2023年陕西省渭南市蒲城县中考数学对抗赛试卷（含解析）

2023年陕西省渭南市蒲城县中考数学对抗赛试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个几何体的三视图，这个几何体是(    )

A. 三棱柱
B. 圆锥
C. 长方体
D. 圆柱

3.  计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，分别交、于点、，点在上，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，点是上一点，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形内接于，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数，当时，，当时，，点是二次函数图象上一点，要使的值相对最大，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______ ．

10.  圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ ．

11.  七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”，世纪传到国外，被称为“唐图”如图是由边长为的正方形薄板分为块制作成的“七巧板”，点是正方形的中心，点为的中点，该“七巧板”中块图形之一的正方形阴影部分面积为______ ．

12.  如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为______ ．

13.  如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，则菱形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，已知，利用尺规作图法作的外接圆不写作法，保留作图痕迹

18.  本小题分
如图矩形在平面直角坐标系中，若顶点、、在坐标轴上，，，求点的坐标．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、．
画出；
求点绕原点旋转到所经过的路径长结果保留

20.  本小题分
蒲城是陕西省级历史文化名城，北京时间的诞生地，还是国民革命军上将杨虎城和清代名相王鼎的家乡，故有“将相故里”之美誉小明将正面分别写有汉字“将”“相”“故”“里”的四张不透明卡片背面背面完全相同朝上洗匀放在桌子上，再让同学小亮从中随机抽取一张卡片．
小亮抽到卡片上的汉字是“将”的概率是______ ．
若小亮抽取一张卡片后，小明将剩下的三张卡片背面朝上洗匀，小亮再从这三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小亮两次抽到的卡片上的汉字恰好组成“将相”或“故里”这两个词的概率汉字不分先后顺序

21.  本小题分
常乐宝塔如图，本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔某数学小组为了测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图，首先把长为米的标杆垂直立于地面上的点处，当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米；再将标杆沿方向平移米至点处即米，米，当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，已知，，，点、、、、在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度．

22.  本小题分
蒲城酥梨是陕西省蒲城县特产，中国国家地理标志产品本草纲目第三十卷有详实的记载，临床也证明：蒲城酥梨有止咳、生津、祛热消暑、化痰润肺、止咳平喘、滋阴降火、凉心解毒等功效，被历代中医称之为“果中甘露子，药中圣醍醐”某水果经销商计划购进普通包装和精品包装的蒲城酥梨共千克进行售卖，这两种包装的酥梨的进价和售价如下表：

设该水果经销商购进普通包装的酥梨千克，总利润为元．
求与之间的函数关系式；
经过市场调研，该经销商决定购进精品包装的酥梨质量不大于普通包装的倍，请你求出获利最大的进货方案及最大总利润．

23.  本小题分
知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表：

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
填空 ______ ，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是______ ，众数是______ ；
求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数；
学校拟将每周阅读文章篇数超过篇不含篇的学生评为“阅读达人”予以表扬若全校学生以人计算，估计受表扬的学生人数．

24.  本小题分
如图，在中，，点为上一点，且，过、、三点作，是的直径，连接．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，．
求抛物线的函数关系式；
若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

26.  本小题分
【问题背景】
如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，则 ______ ；
如图，在正方形中，，点在边上，将沿翻折至，连接，求周长的最小值；
【问题解决】
如图，某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃，点是该花圃的一个入口，沿和分别铺两条小路，且，，，管理员计划沿边上种植一条绿化带宽度不计，为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带？若可以，求出足要求的绿化带的最大长度用含的式子表示；若不可以，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱
A、、选项不符合题意，符合题意．
故选：．
根据三视图的定义及性质：“长对正，宽相等、高平齐”，可知该几何体为圆柱．
考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的运算方法，计算即可．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的运算方法，解答此题的关键是要明确：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，是的外角，
，
，
，
．
故选：．
由三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质可得，根据邻补角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
设，则，，
，
，
．
故选：．
根据，可设，则，根据勾股定理可知，故可得出的度数，再由即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将点代入，得．
解得．
故．
将其代入，得．
解得．
所以关于的不等式为．
解得．
故选：．
将点的坐标代入正比例函数解析式求得，则；将点的坐标代入一次函数解析式求得，所以解关于的不等式即可求得答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

在和中，
，
≌，
，
，
，
由圆周角定理得：，
四边形是圆内接四边形，
，
，
在四边形中，，
，
，
故选：．
连接，求出≌，根据全等三角形的性质得出，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，求出，再根据四边形的内角和等于得出，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，；当时，，
抛物线经过原点，与轴的另一个交点在和之间，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴满足，
当点的横坐标为时，点到抛物线的对称轴的距离最小，此时对应的函数值最大，
即取时，的值相对最大．
故选：．
由于时，；当时，，则利用二次函数的性质得到抛物线与轴的另一个交点在和之间，抛物线的开口向下，然后找出离对称轴最近的点的横坐标即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
把代入原方程得，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：设正多边形的边数为．
由题意，
解得：．
故答案为：．
根据正多边形的中心角等于计算即可．
本题主要考查正多边形和圆的有关知识，牢记正多边形的中心角等于是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：连接到，

设，
则，
在中，，
，
，
即，
块图形之一的正方形阴影部分面积为．
故答案为：．
设，在中可得，即得，即得答案．
本题考查了正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：作轴于，
设点坐标为，则，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
设点坐标为，用含代数式表示长度，再由三角形面积得的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数的关系，解题关键是通过设参数表示出点坐标，然后通过已知条件求出点横纵坐标的积的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，和相交于点，如图所示，
，
，
点为的中点，，
，
，点、分别为边、的中点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
菱形的面积为：，
故答案为：．
根据题意和菱形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得，和的长，从而可以得到和的长，然后根据菱形的面积对角线乘积的一半计算即可．
本题考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
不等式两边同除以得：，
把解集表示在数轴上如图所示：
 

【解析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为，得出不等式的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键，注意不等式两边同除以或乘以同一负数时，不等号方向发生改变．
 

16.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
解得，
检验，当时，，
是原方程的解． 

【解析】解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解．将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
 

17.【答案】解：如图所示：即为所求．
 

【解析】直接利用三角形外接圆的作法得出圆心位置，进而得出答案．
此题主要考查了复杂作图，正确得出外接圆圆心位置是解题关键．
 

18.【答案】解：四边形是矩形，
，
，，
，，
，
点的坐标为， 

【解析】根据矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求．
由勾股定理得，，
点绕原点旋转到所经过的路径长为． 

【解析】根据旋转的性质作图即可．
利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：写有汉字“上”、“郡”、“古”、“邑”共四张不透明卡片，
小亮抽到卡片上的汉字是“郡”的概率是．
故答案为：．
画树状图如图：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的汉字恰好组成“将相”或“故里”这两个词的结果有种，
小亮两次抽到的卡片上的汉字恰好组成“上郡”或“古邑”这两个词的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小亮两次抽到的卡片上的汉字恰好组成“上郡”或“古邑”这两个词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
米，
，
米，
常乐宝塔的高度为米． 

【解析】根据垂直定义可得，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后可得：，从而求出的长，进而求出的长，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该水果经销商购进普通包装的酥梨千克，购进精品包装的酥梨为千克，
由题意得：，
整理得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：，
解得：，
，，
随的增大而减小，
当时，总利润最大，为：元，
当该经销商购进普通包装的酥梨千克，精品包装的酥梨千克时获利最大，最大利润为元． 

【解析】根据总利润等于普通包装的酥梨的总利润加上精品包装的酥梨的总利润，求出函数关系式即可；
根据精品包装的酥梨不大于普通包装的倍，求出的取值范围，根据中函数的性质，求出最值即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意，正确的列出函数解析式，利用一次函数的性质，进行求解，是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：由题意得，样本容量为：，
；
本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是，众数是；
故答案为：，，；
篇，
本次抽查的学生这周平均每人间读文章的篇数是篇；
人，
估计受表扬的学生人数大约是人．
用阅读文章篇的人数除以可得样本容量，进而得出的值；再根据中位数和众数的定义解答即可；
利用加权平均数的计算方法解答即可；
用乘样本中每周阅读文章篇数超过篇不含篇的学生人数所占比例即可解答．
本题考查了扇形统计图、加权平均数、中位数以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
是的半径；
是的切线；
解：过点作，则，

，，，
，
，，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，求得，根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
过点作，则，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：点的坐标为，
，
，
，
点，
，解得：，
抛物线的函数关系式为：；

存在，理由：
如图，当点在轴下方时，则点的纵坐标为，

令，则，
解得：或，
点的坐标为：；
如图，当点在轴上方时，由点到轴的距离为，可得点到轴的距离为，

令，则，
解得：，
点的坐标为：或，
综上可得，点的坐标为：或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
如图，当点在轴下方时，则点的纵坐标为，则，即可求解；如图，当点在轴上方时，同理可解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，平移的性质，分类讨论是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
，
，
，
．
故答案为：；
连接，如图，

沿翻折至，
≌，
，，
的周长，
，
当点、、三点共线时，最小，即的周长最小，此时，
，
，
的周长最小值为；
管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带．
如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，

，，，，，，
，
，
，
，
；
，
当、、三条线段共线时，有最大值，此时，
故管理员可以种植条满足要求的长度最大的绿化带，绿化带的最大长度为．
利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可；
连接，根据翻折，得到，，得到的周长，进而得到当的值最小时，的周长最小，进行求解即可；
将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，推出当、、三条线段共线时，有最大值，进行求解即可．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．