2023年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  国务院总理李克强在年月日政府工作报告中指出：我国国内生产总值增加到万亿元，数据“万亿元”用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3.  下列是初中化学实验室常用四种仪器的主视图，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为度时，与平行(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  已知关于的方程，要使方程有两个不相等的实数根，则可以取的数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，矩形的对角线与相交于点，，，分别为，的中点，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  将分别标有“最”、“美”、“新”、“疆”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“新疆”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的如果把学习后的时间记为时，记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线如图所示，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响下列说法正确的是(    )

A. 是关于的反比例函数
B. 点的实际意义是复习后小时，记忆留存率为
C. 根据图象，在“、、、”四段中，段遗忘的速度最快
D. 若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是        ．

12.  一个不等式组的解集如图所示，该不等式组的整数解的个数为______ 个

13.  将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为______ ．

14.  如图，在扇形中，，，半径平分，点为半径中点，点为半径上一动点，当取得最小值时，由，，围成的阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，中，，，，点，分别是，的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，，当，，三点共线时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算或化简：
计算：；
化简：．

17.  本小题分
“坐位体前屈”是我市中招体育考试加试项目，某校为了解九年级男生“坐位体前屈”训练状况，随机抽取了名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下：
成绩频数分布表

成绩在这组的数据是单位：

根据以上信息，回答下列问题：
______ ，这次测试成绩的中位数是______ ．
小明的测试成绩为小强评价说：小明的成绩低于平均数，所以在抽取的名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高，你认同小强的说法吗？请说明理由．
已知九年级男生“坐位体前屈”成绩达到为满分，请你为该校提出一条训练建议．

18.  本小题分
如图，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴上，且的面积为．
______ ．
请用无刻度的直尺和圆规作第一象限的夹角平分线要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图
将中的角平分线反向延长得直线，设直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，求点，的坐标．
直接写出不等式的解集．

19.  本小题分
邓州彩虹大桥如图横跨湍河两岸，是我市标志性建筑之一，晚上灯火璀璨，形如彩虹，给我市增添了一道亮丽的风景周末，小亮在爸爸的帮助下，测量彩虹大桥弓顶距水面的高度如图，先在水岸处测得弓顶的仰角为，然后沿方向后退米至处后米，又走上观光台的点处，米，且；接着在点处测得弓顶的仰角为，根据以上小亮的测量数据，请你帮助他算出彩虹大桥弓顶距水面的高度结果精确到米，参考数据：，，

20.  本小题分
“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共套进行销售，它们的进价和售价如下表：

已知购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元．
求出，的值；
该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？

21.  本小题分
某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，设篮球运行的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面．
建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式，并通过计算判断此球能否准确投中；
此时，若对方队员乙跳起拦截，手与地面距离为，恰好拦住此球求乙与甲的水平距离．

22.  本小题分
将一个量角器和一个含度角的直角三角板如图放置，图是由它抽象出的几何图形，，点在半圆的直径的延长线上滑动，边始终与半圆相切，设切点为点，且．

求证：；
当时，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长．

23.  本小题分
综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图已知矩形纸片，其中，．

操作判断
将矩形纸片按图折叠，使点落在边上的点处，可得到一个的角，请你写出一个的角．
探究发现
将图的纸片展平，把四边形剪下来如图，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
拓展应用
改变图中点的位置，令点为射线上一动点，按照中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值为．
故选：．
根据绝对值的定义直接计算即可解答．
本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿元元，
用科学记数法表示为元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，都与地面平行，
，
，
，
，，
，
当时，．
故选：．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得：且，
即的取值范围是且，
可以取的数是．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，即可得出答案．
本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．也考查了一元二次方程的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
点、是，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得到．
主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“新疆”的结果有种，
两次摸出的球上的汉字可以组成“新疆”的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济外”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得，
，
方程组的解为，
故选：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，当时，，
，
不是关于的反比例函数，
故此选项不符合题意；
B.点的实际意义是学习第小时，记忆留存率为，故此选项不符合题意；
C.根据图象，在“、、、”四段中，段遗忘的速度最快，故此选项不符合题意；
D.若不复习，一天后记忆留存率为，而按艾宾浩斯记忆规律复习，一天后记忆留存率为，
，
若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少，
故此选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数的概念，点的坐标的意义，函数的图象及题意所提供的信息进行分析即可．
本题考查函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使代数式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，不等式组的解集为，
该不等式组的整数解有，，，共个，
故答案为：．
根据不等式组的解集在数轴上的表示得出解集，再判断整式个数即可．
本题考查了不等式组的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式组的解集在数轴上的表示是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是，则其向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标是，
故答案为：．
根据二次函数图象的平移规律左加右减，上加下减进行解答即可．
本题考查抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，掌握抛物线的平移及解析式的变化规律是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接，，

半径平分，
，关于对称，
，
，
当，重合时，取得最小值，
记当取得最小值时，由，，围成的阴影部分的面积为，
则，
，，半径平分，
，，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，交于点，连接，，可得当，重合时，取得最小值，进而根据即可求解．
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：中，，，，
，，
点，分别是，的中点，
，，
为等边三角形，
将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
当，，三点共线时，有以下两种情况：
当点在，之间，

，
，
在中，；
当点不在，之间设为，

，
，
由可得：
在中，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
先根据直角三角形的性质及中点的定义说明为等边三角形，可得，，然后再分：当点在，之间，当点不在，之间设为两种情况利用勾股定理进行计算即可．
本题考查直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理的灵活运用是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据算术平方根，负整数幂，立方根和零指数幂进行计算即可；
根据分式的混合计算法则求解即可．
本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟练掌握算术平方根、负整数幂、立方根、零指数幂的运算法则和平方差公式是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：，
成绩在内的频数为，成绩在内的频数为，且，
而在的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，
这次测试成绩的中位数是：，
故答案为：；．
不认同．
理由：，
小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好．
在保证训练时间的条件下进行科学训练，从而逐渐提高“坐位体前屈”的成绩，第一步超过中位数，然后再向满分冲刺．答案不唯一．合理即可．
根据所有的频数之和等于数据总数即可求出，根据频数分布表和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，继而依据中位数的定义求解即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布表、中位数，解题的关键是根据表格得出解题所需数据，掌握中位数的定义和意义．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，
等边三角形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴上，且的面积为，
是等边三角形的边上的中线，
，
，
故答案为：；

如图所示，第一象限的夹角平分线射线即为所作；
直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，
，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为；
直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，
即的解集为：或．
如图，过点作轴于点，由等边三角形的性质可得的面积，再利用反比例函数值的几何意义即可得出结论；
如图，以点为圆心，作弧交轴、轴于点、，分别以点、为圆心大于为半径作弧，交于点，则射线为第一象限的夹角平分线；
解由直线和双曲线的两个解析式所构成的方程组，所得的解即为所求的交点坐标；
观察图象即可得出结论．
本题考查尺规作图，反比例函数的比例系数的几何意义，直线与反比例 函数的交点坐标，利用图象解不等式．掌握反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
 

19.【答案】解：设，过点作于点，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
 ，
在中，，，
，
，
，
，
，
解得：，
即米，
彩虹大桥弓顶距水面的高度约为米． 

【解析】设，过点作于点，易证四边形为矩形，可得，，在中，，可得，在中，可得，再根据，可得，求出即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，锐角三角函数．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
答：、的值分别是元、元．
设购进乒乓球拍套，羽毛球拍套．总利润为元，
由题意得：，
解得：，

，
，
随的增大而减小，
当时，最大，且最大值为：元，
此时，
答：购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元． 

【解析】根据购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，列出方程组，解方程组即可；
根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．
 

21.【答案】解：由题意得，抛物线顶点为且过，
设抛物线为，
把代入，得，
，
当时，，
此球能准确命中；

把代入，
得，
解得，，
乙与甲的水平距离为或． 

【解析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，由待定系数法可确定抛物线的解析式，令，求出的值，与比较即可作出判断；
将代入，进而得出答案．
本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连结，如图所示：

切半圆于点



，
四边形为平行四边形，
．

解：在中，
，，

由得：．
当∽时，，
在中，，
，
；
当∽时，，
在中，，
．
故：当或时，以、、为顶点的三角形与相似． 

【解析】根据切线性质得出，推出，，得出平行四边形，根据平行四边形性质推出即可．
分为两种情况，根据相似三角形的性质求出即可．
本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，
将矩形纸片按图折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
的角有或，，．
周长为定值．
连结，
四边形是矩形，，，，，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
由折叠性质得：，，，
为的中点，
，
，
在与中，
，
≌
，
的周长为：，
即：的周长为定值．

如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
，
，
在中，
，
；

如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
，
在中，，
；
综上所述，的长为或．
 

【解析】利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
周长为定值．连结，先证明四边形是矩形，可得，，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明≌可得到，最后计算可知是一常数，结论得证；
分两种情况计算：当点为的三分点且靠近点时，当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．