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2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
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这是一份2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化，共56页。试卷主要包含了，不考虑闸口与车辆的宽度等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
一．选择题（共10小题）
1．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2021•岳阳）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021•湘西州）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A． B． C． D．
5．（2021•怀化）以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
6．（2021•邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2021•衡阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
9．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
10．（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二．填空题（共10小题）
11．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件： ，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）
12．（2021•湘潭）在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，则点A′的坐标为 ．
13．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
14．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 度．
15．（2021•娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝ mm．
16．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
17．（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
18．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
19．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 ．
20．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
22．（2021•湘西州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，＝1.73）
23．（2021•娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414）
24．（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
25．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
26．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
27．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
28．（2021•株洲）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．
29．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，求证：PD∥CM，PD＝CM．
30．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】应用题；应用意识．
【分析】根据题意列出h和角度之间的关系式即可判断．
【解答】解：由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，
①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，
故①正确；
②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4+米即可通过该闸口，
∵2.9＞1.4+，
∴h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，
故②正确；
③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4米即可通过该闸口，
∵3.1＜1.4+，
∴h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，
故③不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查特殊角三角函数的应用，熟练掌握特殊角三角形函数是解题的关键．
2．（2021•岳阳）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3．（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据简单组合体三视图的意义画出俯视图即可．
【解答】解：该组合体的俯视图如下：
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握俯视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．
4．（2021•湘西州）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．
5．（2021•怀化）以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意；
B．任意多边形的外角和是360°,正确，不合题意；
C．正六边形是中心对称图形,正确，不合题意；
D．圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质，正确掌握相关多边形的性质是解题关键．
6．（2021•邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
7．（2021•衡阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】画出该组合体的三视图即可．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
8．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．
【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，
∴EC＝EB+BC＝14，
∵AB⊥EC，
∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
又∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝10.5，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE是解题的关键．
9．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10（米），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
10．（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【考点】三角形的面积；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，
即4²+x²＝(8﹣x)²，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，
此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件： ∠ADE＝∠C（答案不唯一） ，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】开放型；图形的相似；应用意识．
【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．
【解答】解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
12．（2021•湘潭）在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，则点A′的坐标为 （3，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【分析】根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，
∴A′（3，1），
故答案为（3，1）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
13．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 21 度．
【考点】全等三角形的性质；等腰直角三角形；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
故答案为：21．
【点评】本题考查了关于直线对称、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．
15．（2021•娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝ 15 mm．
【考点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】由平行线的性质和垂线的性质可得∠A'BC＝∠ABE＝90°，可求∠ABA'＝∠CBE＝α，利用锐角三角函数可求解．
【解答】解：∵BA'⊥AD，AD∥BC，
∴A'B⊥BC，
∴∠A'BC＝∠ABE＝90°，
∴∠ABA'＝∠CBE＝α，
∵sin∠A'BA＝sinα＝＝0.05，
∴AA'＝300×0.05＝15（mm），
故答案为：15．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，求出∠ABA'＝∠CBE＝α是解题的关键．
16．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 40° ．
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠4＝20°，进而得出∠2＝40°．
【解答】解：如图
分别延长EB、DB到F，G，
由于纸带对边平行，
∴∠1＝∠4＝20°，
∵纸带翻折，
∴∠3＝∠4＝20°，
∴∠DBF＝∠3+∠4＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠2＝∠DBF＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
17．（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 9：4 ．
【考点】三角形的面积；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴＝（）2＝．
故答案为：9：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
18．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 ②④⑤ .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
【考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；图形的相似；推理能力．
【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；
③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则的长为＝，故③错误；
④易得△EDF∽△BEF，则＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
【解答】解：①∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BE＞BC，
∴AE＞BC，
故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＝∠CBD，
故②正确；
③连接OD，
若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，
∴的长为＝，故③错误；
④∵EF是⊙O的切线，
∴∠BEF＝90°，
又DE⊥AB，
∴∠EDF＝∠BEF＝90°，
∴△EDF∽△BEF，
∴＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，
∴BF＝10，
由①AE＝BE＝8，
∴∠A＝∠ABE，
又∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，
设BC＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，
解得m＝1.28，
∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．
19．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 （2,2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据题意，画出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知A2(2,2)．
故答案为：（2,2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
20．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 ．
【考点】胡不归问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得DP＝，则PC+PB的最小值为PC+PD的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CH⊥AB于点H，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA＝＝，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝，
∴sin∠ABD＝，
∴DP＝，
∴PC+PB＝PC+PD，
即点C、P、D三点共线时，PC+PB最小，
∴PC+PB的最小值为CH的长，
∵S△ABC＝，
∴4×4＝5×CH，
∴CH＝．
∴PC+PB的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）由边角关系式可求解；
（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝60°，
∵＝＝，
∴＝，
∴b＝2；
（2）∵＝，
∴＝，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10﹣CD）2，
∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），
∴CD的长度为8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，掌握特殊三角函数值是解题的关键．
22．（2021•湘西州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，＝1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】设CH为xm，证出BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，再由AH﹣BH＝AB得出方程，解方程即可．
【解答】解：设CH为xm，
由题意得：∠AHC＝90°，∠CBH＝45°，∠A＝30°，
∴BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，
∵AH﹣BH＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x＝10（+1）≈27.3（m），
答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；证出BH＝CH，AH＝CH是解答此题的关键．
23．（2021•娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】在Rt△APD中，根据三角函数的定义求出AO和PD，在Rt△APD中，根据三角函数的定义求出BD，进而求出求出AB，根据速度公式即可求出天舟二号从A处到B处的平均速度．
【解答】解：由题意可得：∠APD＝30°，∠BPD＝45°，AP＝6千米，∠BDP＝90°，
在Rt△APD中，∵∠APD＝30°，AP＝6千米，∠ADP＝90°，cos∠APD＝cos30°＝，
∴AD＝AP＝3千米，PD＝PA•cos30°＝6×≈3（千米），
在Rt△BPD中，
∵∠BPD＝45°，PD＝3千米，∠BDP＝90°，tan∠BPD＝tan45°＝，
∴BD＝PDtan45°≈3（千米），
故AB＝BD﹣AD＝3﹣3≈5.196﹣3＝2.196（千米）＝2196米，
则天舟二号从A处到B处的平均速度约为：2196÷7.5≈293（米/小时），
答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293米/小时．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出得出PD的长是解题关键．
24．（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据AB的坡度求出AC，在Rt△BCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝BC，由线段的和差即可求得AE；
（2）在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝80，
∵AB的坡度i＝1：0.7，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝56，
在Rt△BCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80，
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）在Rt△BCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴≈0.6，
∴CF≈133.33，
∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），
答：河宽EF的长度约53.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
25．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】过C作CF⊥AE于F，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，由锐角三角函数定义分别求出AF、BD的长，即可解决问题．
【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示：
则FC＝AD＝20米，AF＝DC，
在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，
∵tan∠EAC＝＝tan22°≈，
∴DC＝AF≈FC＝50（米），
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，
∵tan∠ABD＝＝tan67°≈，
∴BD≈AD＝（米），
∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米），
即大桥BC的长约为41.7米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM＝45°得到DM＝EM＝15.8米，即可求得DG＝17.2米，进而求得DN＝15.4米，再在Rt△CNF中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD＝CN﹣DN求得即可．
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．
【点评】本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．
27．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；
（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．
【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键．
28．（2021•株洲）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．
【考点】弧长的计算；生活中的平移现象；旋转的性质；解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）在Rt△FGH中，由FG＝2FH，可得结论．
（2）求出GE，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）∵GM∥PA，
∴∠FGH＝∠FBP＝30°，
∵FH⊥GM，
∴∠FHG＝90°，
∴FG＝2FH＝（米）．
（2）∵EF＝4米，FG＝米．
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝（米），
∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，
∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式l＝．
29．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，求证：PD∥CM，PD＝CM．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△ATD≌△NCD，可得CN＝AT＝BN；
（2）①由轴对称的性质可得CN＝MC＝AT，∠ACN＝∠ACM，由“SAS”可证△TAO≌△MCO，可得OT＝OM，∠TOA＝∠COM，即可得结论；
②将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，由旋转的性质可得EM＝CM＝AT，由角的数量关系可证∠TAC＝∠AEM，可得AT∥EM，可证四边形ATEM是平行四边形，可得TP＝PM，由三角形中位线定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD（AAS），
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
（2）①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO（SAS），
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，
∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，证明四边形ATEM是平行四边形是解题的关键．
30．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】存在型；分类讨论；三角形；图形的相似；模型思想；应用意识．
【分析】（1）易证PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，所以∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，则△ABC为等腰直角三角形．再证明△CDP～△B'DA，可得＝＝．设B'D＝b，则CD＝b．则AD＝a﹣b，PD＝﹣b，由＝解得b＝．再过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D＝，AE＝AB﹣B'E＝，AD＝．故cos∠B'AC＝cos∠EAD＝即可求；
（3）分①点P在BC外的圆弧上；②点P在BC上两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP～△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．
【点评】本题以几何变换为背景考查了图形折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、辅助圆、分类讨论的数学思想，作出合理的辅助线以及学会分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
14．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
15．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
16．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
17．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
18．胡不归问题
著名的几何最值问题
19．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
20．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
21．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
22．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
23．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
24．几何变换综合题
几何变换综合题．
25．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
26．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
27．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
28．相似形综合题
相似形综合题．
29．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
32．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
34．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
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2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
一．选择题（共10小题）
1．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2021•岳阳）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021•湘西州）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A． B． C． D．
5．（2021•怀化）以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
6．（2021•邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2021•衡阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
9．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
10．（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二．填空题（共10小题）
11．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件： ，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）
12．（2021•湘潭）在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，则点A′的坐标为 ．
13．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
14．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 度．
15．（2021•娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝ mm．
16．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
17．（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
18．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
19．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 ．
20．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
22．（2021•湘西州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，＝1.73）
23．（2021•娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414）
24．（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
25．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
26．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
27．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
28．（2021•株洲）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．
29．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，求证：PD∥CM，PD＝CM．
30．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】应用题；应用意识．
【分析】根据题意列出h和角度之间的关系式即可判断．
【解答】解：由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，
①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，
故①正确；
②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4+米即可通过该闸口，
∵2.9＞1.4+，
∴h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，
故②正确；
③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4米即可通过该闸口，
∵3.1＜1.4+，
∴h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，
故③不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查特殊角三角函数的应用，熟练掌握特殊角三角形函数是解题的关键．
2．（2021•岳阳）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3．（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据简单组合体三视图的意义画出俯视图即可．
【解答】解：该组合体的俯视图如下：
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握俯视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．
4．（2021•湘西州）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．
5．（2021•怀化）以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意；
B．任意多边形的外角和是360°,正确，不合题意；
C．正六边形是中心对称图形,正确，不合题意；
D．圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质，正确掌握相关多边形的性质是解题关键．
6．（2021•邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
7．（2021•衡阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】画出该组合体的三视图即可．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
8．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．
【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，
∴EC＝EB+BC＝14，
∵AB⊥EC，
∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
又∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝10.5，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE是解题的关键．
9．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10（米），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
10．（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【考点】三角形的面积；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，
即4²+x²＝(8﹣x)²，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，
此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件： ∠ADE＝∠C（答案不唯一） ，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】开放型；图形的相似；应用意识．
【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．
【解答】解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
12．（2021•湘潭）在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，则点A′的坐标为 （3，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【分析】根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，
∴A′（3，1），
故答案为（3，1）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
13．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 21 度．
【考点】全等三角形的性质；等腰直角三角形；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
故答案为：21．
【点评】本题考查了关于直线对称、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．
15．（2021•娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝ 15 mm．
【考点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】由平行线的性质和垂线的性质可得∠A'BC＝∠ABE＝90°，可求∠ABA'＝∠CBE＝α，利用锐角三角函数可求解．
【解答】解：∵BA'⊥AD，AD∥BC，
∴A'B⊥BC，
∴∠A'BC＝∠ABE＝90°，
∴∠ABA'＝∠CBE＝α，
∵sin∠A'BA＝sinα＝＝0.05，
∴AA'＝300×0.05＝15（mm），
故答案为：15．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，求出∠ABA'＝∠CBE＝α是解题的关键．
16．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 40° ．
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠4＝20°，进而得出∠2＝40°．
【解答】解：如图
分别延长EB、DB到F，G，
由于纸带对边平行，
∴∠1＝∠4＝20°，
∵纸带翻折，
∴∠3＝∠4＝20°，
∴∠DBF＝∠3+∠4＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠2＝∠DBF＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
17．（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 9：4 ．
【考点】三角形的面积；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴＝（）2＝．
故答案为：9：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
18．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 ②④⑤ .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
【考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；图形的相似；推理能力．
【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；
③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则的长为＝，故③错误；
④易得△EDF∽△BEF，则＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
【解答】解：①∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BE＞BC，
∴AE＞BC，
故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＝∠CBD，
故②正确；
③连接OD，
若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，
∴的长为＝，故③错误；
④∵EF是⊙O的切线，
∴∠BEF＝90°，
又DE⊥AB，
∴∠EDF＝∠BEF＝90°，
∴△EDF∽△BEF，
∴＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，
∴BF＝10，
由①AE＝BE＝8，
∴∠A＝∠ABE，
又∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，
设BC＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，
解得m＝1.28，
∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．
19．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 （2,2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据题意，画出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知A2(2,2)．
故答案为：（2,2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
20．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 ．
【考点】胡不归问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得DP＝，则PC+PB的最小值为PC+PD的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CH⊥AB于点H，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA＝＝，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝，
∴sin∠ABD＝，
∴DP＝，
∴PC+PB＝PC+PD，
即点C、P、D三点共线时，PC+PB最小，
∴PC+PB的最小值为CH的长，
∵S△ABC＝，
∴4×4＝5×CH，
∴CH＝．
∴PC+PB的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）由边角关系式可求解；
（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝60°，
∵＝＝，
∴＝，
∴b＝2；
（2）∵＝，
∴＝，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10﹣CD）2，
∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），
∴CD的长度为8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，掌握特殊三角函数值是解题的关键．
22．（2021•湘西州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，＝1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】设CH为xm，证出BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，再由AH﹣BH＝AB得出方程，解方程即可．
【解答】解：设CH为xm，
由题意得：∠AHC＝90°，∠CBH＝45°，∠A＝30°，
∴BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，
∵AH﹣BH＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x＝10（+1）≈27.3（m），
答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；证出BH＝CH，AH＝CH是解答此题的关键．
23．（2021•娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】在Rt△APD中，根据三角函数的定义求出AO和PD，在Rt△APD中，根据三角函数的定义求出BD，进而求出求出AB，根据速度公式即可求出天舟二号从A处到B处的平均速度．
【解答】解：由题意可得：∠APD＝30°，∠BPD＝45°，AP＝6千米，∠BDP＝90°，
在Rt△APD中，∵∠APD＝30°，AP＝6千米，∠ADP＝90°，cos∠APD＝cos30°＝，
∴AD＝AP＝3千米，PD＝PA•cos30°＝6×≈3（千米），
在Rt△BPD中，
∵∠BPD＝45°，PD＝3千米，∠BDP＝90°，tan∠BPD＝tan45°＝，
∴BD＝PDtan45°≈3（千米），
故AB＝BD﹣AD＝3﹣3≈5.196﹣3＝2.196（千米）＝2196米，
则天舟二号从A处到B处的平均速度约为：2196÷7.5≈293（米/小时），
答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293米/小时．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出得出PD的长是解题关键．
24．（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据AB的坡度求出AC，在Rt△BCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝BC，由线段的和差即可求得AE；
（2）在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝80，
∵AB的坡度i＝1：0.7，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝56，
在Rt△BCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80，
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）在Rt△BCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴≈0.6，
∴CF≈133.33，
∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），
答：河宽EF的长度约53.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
25．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】过C作CF⊥AE于F，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，由锐角三角函数定义分别求出AF、BD的长，即可解决问题．
【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示：
则FC＝AD＝20米，AF＝DC，
在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，
∵tan∠EAC＝＝tan22°≈，
∴DC＝AF≈FC＝50（米），
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，
∵tan∠ABD＝＝tan67°≈，
∴BD≈AD＝（米），
∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米），
即大桥BC的长约为41.7米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM＝45°得到DM＝EM＝15.8米，即可求得DG＝17.2米，进而求得DN＝15.4米，再在Rt△CNF中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD＝CN﹣DN求得即可．
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．
【点评】本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．
27．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；
（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．
【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键．
28．（2021•株洲）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．
【考点】弧长的计算；生活中的平移现象；旋转的性质；解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）在Rt△FGH中，由FG＝2FH，可得结论．
（2）求出GE，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）∵GM∥PA，
∴∠FGH＝∠FBP＝30°，
∵FH⊥GM，
∴∠FHG＝90°，
∴FG＝2FH＝（米）．
（2）∵EF＝4米，FG＝米．
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝（米），
∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，
∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式l＝．
29．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，求证：PD∥CM，PD＝CM．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△ATD≌△NCD，可得CN＝AT＝BN；
（2）①由轴对称的性质可得CN＝MC＝AT，∠ACN＝∠ACM，由“SAS”可证△TAO≌△MCO，可得OT＝OM，∠TOA＝∠COM，即可得结论；
②将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，由旋转的性质可得EM＝CM＝AT，由角的数量关系可证∠TAC＝∠AEM，可得AT∥EM，可证四边形ATEM是平行四边形，可得TP＝PM，由三角形中位线定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD（AAS），
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
（2）①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO（SAS），
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，
∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，证明四边形ATEM是平行四边形是解题的关键．
30．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】存在型；分类讨论；三角形；图形的相似；模型思想；应用意识．
【分析】（1）易证PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，所以∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，则△ABC为等腰直角三角形．再证明△CDP～△B'DA，可得＝＝．设B'D＝b，则CD＝b．则AD＝a﹣b，PD＝﹣b，由＝解得b＝．再过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D＝，AE＝AB﹣B'E＝，AD＝．故cos∠B'AC＝cos∠EAD＝即可求；
（3）分①点P在BC外的圆弧上；②点P在BC上两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP～△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．
【点评】本题以几何变换为背景考查了图形折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、辅助圆、分类讨论的数学思想，作出合理的辅助线以及学会分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
14．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
15．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
16．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
17．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
18．胡不归问题
著名的几何最值问题
19．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
20．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
21．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
22．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
23．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
24．几何变换综合题
几何变换综合题．
25．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
26．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
27．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
28．相似形综合题
相似形综合题．
29．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
32．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
34．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
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日期：2021/8/3 15:40:52；用户：总部9；邮箱：zybzb9@xyh.com；学号：40292140
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