据平均数、中位数、众数的定义即可求出a、b、c的值；
(2)根据样本去估算总体解答即可；
(3)用300乘优秀的百分比即可求解．
本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，
∵∠BED=∠BAD，
∴∠CAD=∠BED；
(2)解：∵∠BDE=∠BAE，
∴tan∠BDE=tan∠BAE=247，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴BEAE=247，
设AE=7x，则BE=24x，
∴AB= AE2+BE2=25x，
∴AC=AB=25x，
∴CE=AC+AE=32x，
∵BD=CD，BD=20，
∴BC=2BD=40，
在Rt△BCE中，BC2=CE2+BE2，
∴402=(32x)2+(24x)2，
∴x=1(负值已舍)，
∴AB=25，
∴⊙O的半径长为252.
【解析】(1)根据圆周角定理求出∠ADB=90∘，根据等腰三角形的性质求出∠CAD=∠BAD，再根据圆周角定理等量代换求解即可；
(2)根据圆周角定理求出tan∠BAE=BEAE=247，设AE=7x，则BE=24x，根据勾股定理求出AB=25x，CE=32x，根据勾股定理得出402=(32x)2+(24x)2，据此求解即可．
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练运用圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得，C(0,4)、A(−4,0)、B(4,0)，
设该抛物线的函数表达式为y=a(x−4)(x+4)，代入C点，
得a(0−4)(0+4)=4，
解得：a=−14，
∴y=−14(x−4)(x+4)=−14x2+4，
答：该抛物线的函数表达式为y=−14x2+4；
(2)∵DE到地面AB的距离为2米，
∴D、E两点的纵坐标为2，
令y=2，则−14x2+4=2，
解得：x1=2 2，x2=−2 2，
∴D(−2 2,2)、E(2 2,2)，
∴DE=4 2，
答：横梁DE的长度是4 2米．
【解析】(1)由题意得，C(0,4)、A(−4,0)、B(4,0)，设两点式函数表达式，代入C点，可得该抛物线的函数表达式；
(2)DE到地面AB的距离为2米，即D、E两点的纵坐标为2，令y=2，求得D、E的横坐标，可得横梁DE的长度．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是掌握两点式函数表达式．
26.【答案】12
【解析】解：(1)∵点C是⊙O上的一个动点，
∴AC为⊙O的弦，
∵直径是圆中最长的弦，
∴当AC经过圆心时，即AC为圆的直径，则AC取得最大值．
如图，AC为圆的直径，
则∠ABC=90∘，
∵∠ACB=30∘，
∴AC=2AB=12.
∴AC的最大值为12.
故答案为：12；
(2)取AD的中点H，连接HE，HF，如图，
则AH=HD=12AD=12，
∵F为CD的中点，
∴DF=12CD=12AB=5，
∴FH= HD2+DF2=13，
∵在Rt△AED中，∠AED=90∘，H为AD的中点，
∴EH=12AD=12.
∵EF≤HE+HF，
∴当点E，H，F三点在一条直线上时，EF取得最大值为HE+HF=12+13=25.
∴EF的最大值为25；
(3)HD的长度存在最小值，HD长度的最小值为：150( 5−1)米．
取AD的中点O，连接OD，OH，如图，
则OA=12AB=12×300=150(米).
∴OD= OA2+AD2=150 5(米)，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD=AD，∠ADB=∠CDB=45∘，∠BAD=∠CDA=90∘.
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAD=∠CDAAD=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠BAE=∠DCF.
在△ADG和△CDG中，
AD=DC∠ADB=∠CDBDG=DG，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠ABE，
∵∠DAG+∠BAG=90∘，
∴∠ABE+∠BAG=90∘，
∴∠AHB=90∘，
∵O为AB的中点，
∴OH=12AB=150(米)，
∵HD>OD−OH，
∴当点O，H，D三点在一条直线上时，HD取得最小值为OD−OH=150( 5−1)米．
∴HD的长度存在最小值，HD长度的最小值为：150( 5−1)米．
(1)利用直径是圆中最长的弦的性质和含30∘角的直角三角形的性质解答即可；
(2)取AD的中点H，连接HE，HF，利用直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理求得EH，FH，再利用三角形的三边关系定理解答即可；
(3)取AD的中点O，连接OD，OH，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠AHB=90∘，进而求得OH，利用正方形的性质和勾股定理求得线段OD，再利用三角形的三边关系定理解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直径是圆中最长的弦，含30∘角的直角三角形的性质，三角形的外接圆的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，取直角三角形的斜边上的中点，利用三角形的三边关系定理解答是解题的关键．组别
平均分/分
中位数/分
众数/分
七年级
7.8
8
c
八年级
a
b
7