2023年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  四个有理数，，，，其中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据报道，用纳米单位符号：的银粉制成的轻烧结体做热交换材料，可使制冷机工作温度达到已知，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？其大意是：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，共人，小明根据题意列出方程组，小亮根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是(    )

A. 小明正确，小亮错误 B. 小明错误，小亮正确
C. 小明，小亮都正确 D. 小明，小亮都错误

7.  下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点，，将沿轴正方向平移得到，交于点，若，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  观察：，，，根据此规律，当时，代数式的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10.  如图，在中，，，分别是，的中点，连接，，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，点运动的路程为，图是点运动时，的面积随变化的图象，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  请写出一个图象经过点的函数的关系式______ ．

13.  在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是______ 班

14.  如图，在等腰中，，，将绕点顺时针旋转至，使得，延长交于，点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在菱形中，，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当垂直于菱形的一边时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
化简：；
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

 

17.  本小题分
“十四五”期间，我国教育的重点工作之一就是要促进学生身心健康全面发展，要抓好中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理其中读物管理要以推荐目录为主，某初级中学为了解学生的阅读情况，从本校学生中随机抽取名学生进行调查，并对调查数据进行了整理，绘制了如下统计图表．
平均每周的阅读时间统计表

根据以上信息，解答下列问题：
上面图表中 ______ ， ______ ，阅读时间不低于分钟的学生人数占被调查人数的百分比为______ ；
通过调查可以看出，多数学生每周阅读时间少于分钟，为了改善这一情况，请你提出两条合理化建议；
学校准备在平均每周阅读时间在范围的名学生中位女生，位男生，随机选名学生参加读书经验交流会，请用列表或画树状图的方法求选取的名学生佮好是一男生一女生的概率．

18.  本小题分
如图，在正方形中，，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．
求反比例函数的解析式．
请用无刻度的直尺和圆规过点作出轴的垂线，要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图；若所作垂线交于点，请直接写出的长．

19.  本小题分
九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度小明与小东分别采用不同的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容：

请从小明和小东的方案中，任选其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度精确到．

20.  本小题分
为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升．
试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表漏出的水量精确到毫升：

根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题：
在图的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出与的图象，并判断是的什么函数，且求出此函数关系式．
如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出．
按此漏水速度，小时会漏水______ 升精确到升．
试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．

 

21.  本小题分
如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计相对于当时的生产力，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
求证；
若米，米，求车轮的半径．

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，已知点，．
求抛物线的解析式；
当时，求的最大值与最小值；
点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于，请直接写出点的横坐标的取值范围．

23.  本小题分
请阅读下列材料，完成相应的任务．

任务：
上述解题思路中的“依据”是______ 填序号．
；；；；．
如图，在中，为边的中点，已知，，，求的长．
如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点在直线上，且，若，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，而，
所以，
所以其中最小的是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：上边看，可得选项D的图形．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了单项式乘多项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

6.【答案】 

【解析】解：若人坐一辆车，则两辆车是空的，
，
若人坐一辆车，则人需要步行，
．
则：或，
小明，小亮都正确．
故选：．
设共有人，辆车，根据“如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．或者根据总人数不变这一等量关系列出关于的一元一次方程．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
原方程有两个相等的实数根，选项A不符合题意；
B.将原方程变形为一般形式，
，
原方程有两个不相等的实数根，选项B符合题意；
C.，
原方程没有实数根，选项C不符合题意；
D.将原方程变形为一般形式，
，
原方程没有实数根，选项D不符合题意．
故选：．
将原方程变形为一般形式，结合根的判别式，可求出各方程根的判别式的值，再取的选项即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点，，
．
将沿轴正方向平移得到，
，，
∽，
，即，
，，
，
点的坐标为
故选：．
先根据勾股定理求出，再利用平移的性质得出，，那么∽，根据相似三角形对应边成比例求出，，进而得到点的坐标．
本题考查了勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
．
．
．
．
．
当时，原式．
当时，原式．
故选：．
先根据规律求的值，再求代数式的值．
本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出的值是求解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：结合图形得，
当点运动到点处时，运动路程为，即，
为的中点，
，
当点运动到点处时，运动路程为，
，
为中位线，
，
此时的面积为，即，
，
，
，
，即．
故选：．
结合图形得，当点运动到点处时，运动路程为 ，即，由为的中点，得到，当点运动到点处时，运动路程为，得，由为中位线，求出，根据的面积为，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出长，求出．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先计算算术平方根和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：函数经过点．
故答案为：答案不唯一．
让时，函数值写出一个正比例函数即可．也可以写符合条件的一次函数、反比例函数或二次函数．
本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：由表格中的数据知，乙班中位数为，甲班中位数为，
所以乙班中位数大于甲班，
甲、乙两班中优秀人数更多的是乙班，
故答案为：乙．
根据中位数的意义求解即可．
本题主要考查方差、中位数、众数和平均数，解题的关键是掌握中位数的意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
由旋转的性质可知：，
，即，

，，
在中，，．
，，
，
．
故答案为：．
利用扇形的面积减去的面积计算即可．
本题考查不规则图形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握割补法求面积是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，
当时，如图，设垂足为点，则，
，
由折叠得，，
，
，
解得；
当时，如图，设垂足为点，
，
，
由折叠得，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
由菱形的性质得，，再分两种情况讨论，一是当时，设垂足为点，则，所以，由折叠得，，则，于是得，求得；二是当时，设垂足为点，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，解题过程中应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
 

16.【答案】解：

；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式的解集为，
其解集在数轴上表示如下所示：
． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：，
，即，
阅读时间不低于分钟的学生人数占被调查人数的百分比为，
故答案为：、、；
建议学校多安排阅读时间；组织阅读活动，提高阅读兴趣．
画树状图如下：

共有种等可能出现的情况，其中出现男生女生的情况有种．
男生女生．
根据各组人数之和等于总人数可得的值，根据百分比之和为可得的值，用组人数和除以总人数可得答案；
合理即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：为的中点，
，
四边形为正方形，
，
，
把代入得，
反比例函数解析式为；
如图，为所作，

把代入得，
，
． 

【解析】先确定点的坐标，然后把的坐标代入中求出，从而得到反比例函数解析式；
先利用基本作图，过点作轴的垂线得到，再利用反比例函数图象上的点坐标特征确定点坐标，然后计算出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．
 

19.【答案】解：选小明的方案：
在中，，
，
．
设米，
则米，
在中，，，
，
解得：．
米，
米，
答：旗杆的高约为米．
选小东的方案；
在中，，
，
，
设米，
则米，
在中，，，
，
解得：，
米，
米，
答：旗杆的高约为米． 

【解析】用小明的方案，设，在中由，，求得，由即可得出结论；选小东的方案，在中，，设米，则米，在中，，，，解得：，米，即可求得．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，熟记锐角三角函数的定义．
 

20.【答案】 

【解析】解：图象如图所示．
   画图象如图所示：

设与之间的函数表达式为，
由题意得，
解得，
．
，，
至少秒后，量筒中的水会满而溢出．
或，解得由图象知：随的增大而增大，
故至少秒后，量筒中的水会满而溢出．
一小时会漏水
毫升克千克；
故答案为：；
试验二：因为“博学组”接水的量筒秒后装满就溢出了，量筒内的水位不再发生变化，所以图象中会出现与横轴“平行”的部分．
实验一：根据图中的数据直接在坐标系中描出各点；
 先设出与的函数关系式为，根据表中数据，求出与的函数关系式，再根据和量筒的容量，即可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出；
 根据中的函数关系式，把代入求出答案；
 实验二：根据小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与横轴“平行”的部分．
本题考查函数图象，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：如图，连结，

与相切，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
解：由得，，
∽，
，
，即，
米，
米，
米．
车轮的半径为米． 

【解析】连接，得到，由圆周角定理得到，由，得到，即可证明．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明∽，得到，求出的长，从而求出、的长．
 

22.【答案】解：抛物线经过点、
．
解得．
抛物线的解析式为．
由题意，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
在范围当时，；
当时，．
由题意，点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于，
在到这两条直线之间的抛物线上的这段．
分别令或，
或．
或或．
或． 

【解析】依据题意，将、代入抛物线解析式可以得到方程组，从而求出解析式；
依据题意，将得到的解析式进行变形后，结合，可得当时有最小值，当时有最大值，再计算可以得解；
依据题意，由“点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于”，从而在到这两条直线之间的抛物线上的这段，进而可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数表达式，解题时需要熟练掌握并理解．
 

23.【答案】 

【解析】解：上述解题思路中的“依据”是；
故答案为：；
延长到，使，连结．

为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
为以为斜边的直角三角形，

，
；
如图，当点在边上时，延长交 的延长线于，

四边形是矩形，
，，
，，
≌，
，
，
点是边的中点，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
解得负值舍去，
；
当点在边的延长线上时，延长交 的延长线于，

四边形是矩形，
，，
，，
≌，
，
，
点是边的中点，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
解得负值舍去，
；
综上所述，的长为或．
根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
延长到，使，连结根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
如图，当点在边上时，延长交 的延长线于，当点在边的延长线上时，延长交 的延长线于，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．