2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-函数-平面直角坐标系

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1. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：
若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．

(1)如图，点，，
①在点，，中，弦的“关联点”是______．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
(2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
2. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m．
(1)点的坐标是_____，点的坐标是_______；
(2)求满足的函数关系；
(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
3. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
4. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
(1)已知，，
①在点，，中，线段的融合点是______；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
(2)已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
5. 在平面直角坐标系中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若，且，则称点Q为点P关于点C的“k—关联点”．已知点 ，的半径为r．
(1)①在点中，是点A关于点O的“1—关联点”的为 ；
②点B关于点O的“—关联点”的坐标为 ；
(2)点P为线段上的任意一点，点C为线段上任意一点（不与点B重合）．
①若上存在点P关于点O的“—关联点”，直接写出r的最大值及最小值；
②当时，上不存在点P关于点C的“k—关联点”，直接写出k的取值范围： ．
6. 如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E．
(1)求点A到的距离；
(2)连接，补全图形并求的面积；
(3)若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标．
7. 在平面直角坐标系中，对于和点(不与点重合）给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．
(1)已知，．
①若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；
②是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；
(2)直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．
8. 在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．
(1)①点的变换点的坐标为______；
②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；
(2)求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；
(3)已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．
9. 对于实数，表示不小于的最小整数，例如：，，．点是轴右侧的点，已知点，，我们把（三角形）叫做点的取整三角形．
(1)已知点，直接写出点的坐标________；
(2)已知点，且点的取整三角形面积为5，直接写出的取值范围：________________；
(3)若点的取整三角形面积为2，请在下面的坐标系中画出所有满足条件的点的区域（用阴影表示，能取到的边界用实线表示，不能取到的边界用虚线表示）．
10. 在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
(1)①点A的坐标为，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为 ；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为 ；
(2)点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为 ；
(3)点P的坐标，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
11. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得点绕着点旋转得到的对应点在图形上，则称点为图形的“关联点”．

(1)图形是线段，其中点的坐标为，点的坐标为，
①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ；
②如图2，若直线上存在点，使点为线段的“关联点”，求的取值范围；
(2)图形是以为圆心，为半径的．已知点，．若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围．
12. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”．
(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________；
(2)的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围；
(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围．
13. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点．
(1)若点，求点和点的“阶距离”；
(2)若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标；
(3)若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围．
14. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，点A的p值的定义如下：；比如点，；点，．
(1)已知，，则_____，_____．
(2)已知，，点Q在线段上运动，若，求Q的纵坐标q满足的条件；
(3)如图，已知，，将线段向上平移个单位得到线段．若线段上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围．
15. 在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为．
(1)，，
①的值是 ；
②点在轴上，若，则点的坐标是 ．
(2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为．
①当点的坐标为时，求的值；
②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．
16. 对平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意两个点，，M与N的“直角距离”记为，．例如：点与的“直角距离”．

(1)已知点．
①点A与点的“直角距离” ；
②若点A与点的“直角距离”，则m的值为 ；
(2)已知和；
①在点，，中，到D，E两个点的“直角距离”之和最小的是 ；
②若点，若平面直角坐标系中的点P满足最小，直接写出点P的坐标： ；
③若点Q在平面直角坐标系中，满足最小且最小，请在右侧平面直角坐标系中直接画出所有符合条件的点Q所组成的图形．
17. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，，，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点．

(1)若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有__________；（填写序号即可）
①；②；③；④．
(2)点A，都在直线上，已知点A的横坐标为，，．
①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点的坐标；
②如图2，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围__________．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横纵坐标交换位置得到点．给出如下定义：对于平面上的点C，若满足，则称点C为点M的“对炫点”．

(1)已知点，
①下列各点：，，中为点A的“对炫点”的是______；
②点P是直线上一点，若点A是点P的对炫点，求出点P的坐标；
(2)设点是第一象限内一点，点P是直线上一点，至少存在一个点P，使得点A的对炫点也是点P的对炫点，求a、b的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足，其中点是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”．

(1)如图1所示，已知，点，点．
①在点中，是线段的“对称平衡点”的是___________；
②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由；
(2)如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点C满足，再以点C为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标的取值范围．
20. 在同一平面内，如果线段外一点到这条线段所在的直线的距离是2，我们称这个点为这条线段的“标准距离点”．例如，图1中点P为线段外一点，点P到线段所在的直线的距离是2，则称点P是线段的“标准距离点”．如图2，平面直角坐标系中，点，点在第二象限．
(1)在点，，中，线段的“标准距离点”是______（只填字母）；
(2)若点B是线段的“标准距离点”．
①a的值为______；
②点C是x轴上一点（点C不与点A重合），三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点C的坐标；
③已知点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数，连接交线段于点E，点F在x轴上，如果三角形的面积等于三角形的面积，求点F的坐标（用含m的式子表示）．
21. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：
若O，A，B在一条直线上；
若O，A，B不在一条直线上．
已知点A坐标为点B坐标为，回答下列问题：
(1)______；
(2)若，，则点P坐标为_______ ；
(3)在图中画出所有满足的点P，并说明理由．
(4)若一个正方形中任意一点P都满足，则称这个正方形为正规正方形．请直接写出包含点O的正规正方形面积的最大值：________．
22. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I类中任意两点的绝对距离的最大值为，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为，称与的较大值为分类系数．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．
(1)若将点分为第I类，点，，分为第Ⅱ类，则________，________，因此，这种分类方式的分类系数为________；
(2)将点，，，，分为两类，求分类系数的最小值：
(3)点的坐标为，已知将6个点，，，，，分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出的取值范围．
23. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称；
(1)点B的坐标为________；
(2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标；
(3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
24. 对平面直角坐标系中的任意两点和，我们定义为点和点的“绝对和距离”，记作，即

(1)若点，点，则____________．
(2)在点，，，中，与原点“绝对和距离”为6的点是____________
(3)已知点，，，，若以点、、、为顶点的四边形上存在一点，使得，则的最小值为_________，最大值为_________．
25. 在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．

(1)如图，的半径为2，点．
①在的三条边中，的“交割线段”是 ；
②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；
(2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围．
26. 在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点．

(1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________；
(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）：
①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标；
②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值．
27. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”．
①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，为点与点的“远距离”，即．
②点与点的“总距离”为与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则_________；_________．
(2)若点在第一象限，且．求点B的坐标．
(3)①若点（，），且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图一中画出图形W；
②已知点，，若在线段MN上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围．
28. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，称点为点的关联点，为关联距离．
例如，点与，可以看作是将点N向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点，则点为点的关联点，关联距离为5．已知点．
(1)在点，，中，是点的关联点有______，此时，关联距离为______
(2)点在线段上，其中，点，．若点是点的关联点，则点的坐标为______
(3)在中，点，，，若上有且只有一个点是点的关联点，求的取值范围．
29. 在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：．
(1)已知点．
①若点Q与点P重合，则______；
②若点，则______；
(2)正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点Q在正方形的边上及其内部运动．若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；
(3)若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围．
30. 已知中，于点E，．
(1)如图1，若平分交线段于点F．
①当，时，______，______；
②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案）