数学：甘肃省陇南市康县2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：甘肃省陇南市康县2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：B
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，不合题意；
B．，不合题意；
C．，不合题意；.
D．，符合题意；故选D．
3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是 （ ）
A. 3，4，5B. 5，，
C. 3，5，7D. 1，2，
【答案】C
【解析】A.，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 两组边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形
D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】A
【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法是假命题，不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；故选：A．
5. 在中，，高，则的长为（ ）
A. 14B. 4C. 14或4D. 以上都不对
【答案】C
【解析】由题意知，分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况求解：
①当是锐角三角形时，如图1，在锐角中，，边上高，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴；
①当是钝角三角形时，如图2，在钝角中，，边上高，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴；
综上所述，的长为4或14；
故选：C．
6. 如图，则化简 的结果为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
∴，
∴，故选：D．
7. 如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形
∴点O是的中点
∵点M是的中点
∴是的中位线
∴
∴菱形的周长为．
故选：B．
8. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：
OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），
∵OA2+OB2=900，AB2=900，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴90°-40°=50°，
∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°，
故选：C．
9. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：A．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，若，，则下列结论：①，②，③，④．其中结论正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】∵四边形是平行四边形，，，
，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，结论①正确；
，
，结论②正确；
，
，
，结论③正确；
在中，，
，
在中，，
，结论④正确；
综上，结论正确的有4个，
故选：D．
二、填空题
11. 二次根式有意义，则的取值范围是__________
【答案】
【解析】由题意得：，
解得：，
故选：．
12. 若与互为相反数，则________．
【答案】1
【解析】与互为相反数，
，
即，解得，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．
【答案】17m
【解析】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，
在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边，
根据勾股定理可得AC==12m，
故地毯长度为AC+BC=12+5=17m，
故答案为：17m．
14. 如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】∵，
∴
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
三角形的面积：，
阴影部分的面积：；
故答案是:．
15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________．

【答案】
【解析】，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点作于点，于点．则线段的最小值是______．
【答案】
【解析】连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC=∠MEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=6，
∴AB=，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=，
∴CM的最小值=，
∴线段DE的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
解：原式=2+2×1-2
=2．
18. 计算：．
解：
．
19. 如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
解：，，，
，
，
，
．
20. 已知求代数式：，，求代数式的值．
解：，，
，，
原式．
21. 如图，在中，平分，过点分别作和的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE
∵点E是AD边的中点
∴AE＝DE
∴△NDE≌△MAE（AAS）
∴NE＝ME
∴四边形AMDN是平行四边形
（2）解：①当四边形AMDN是矩形时
∠AMD=90°
在菱形ABCD中AD＝AB＝6
∵∠DAB＝60°
∴∠ADM=30°
∴AM=AD=3
故答案为：3．
②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM
∵∠DAB＝60°
∴△AMD为等边三角形
∴AM=AD
在菱形ABCD中AD＝AB＝6
∴AM=6
故答案为：6．
四、解答题
23. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
（1）解：连接，
，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
（2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，在CD边上找一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使得点D恰好落在BC边上的点F处，且BF＝12．解答下列问题：
（1）求AD的长．
（2）求△ADE的面积．
解：（1）在Rt△ABF中，AB＝5，BF＝12，由勾股定理得，
AF＝＝＝13，
由翻折变换可得，
AD＝AF＝13；
（2）由翻折变换得，ED＝EF，
设ED＝x，则EC＝5﹣x，FC＝BC﹣BG＝13﹣12＝1，
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
EC2+FC2＝EF2，
即（5﹣x）2+12＝x2，
解得x＝，
DE＝，
∴S△ADE＝AD•DE
＝×13×
＝，
答：△ADE的面积为．
25. 阅读下列解题过程：
；
．
请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算：；
（2）利用上面的解法，请化简：
．
（1）解：原式；
（2）解：
原式
．
26. 如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于，交和的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
（1）证明：四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是正方形，
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）用t的代数式表示：AE= ；DF= ；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
解：（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=CD=2t，
故答案为2t，2t；
（2）∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形；
（3）分两种情况：
①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60﹣4t，
∴t=
②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=AE，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=s或12s时，△DEF是直角三角形．