数学：河南省南阳市邓州市2024年中考第一次模拟考试试题（解析版）

这是一份数学：河南省南阳市邓州市2024年中考第一次模拟考试试题（解析版），共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴的绝对值是，
故选：B．
2. 原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，圆锥与圆柱的组合体的主视图是长方形与三角形
故选：A．
3. 北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，其高度大约是18500000米．数18500000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将18500000用科学记数法表示为：．
故选：A．
4. 如图，直线，若，于点，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，

，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
6. 如图，菱形的对角线相交于点O，，，E、F分别是的中点，则的长为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】∵菱形的对角线相交于点O，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴；
故选C．
7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
解得：，且，
故选：D．
8. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中先随机抽取一本，放回后再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图如下，
共有16种等可能得结果，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的情况有2种，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是；
故选D．
9. 已知点，，在同一函数图象上，则这个函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；
由，，可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故选：A．
10. 如图1，在正方形中，点E为边的中点，点P为线段上的一个动点，设，，图2是点P运动时，y随x变化的函数图象，其中点H为图象的最低点，则正方形的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 8D.
【答案】B
【解析】由点的运动可知，当点时，的值最小，即，如图
点是的中点，
，
，
，则，
，
，
，
，
，
则，
，
，
正方形的面积为：，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出的一个同类项：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的一个同类项可以是：（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】∵在第二象限，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点必须向上翘起5cm，若杠杆的长度为120cm，其中段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点必须向下压________cm．

【答案】
【解析】如图，，都与过点水平线垂直，垂足为和，即，

∴，
∵，，
∴，
∵要把向上翘起5cm，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案：．
14. 如图，扇形中，，点为上一个动点，将沿折叠，当点的对应点落在上时，图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】如图所示，连接，

∵将沿折叠，点的对应点落在上，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为________．
【答案】或
【解析】∵四边形为矩形，∴，，
∵沿对角线翻折得到，
∴，，
∵以为折痕，将进行翻折，得到，
∴，，
①当点恰好落在上时，如图，
在和中，，
∴，
∴，即为等腰三角形，
∵，
∴点为中点，
∴，
在中，有，
即，解得.
②当点恰好落在上时，如图，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵沿进行翻折，得到，
∴，
在中，，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）（第15题图）
16. （1）计算：；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式.
17. 2023年6月6日是第28个“全国爱眼日”，某初级中学为了解本校学生的视力情况，从本校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，被调查学生的近视度数的中位数落在________（填字母），近视度数在200度及以上的学生人数占被调查人数的百分比为________；
（2）小明同学帮助学校绘制100名学生近视原因条形统计图时，发现被调查人数之和远远超出100人，经核实，小明绘制的条形统计图无误，请帮助小明解释出现该情况的原因．
（3）若该校学生共有1500人，请估计全校近视的学生有多少人？
解：（1）由扇形统计图可知，不近视的人数为：（人），
度数为的人数为：（人），
度数为的人数为：（人），
度数为的人数为：（人），
度数为的人数为：（人），
则100人中，中位数应为第50人与第51人的平均数，
∴被调查学生的近视度数的中位数落在中，即落在B中，
近视度数在200度及以上的学生人数占被调查人数的百分比为：，
故答案为：B，．
（2）被调查的同学近视的原因是由多个原因导致的，以至于重复使得总人数大于100；
（3）（人），
答：全校近视的学生大约有1080人；
18. 在平面直角坐标系中，直线和双曲线相交于A、B两点．
（1）求直线的解析式和点B的坐标．
（2）直接写出不等式的解集．
（3）将直线沿y轴向下平移1个单位，得到直线，请你写出一个反比例函数，使方程在实数范围内无解．
解：（1）∵，∴当时，，
∴，代入，得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或，
∴；
（2）由图象可知：的解集为：或；
（3）∵直线的解析式为：，
∴将直线沿y轴向下平移1个单位，得到直线，
∵方程在实数范围内无解，
∴直线和双曲线没有交点，
∵直线经过一，三象限，
∴当双曲线在二，四象限时，直线和双曲线没有交点，
∴，
∴双曲线的解析式可以为：（答案不唯一）．
19. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下：
请综合以上信息，解答下列问题：在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：，，．结果精确到）
解：设水桶下降的高度，在中，
，
，
在中，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得：，
答：水桶下降的高度约为．
20. 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：
已知，如图所示，及外一点P．
（1）按要求完成作图步骤并准确标注字母，
尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接．
（2）请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由
（3）设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长．
解：（1）如图，即为所求，
（2）是的切线．
理由如下：连接，
∵是的直径，
∴，
即于点B，
∴是的切线．
（3）连接，
∵为的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴，
在中．
21. 为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和玫瑰花两种花．若购进2支康乃馨和3支玫瑰花共花费16元；购进3支康乃馨和6支玫瑰花共花费30元．
（1）康乃馨和玫瑰花的进价分别为多少元一支？
（2）该商家计划购进康乃馨和玫瑰花共400支，每支康乃馨售价为5元，每支玫瑰花售价为8元，且购买康乃馨的数量不少于玫瑰花数量的，请求如何购买，商家获得利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设康乃馨的进价为x元一支，玫瑰花的进价为y元一支．
根据题意，得，解得，
答：康乃馨的进价为2元一支，玫瑰花的进价为4元一支．
（2）设购买康乃馨的数量为m支，商家获利w元．
由题意，知：，
解得，
，
∵，
∴w随m的增大而减小．
∵，
∴时，w有最大值．
此时（元），
，
答：购进康乃馨160支，玫瑰花240支时，利润最大，最大利润为1440元．
22. 如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数图1的关系．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如下表：
根据上述数据，求出关于的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要s的时间才能完成极具难度的动作．
请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
解：（1）设，
代入得：解得：，
∴；
（2）令，得，
解得，（舍去），
∴，
即运动员甲从起点A到入水点的水平距离为2m．
（3）由（1）得，
∴，∴，
当时，，解得（负舍去），
∵，
∴运动员甲能完成此动作．
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
[问题情景]
如图1：在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F．
[初步感知]
（1）当时．四边形的形状为________．周长为________（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时的长度．
解：（1）如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∵，
∴正方形的周长为，
故答案为：正方形；24；
（2）四边形是筝形，理由如下：
连接，如图，
由旋转得，
又，∴，∴，
又，∴四边形是筝形，
∵旋转角度数为α度，∴，
又，∴，
∴四边形的周长为.
（3）如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴；
如图，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
综上，值为：3或12.调查问卷
1．你近视吗？近视的度数（度）为（ ）
A．不近视 B． C． D． E．
2．你近视的主要原因是什么？
a．先天遗传
b．过度使用电子产品
c．长期在过明或过暗的环境下用眼
d．距离书本太近或躺着看书
e．作息不规律或睡眠不足
f．户外活动时间太短
g．其他
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
工具
桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
方案设计
示意图
状态一（空水桶）
状态二（水桶内加一定量的水）
说明：C为的中点
水平距离
0
1
竖直高度
10
10