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2024年甘肃省武威市天祝县东坪学校联片教研中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省武威市天祝县东坪学校联片教研中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.|−2|的相反数是( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
2.若二次根式 3x−6有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x≥2C. x≥−2D. x≤2
3.某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品.首批柑橘成熟后，某电商用3500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用2500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价.设购进的第一批柑橘的单价为x元，根据题意可列方程为( )
A. 3500x=2500x−4B. 3500x=2500x+4C. 3500x−4=2500xD. 2500x=3500x+4
4.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
5.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE=2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是( )
A. 43
B. 103
C. 1
D. 53
6.如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC=26°，则∠A的度数为( )
A. 32°
B. 52°
C. 64°
D. 72°
7.已知：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A. 经过第一、二、四象限B. 与x轴交于(1,0)
C. 与y轴交于(0,1)D. y随x的增大而减小
8.一组数据−2，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是( )
A. −2B. 3C. 5D. 7
9.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE//BC，AD=3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为( )
A. 61
B. 62
C. 63
D. 64
10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=120°，AD为⊙O的直径，AD=8，那么AB的值为( )
A. 4
B. 4 3
C. 2 3
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算： 12+ 3=______．
12.分解因式：3m2−3= ．
13.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．
14.如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD′E，延长ED′，交BC于点F.若AB=15，DE=10，则tan∠EFC的值是______．
15.为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根6m高的灯柱的影长为3m，在同一时刻，他们测得树的影长为2m，则该树的高度为______m.
16.如图，在△ABC中，∠A=30°，分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD=AE，则∠BFC的度数为______．
17.如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，连接OB.若OB=5cm，AD=2cm，则BC的长是______cm．
18.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=8 2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好过MN的中点，则点C′的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算： 4+2sin45°−(π−3)0+| 2−2|．
(2)解不等式组：2(x+2)−x≤5①4x+13>x−1②．
20.(本小题6分)
如图，平面直角坐标系xOy在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是A(−1,−2)，B(−3,−1)，C(−2,2)．
(1)把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出点A′的坐标；
(2)在(1)的基础上，求线段AB在旋转过程中扫过的面积．
21.(本小题6分)
如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC=DE．
22.(本小题6分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE//AC，AE//BD，连接OE.求证：OE⊥AD．
23.(本小题6分)
小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
24.(本小题8分)
暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国，某经销商计划购进A、B两种水果.已知购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元．
(1)A、B两种水果每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A、B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，共有多少种进货方案？如果该经销商将购进的水果按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC．
(1)求证：△ABC∽△ADB．
(2)若AB=5，AC=3，求⊙O的半径．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴 正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0 )，∠ABC=45°
(1)求b、c的值；
(2)点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−2|=2，
∴2的相反数是−2．
故选：A．
相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：∵3x−6≥0，
∴x≥2，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
3500x=2500x−4，
故选：A．
根据单价比第一批每箱便宜了4元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
4.【答案】B
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC//DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°−30°=15°，
故选：B．
根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠ABC=45°，∠DBC=30°，据此可得∠ABD的度数．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=AD=CD=CB=4，∠D=∠A=∠ABC，
∴∠D=∠CBE=90°，
由翻折得CG=CE，GF=EF，CF垂直平分EG，
在Rt△CDG和Rt△CBE中，
CG=CECD=CB，
∴Rt△CDG≌Rt△CBE(HL)，
∴DG=BE=2，
∴AG=AD−DG=4−2=2，
∵AE=AB+BE=4+2=6，
∴EG= AG2+AE2= 22+62=2 10，
∵AG2+AF2=FG2，且AF=6−EF，
∴22+(6−EF)2=EF2，
解得EF=103，
∵12EG⋅FH=12EF⋅AG=S△EFG，
∴12×2 10FH=12×103×2，
解得FH= 103，
故选：B．
由翻折得CG=CE，GF=EF，CF垂直平分EG，可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△CDG≌Rt△CBE，得DG=BE=2，则AG=2，而AE=AB+BE=6，即可根据勾股定理求得EG=2 10，再由AG2+AF2=FG2，且AF=6−EF，得22+(6−EF)2=EF2，则EF=103，由12×2 10FH=12×103×2=S△EFG，求得FH= 103，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出EG和EF的长度是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，
∴AB=AC，OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠OBC=26°，
∴∠ABC=90°−26°=64°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=64°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=52°．
故选：B．
先根据切线长定理和切线的性质得到AB=AC，∠OBA=90°，则可计算出∠ABC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．利用一次函数图象的平移规律，得出y=kx+b解析式，逐项判定即可．
【解答】
解：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=x−1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于(−1,0)，错误；
C、直线y=x+1与y轴交于(0,1)，正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：∵数据−2，a，5，3，7有唯一的众数7，
∴a=7，
把这些数从小到大排列为−2，3，5，7，7，
则这组数据的中位数是5．
故选：C．
根据众数的定义先求出a的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．
9.【答案】D
【解析】解：∵AD=3BD，
∴ADBD=3，
∴ADAB=34，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=916，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积=1616−9×28=64，
故选：D．
先求出ADAB，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
10.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=12(180°−∠BAC)=30°，
∵AB=AB，
∴∠D=30°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AD=8，∠D=30°，
∴AB=12AD=4，
故选：A．
根据AB=AC，∠BAC=120°，得出∠C=30°，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠D=30°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】3 3
【解析】解：原式=2 3+ 3=3 3．
本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
12.【答案】3(m+1)(m−1)
【解析】解：3m2−3，
=3(m2−1)，
=3(m+1)(m−1)．
故答案为：3(m+1)(m−1)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】26−2π
【解析】解：∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OE=OF=OD，
∴四边形AEOF是正方形，
∴∠EOF=90°，OE=OF=12(AB+AC−BC)=12(5+12−13)=2，正方形AEOF的面积=22=4，
∴扇形EOF的面积=14×π×22=π，
∴扇形OEDF的面积=π×22−π=3π，
∵△ABC的面积=12AB×AC=12×5×12=30，
∴阴影部分的面积=30−(4−π)−3π=26−2π；
故答案为：26−2π．
由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠A=90°，证出四边形AEOF是正方形，得OE=OF=12(AB+AC−BC)=2，正方形AEOF的面积=22=4，求出扇形EOF的面积=π，得扇形OEDF的面积=3π，求出△ABC的面积=30，进而得出答案．
本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形内切圆半径=12(两条直角边的和−斜边长)是解题的关键．
14.【答案】512
【解析】解：连接AF，如图，
∵四边形ABCD为正方形，AB=15，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=15，
根据折叠的性质可得，AD=AD′=15，DE=DE′，∠D=∠AD′E=90°，
∴AB=AD′，∠AD′F=90°，
在Rt△ABF和Rt△AD′F中，
AB=AD′AF=AF′，
∴Rt△ABF≌Rt△AD′F(HL)，
∴BF=D′F，
∵DE=10，
∴D′E=DE=10，CE=CD−DE=15−10=5，
设BF=D′F=x，则CF=BC−BF=15−x，EF=D′E+D′F=10+x，
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2，
∴52+(15−x)2=(10+x)2，
解得：x=3，
∴BF=3，
∴CF=12，
∴tan∠EFC=CECF=512，
故答案为：512．
连接AF，由折叠可得AD=AD′=15，DE=DE′=10，∠D=∠AD′E=90°，易通过HL证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF=D′F，因此设BF=D′F=x，则CF=15−x，EF=10+x，在Rt△EFC中，利用勾股定理建立方程，即可求出BF，CF，再根据正切定义求解即可．
本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，利用HL定理证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF=D′F是解题关键．
15.【答案】4
【解析】解：设该树的高度为x m，
依题意得：x：2=6：3，
解得：x=4．
答：该树的高度为4m．
故答案为：4．
先设该树的高度为x m，根据同一地点，同一时刻物高与影长成正比例得x：2=6：3，由此解出x即可．
此题主要考查了平行投影，理解根据同一地点，同一时刻物高与影长成正比例是解决问题的关键．
16.【答案】105°
【解析】解：连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴E点为AC的中点，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴DE=CE=AE，
∴∠EDA=∠A=30°，
∵BD=CE，
∴BD=ED，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠EDA=∠DBE+∠DEB，
∴∠DBE=12∠ADE=15°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=15°+90°=105°．
故答案为：105°．
连接DE，如图，利用基本作图得到E点为AC的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE=CE=AE，则∠EDA=∠A=30°，再证明BD=ED得到∠DBE=∠DEB，然后根据三角形外角性质计算出∠DBE=15°，接着计算出∠BFC．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
17.【答案】8
【解析】解：∵弦BC⊥半径OA于点D，
∴BD=CD，
∴BC=2BD，
∵OB=OA=5cm，AD=2cm，
∴OD=OA−AD=5−2=3(cm)，
在Rt△OBD中，OB=5cm，OD=3cm，
由勾股定理得：BD= OB2−OD2=4(cm)，
∴BC=2BD=8(cm)．
故答案为：8．
由垂径定理得BC=2BD，在Rt△OBD中可由勾股定理求出BD=4cm，由此可得BC的长．
此题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决问题的关键．
18.【答案】(83,−2 23)
【解析】解：如图，连接OB，交MN于点Q，
∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，
∴QB=QO，MB=MO，
∵AB//CO，
∴∠ABQ=∠NOQ，
∵∠MQB=∠NQO，
而OQ=BQ，
∴△BQM≌△OQN(AAS)，
∴QM=QN，即点Q是MN的中点，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线，
则Rt△OHQ∽Rt△OCB，
则S△OHQS△OBC=(QHBC)2=14，
而S△OBC=12S矩形AOCB=4 2，
则S△OHQ=4 2×14= 2=12k，
解得k=2 2
∵点M是反比例函数上的点，
则S△AOM=12k= 2，
而S△ABO=12S矩形AOCB=4 2=4S△AOM，
故AM=14AB，
设AM=a，则BM=3a=OM，
则OA= OM2−AM2=2 2a，
则S△AOM= 2=12⋅AM⋅AO=12a⋅2 2a，
解得a=1，(负值已舍去)，
则AB=4AM=4，AM=a=1，
连接BN，作C′G⊥ON于G，
∵QO=BQ，QM=NQ，
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON=BN=OM，
∵OC′=BC=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON(HL)，
∴S△C′ON=S△AOM= 24，ON=OM=32，OC′=OA=2 2a= 2，
∴12ON⋅C′G= 24，
∴12×32×C′G= 24，
∴C′G=2 23，
∴OG= OC′2−C′G2= ( 2)2−( 23)2=83，
∴C′为(83,−2 23)，
故答案为：(83,−2 23).
利用△BQM≌△OQN(AAS)，得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到S△OHQS△OBC=(QHBC)2=14，求出k的值，设AM=a，则BM=3a=OM，求得OA=2 2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得OC′=BC=OA=2，ON=BN=OM=32，根据三角形面积求得C′G，再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标．
此题考查了翻折变换，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换−对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大．
19.【答案】解：(1)原式=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3；
(2)2(x+2)−x≤5①4x+13>x−1②，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−4，
所以原不等式组的解集为−4【解析】(1)分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
(2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
由图可得，点A′的坐标为(2,−1)．
(2)由勾股定理得，OB= 32+12= 10，OA= 22+12= 5，
∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为90π×( 10)2360−90π×( 5)2360=54π．
【解析】(1)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(2)利用勾股定理求出OB，OA的长，再利用扇形面积公式计算即可．
本题考查作图−旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE．
【解析】先证∠BAC=∠DAE，再证△ABC≌△ADE(ASA)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD．
∵DE//AC，AE//BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA=OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
【解析】利用DE//AC，AE//BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO=OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．
23.【答案】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD⋅tan∠CAD= 3AD，BD=AD⋅tan∠BAD= 33AD，
∴BC=CD−BD=2 33AD=30，
∴AD=15 3≈25.98(米)．
【解析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD= 3AD、BD= 33AD，再结合BC=30米即可求出AD的长度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD= 3AD、BD= 33AD是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，
根据题意得：2x+3y=690x+4y=720，
解得：x=120y=150．
答：A种水果每件的价格是120元，B种水果每件的价格是150元；
(2)设A种水果有x件，则B水果有(40−x)件，
由题意可得：x≤3(40−x)120x+150(40−x)≤5400，
解得：20≤x≤30，
∵x为正整数，
∴共有11种方案，
∵获利=(160−120)x+(200−150)(40−x)=40x+2000−50x=−10x+2000，
∴当x=20时，获利最多，
∴购进A种水果20件，B种水果20件时，获利最多．
【解析】(1)设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，由购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元．列出方程组，可求解；
(2)设A种水果有x件，则B水果有(40−x)件，由经销商计划用不超过5400元购进A、B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，列出不等式组，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25.【答案】证明：∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
而∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
26.【答案】(1)证明：连接OB，
∵AB与圆相切于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABC+∠CBO=90°，
∵CD是圆的直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠D+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠D=∠ABC，
∵∠CAB=∠BAD，
∴△ABC∽△ADB．
(2)解：∵△ABC∽△ADB，
∴AB：AD=AC：AB，
∵AB=5，AC=3，
∴5：AD=3：5，
∴AD=253，
∴CD=AD−AC=163，
∴⊙O的半径是12CD=83．
【解析】(1)连接OB，由切线的性质得到OB⊥AB，推出∠ABC+∠CBO=90°，由圆周角定理推出∠CBD=90°，得到∠D+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质推出∠OCB=∠OBC，由余角的性质推出∠D=∠ABC，而∠CAB=∠BAD，即可证明△ABC∽△ADB．
(2)由相似三角形的性质推出AB：AD=AC：AB，代入有关数据求出AD=253，得到CD=AD−AC=163，即可求出⊙O的半径长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由切线的性质，圆周角定理，余角的性质推出∠D=∠ABC，证明△ABC∽△ADB，得到AB：AD=AC：AB．
27.【答案】解：(1)在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是(0,3)，
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是(3,0)．
根据题意得：c=3−9+3b+c=0，
解得：c=3b=2；
(2)二次函数的解析式是y=−x2+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则n=33m+n=0，
解得m=−1n=3，
则直线BC的解析式是y=−x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=−x2+2x+3得y=−t2+2t+3，即P的纵坐标是−t2+2t+3，
把x=t代入y=−x+3，得y=−t+3，即Q的纵坐标是−t+3．
则PQ=(−t2+2t+3)−(−t+3)=−t2+3t，
则d= 2PQ，即d=− 2t2+3 2t；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是(−1,0)，P的坐标是(t,−t2+2t+3)，
∵在直角△PAK中，tan∠PAK=−t2+2t+3t+1=3−t，
在直角△AOD中，∠DAO=ODOA=OD1，
∴3−t=OD1，
∴OD=3−t，
∴CD=3−(3−t)=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=12CD=12t.
∵PH=MH+PM，
∴t=12t+(−t2+3t)．
∴t=52或0(舍去)．
∴PM=−(52)2+3×52=54，
PM=54，CM=5 24，PK=74．
∵二次函数的解析式是y=−x2+2x+3的顶点E的坐标是(1,4)．
∴点E到PM的距离是4−74=94，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC= 2，∠ECM=90°，
∴S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP=12× 2×5 24+12×54×94=8532．
【解析】(1)在y=kx+3中，令x=0，即可求得C的纵坐标，然后根据△OBC是等腰直角三角形求得B的坐标，利用待定系数法求得b和c的值；
(2)首先求得直线BC的解析式，则可求得P和N的纵坐标，则PN的长即可求得，然后根据△PMN是等腰直角三角形即可表示出MN的长；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K，过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM，在直角△OAD和直角△KAP中，利用三角函数即可列方程求得t的值，再根据S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在(3)中正确求得t的值是解题的关键．
1.|−2|的相反数是( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
2.若二次根式 3x−6有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x≥2C. x≥−2D. x≤2
3.某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品.首批柑橘成熟后，某电商用3500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用2500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价.设购进的第一批柑橘的单价为x元，根据题意可列方程为( )
A. 3500x=2500x−4B. 3500x=2500x+4C. 3500x−4=2500xD. 2500x=3500x+4
4.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
5.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE=2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是( )
A. 43
B. 103
C. 1
D. 53
6.如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC=26°，则∠A的度数为( )
A. 32°
B. 52°
C. 64°
D. 72°
7.已知：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A. 经过第一、二、四象限B. 与x轴交于(1,0)
C. 与y轴交于(0,1)D. y随x的增大而减小
8.一组数据−2，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是( )
A. −2B. 3C. 5D. 7
9.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE//BC，AD=3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为( )
A. 61
B. 62
C. 63
D. 64
10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=120°，AD为⊙O的直径，AD=8，那么AB的值为( )
A. 4
B. 4 3
C. 2 3
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算： 12+ 3=______．
12.分解因式：3m2−3= ．
13.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．
14.如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD′E，延长ED′，交BC于点F.若AB=15，DE=10，则tan∠EFC的值是______．
15.为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根6m高的灯柱的影长为3m，在同一时刻，他们测得树的影长为2m，则该树的高度为______m.
16.如图，在△ABC中，∠A=30°，分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD=AE，则∠BFC的度数为______．
17.如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，连接OB.若OB=5cm，AD=2cm，则BC的长是______cm．
18.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=8 2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好过MN的中点，则点C′的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算： 4+2sin45°−(π−3)0+| 2−2|．
(2)解不等式组：2(x+2)−x≤5①4x+13>x−1②．
20.(本小题6分)
如图，平面直角坐标系xOy在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是A(−1,−2)，B(−3,−1)，C(−2,2)．
(1)把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出点A′的坐标；
(2)在(1)的基础上，求线段AB在旋转过程中扫过的面积．
21.(本小题6分)
如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC=DE．
22.(本小题6分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE//AC，AE//BD，连接OE.求证：OE⊥AD．
23.(本小题6分)
小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
24.(本小题8分)
暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国，某经销商计划购进A、B两种水果.已知购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元．
(1)A、B两种水果每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A、B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，共有多少种进货方案？如果该经销商将购进的水果按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC．
(1)求证：△ABC∽△ADB．
(2)若AB=5，AC=3，求⊙O的半径．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴 正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0 )，∠ABC=45°
(1)求b、c的值；
(2)点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−2|=2，
∴2的相反数是−2．
故选：A．
相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：∵3x−6≥0，
∴x≥2，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
3500x=2500x−4，
故选：A．
根据单价比第一批每箱便宜了4元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
4.【答案】B
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC//DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°−30°=15°，
故选：B．
根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠ABC=45°，∠DBC=30°，据此可得∠ABD的度数．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=AD=CD=CB=4，∠D=∠A=∠ABC，
∴∠D=∠CBE=90°，
由翻折得CG=CE，GF=EF，CF垂直平分EG，
在Rt△CDG和Rt△CBE中，
CG=CECD=CB，
∴Rt△CDG≌Rt△CBE(HL)，
∴DG=BE=2，
∴AG=AD−DG=4−2=2，
∵AE=AB+BE=4+2=6，
∴EG= AG2+AE2= 22+62=2 10，
∵AG2+AF2=FG2，且AF=6−EF，
∴22+(6−EF)2=EF2，
解得EF=103，
∵12EG⋅FH=12EF⋅AG=S△EFG，
∴12×2 10FH=12×103×2，
解得FH= 103，
故选：B．
由翻折得CG=CE，GF=EF，CF垂直平分EG，可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△CDG≌Rt△CBE，得DG=BE=2，则AG=2，而AE=AB+BE=6，即可根据勾股定理求得EG=2 10，再由AG2+AF2=FG2，且AF=6−EF，得22+(6−EF)2=EF2，则EF=103，由12×2 10FH=12×103×2=S△EFG，求得FH= 103，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出EG和EF的长度是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，
∴AB=AC，OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠OBC=26°，
∴∠ABC=90°−26°=64°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=64°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=52°．
故选：B．
先根据切线长定理和切线的性质得到AB=AC，∠OBA=90°，则可计算出∠ABC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．利用一次函数图象的平移规律，得出y=kx+b解析式，逐项判定即可．
【解答】
解：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=x−1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于(−1,0)，错误；
C、直线y=x+1与y轴交于(0,1)，正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：∵数据−2，a，5，3，7有唯一的众数7，
∴a=7，
把这些数从小到大排列为−2，3，5，7，7，
则这组数据的中位数是5．
故选：C．
根据众数的定义先求出a的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．
9.【答案】D
【解析】解：∵AD=3BD，
∴ADBD=3，
∴ADAB=34，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=916，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积=1616−9×28=64，
故选：D．
先求出ADAB，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
10.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=12(180°−∠BAC)=30°，
∵AB=AB，
∴∠D=30°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AD=8，∠D=30°，
∴AB=12AD=4，
故选：A．
根据AB=AC，∠BAC=120°，得出∠C=30°，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠D=30°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】3 3
【解析】解：原式=2 3+ 3=3 3．
本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
12.【答案】3(m+1)(m−1)
【解析】解：3m2−3，
=3(m2−1)，
=3(m+1)(m−1)．
故答案为：3(m+1)(m−1)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】26−2π
【解析】解：∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OE=OF=OD，
∴四边形AEOF是正方形，
∴∠EOF=90°，OE=OF=12(AB+AC−BC)=12(5+12−13)=2，正方形AEOF的面积=22=4，
∴扇形EOF的面积=14×π×22=π，
∴扇形OEDF的面积=π×22−π=3π，
∵△ABC的面积=12AB×AC=12×5×12=30，
∴阴影部分的面积=30−(4−π)−3π=26−2π；
故答案为：26−2π．
由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠A=90°，证出四边形AEOF是正方形，得OE=OF=12(AB+AC−BC)=2，正方形AEOF的面积=22=4，求出扇形EOF的面积=π，得扇形OEDF的面积=3π，求出△ABC的面积=30，进而得出答案．
本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形内切圆半径=12(两条直角边的和−斜边长)是解题的关键．
14.【答案】512
【解析】解：连接AF，如图，
∵四边形ABCD为正方形，AB=15，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=15，
根据折叠的性质可得，AD=AD′=15，DE=DE′，∠D=∠AD′E=90°，
∴AB=AD′，∠AD′F=90°，
在Rt△ABF和Rt△AD′F中，
AB=AD′AF=AF′，
∴Rt△ABF≌Rt△AD′F(HL)，
∴BF=D′F，
∵DE=10，
∴D′E=DE=10，CE=CD−DE=15−10=5，
设BF=D′F=x，则CF=BC−BF=15−x，EF=D′E+D′F=10+x，
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2，
∴52+(15−x)2=(10+x)2，
解得：x=3，
∴BF=3，
∴CF=12，
∴tan∠EFC=CECF=512，
故答案为：512．
连接AF，由折叠可得AD=AD′=15，DE=DE′=10，∠D=∠AD′E=90°，易通过HL证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF=D′F，因此设BF=D′F=x，则CF=15−x，EF=10+x，在Rt△EFC中，利用勾股定理建立方程，即可求出BF，CF，再根据正切定义求解即可．
本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，利用HL定理证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF=D′F是解题关键．
15.【答案】4
【解析】解：设该树的高度为x m，
依题意得：x：2=6：3，
解得：x=4．
答：该树的高度为4m．
故答案为：4．
先设该树的高度为x m，根据同一地点，同一时刻物高与影长成正比例得x：2=6：3，由此解出x即可．
此题主要考查了平行投影，理解根据同一地点，同一时刻物高与影长成正比例是解决问题的关键．
16.【答案】105°
【解析】解：连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴E点为AC的中点，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴DE=CE=AE，
∴∠EDA=∠A=30°，
∵BD=CE，
∴BD=ED，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠EDA=∠DBE+∠DEB，
∴∠DBE=12∠ADE=15°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=15°+90°=105°．
故答案为：105°．
连接DE，如图，利用基本作图得到E点为AC的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE=CE=AE，则∠EDA=∠A=30°，再证明BD=ED得到∠DBE=∠DEB，然后根据三角形外角性质计算出∠DBE=15°，接着计算出∠BFC．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
17.【答案】8
【解析】解：∵弦BC⊥半径OA于点D，
∴BD=CD，
∴BC=2BD，
∵OB=OA=5cm，AD=2cm，
∴OD=OA−AD=5−2=3(cm)，
在Rt△OBD中，OB=5cm，OD=3cm，
由勾股定理得：BD= OB2−OD2=4(cm)，
∴BC=2BD=8(cm)．
故答案为：8．
由垂径定理得BC=2BD，在Rt△OBD中可由勾股定理求出BD=4cm，由此可得BC的长．
此题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决问题的关键．
18.【答案】(83,−2 23)
【解析】解：如图，连接OB，交MN于点Q，
∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，
∴QB=QO，MB=MO，
∵AB//CO，
∴∠ABQ=∠NOQ，
∵∠MQB=∠NQO，
而OQ=BQ，
∴△BQM≌△OQN(AAS)，
∴QM=QN，即点Q是MN的中点，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线，
则Rt△OHQ∽Rt△OCB，
则S△OHQS△OBC=(QHBC)2=14，
而S△OBC=12S矩形AOCB=4 2，
则S△OHQ=4 2×14= 2=12k，
解得k=2 2
∵点M是反比例函数上的点，
则S△AOM=12k= 2，
而S△ABO=12S矩形AOCB=4 2=4S△AOM，
故AM=14AB，
设AM=a，则BM=3a=OM，
则OA= OM2−AM2=2 2a，
则S△AOM= 2=12⋅AM⋅AO=12a⋅2 2a，
解得a=1，(负值已舍去)，
则AB=4AM=4，AM=a=1，
连接BN，作C′G⊥ON于G，
∵QO=BQ，QM=NQ，
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON=BN=OM，
∵OC′=BC=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON(HL)，
∴S△C′ON=S△AOM= 24，ON=OM=32，OC′=OA=2 2a= 2，
∴12ON⋅C′G= 24，
∴12×32×C′G= 24，
∴C′G=2 23，
∴OG= OC′2−C′G2= ( 2)2−( 23)2=83，
∴C′为(83,−2 23)，
故答案为：(83,−2 23).
利用△BQM≌△OQN(AAS)，得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到S△OHQS△OBC=(QHBC)2=14，求出k的值，设AM=a，则BM=3a=OM，求得OA=2 2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得OC′=BC=OA=2，ON=BN=OM=32，根据三角形面积求得C′G，再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标．
此题考查了翻折变换，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换−对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大．
19.【答案】解：(1)原式=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3；
(2)2(x+2)−x≤5①4x+13>x−1②，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−4，
所以原不等式组的解集为−4
(2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
由图可得，点A′的坐标为(2,−1)．
(2)由勾股定理得，OB= 32+12= 10，OA= 22+12= 5，
∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为90π×( 10)2360−90π×( 5)2360=54π．
【解析】(1)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(2)利用勾股定理求出OB，OA的长，再利用扇形面积公式计算即可．
本题考查作图−旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE．
【解析】先证∠BAC=∠DAE，再证△ABC≌△ADE(ASA)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD．
∵DE//AC，AE//BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA=OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
【解析】利用DE//AC，AE//BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO=OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．
23.【答案】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD⋅tan∠CAD= 3AD，BD=AD⋅tan∠BAD= 33AD，
∴BC=CD−BD=2 33AD=30，
∴AD=15 3≈25.98(米)．
【解析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD= 3AD、BD= 33AD，再结合BC=30米即可求出AD的长度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD= 3AD、BD= 33AD是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，
根据题意得：2x+3y=690x+4y=720，
解得：x=120y=150．
答：A种水果每件的价格是120元，B种水果每件的价格是150元；
(2)设A种水果有x件，则B水果有(40−x)件，
由题意可得：x≤3(40−x)120x+150(40−x)≤5400，
解得：20≤x≤30，
∵x为正整数，
∴共有11种方案，
∵获利=(160−120)x+(200−150)(40−x)=40x+2000−50x=−10x+2000，
∴当x=20时，获利最多，
∴购进A种水果20件，B种水果20件时，获利最多．
【解析】(1)设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，由购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元．列出方程组，可求解；
(2)设A种水果有x件，则B水果有(40−x)件，由经销商计划用不超过5400元购进A、B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，列出不等式组，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25.【答案】证明：∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
而∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
26.【答案】(1)证明：连接OB，
∵AB与圆相切于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABC+∠CBO=90°，
∵CD是圆的直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠D+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠D=∠ABC，
∵∠CAB=∠BAD，
∴△ABC∽△ADB．
(2)解：∵△ABC∽△ADB，
∴AB：AD=AC：AB，
∵AB=5，AC=3，
∴5：AD=3：5，
∴AD=253，
∴CD=AD−AC=163，
∴⊙O的半径是12CD=83．
【解析】(1)连接OB，由切线的性质得到OB⊥AB，推出∠ABC+∠CBO=90°，由圆周角定理推出∠CBD=90°，得到∠D+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质推出∠OCB=∠OBC，由余角的性质推出∠D=∠ABC，而∠CAB=∠BAD，即可证明△ABC∽△ADB．
(2)由相似三角形的性质推出AB：AD=AC：AB，代入有关数据求出AD=253，得到CD=AD−AC=163，即可求出⊙O的半径长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由切线的性质，圆周角定理，余角的性质推出∠D=∠ABC，证明△ABC∽△ADB，得到AB：AD=AC：AB．
27.【答案】解：(1)在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是(0,3)，
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是(3,0)．
根据题意得：c=3−9+3b+c=0，
解得：c=3b=2；
(2)二次函数的解析式是y=−x2+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则n=33m+n=0，
解得m=−1n=3，
则直线BC的解析式是y=−x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=−x2+2x+3得y=−t2+2t+3，即P的纵坐标是−t2+2t+3，
把x=t代入y=−x+3，得y=−t+3，即Q的纵坐标是−t+3．
则PQ=(−t2+2t+3)−(−t+3)=−t2+3t，
则d= 2PQ，即d=− 2t2+3 2t；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是(−1,0)，P的坐标是(t,−t2+2t+3)，
∵在直角△PAK中，tan∠PAK=−t2+2t+3t+1=3−t，
在直角△AOD中，∠DAO=ODOA=OD1，
∴3−t=OD1，
∴OD=3−t，
∴CD=3−(3−t)=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=12CD=12t.
∵PH=MH+PM，
∴t=12t+(−t2+3t)．
∴t=52或0(舍去)．
∴PM=−(52)2+3×52=54，
PM=54，CM=5 24，PK=74．
∵二次函数的解析式是y=−x2+2x+3的顶点E的坐标是(1,4)．
∴点E到PM的距离是4−74=94，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC= 2，∠ECM=90°，
∴S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP=12× 2×5 24+12×54×94=8532．
【解析】(1)在y=kx+3中，令x=0，即可求得C的纵坐标，然后根据△OBC是等腰直角三角形求得B的坐标，利用待定系数法求得b和c的值；
(2)首先求得直线BC的解析式，则可求得P和N的纵坐标，则PN的长即可求得，然后根据△PMN是等腰直角三角形即可表示出MN的长；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K，过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM，在直角△OAD和直角△KAP中，利用三角函数即可列方程求得t的值，再根据S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在(3)中正确求得t的值是解题的关键．
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