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2024年甘肃省武威市古浪三中教研联片中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省武威市古浪三中教研联片中考数学三模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.|−2|的相反数是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.数轴上，有理数a、b、−a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c−b|的结果为( )
A. 2a+2cB. 2a+2bC. 2c−2bD. 0
3.如图，直线a，b被第三条直线c所截．由“∠1=∠2”，得到“a//b”的依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 内错角相等，两直线平行
4.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
5.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
6.如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点E(2,4)，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为( )
A. 4B. 4 2C. 5D. 5 2
7.如图，AB是⊙O一条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC.若AB=2，BC=1，则AC的长为( )
A. 23 5
B. 34 5
C. 35 5
D. 57 5
8.如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=2：1，且BF=3.则DF的长为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
9.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=( )
A. 92
B. 274
C. 245
D. 12
10.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是( )
A. 5
B. 5 3
C. 10−5 3
D. 15−5 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用科学记数法表示为______．
12.计算： 4− 9= ______．
13.关于x的不等式组3x−1>4x−1x14.已知一个n边形的内角和等于1980°，则n= ．
15.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
16.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且BC=CD，∠CAB=25°，P为ABC上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为______．
17.若|b−1|+ a−4=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是______．
18.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE//AC，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE：S△CDE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)解方程：x2−6x=0；
(2)计算：2sin60°+| 3−2 2|−cs45°．
20.(本小题4分)
在如图所示的12个小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上.仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
(1)在图1网格中找格点D，作射线BD，使得∠ABD=∠CBD；
(2)在图2网格中找格点E，作直线BE交AC于点Q，使得AQ=AB．
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF//AB交ED的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF．
22.(本小题8分)
在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
(1)计算摸取的两张纸牌上数字之和为5的概率；
(2)甲、乙两人进行游戏，如果摸取的两张纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果摸取的两张纸牌上数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
23.(本小题8分)
如图，一架遥控无人机在点A处测得某高楼顶点B的仰角为60°，同时测得其底部点C的俯角为30°，点A与点B的距离为60米，求这栋楼高BC的长．
24.(本小题8分)
如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF.现计划在四边形AECF区域内种植花草．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)求四边形AECF的面积．
25.(本小题6分)
某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
(1)求证：BD=DE；
(2)若∠ABC=60°，AB=2，求阴影部分弓形的面积．
27.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x1<0，x2>0，与y轴交于点C，顶点为P.(提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca)
(1)求m的取值范围；
(2)若OA=3OB，求抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2，2的相反数是−2．
故选：A．
相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质，学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】C
【解析】解：由图可知a<0∴a+c>0，a+b<0，c−b>0，
∴|a+c|+|a+b|+|c−b|=a+c−a−b+c−b=2c−2b．
故选：C．
根据数轴上a、b、−a、c的位置去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
本题考查的是整式的加减，数轴，绝对值，熟知整式的加减法则和绝对值的性质是解答此题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
由内错角相等，两直线平行，即可得出结论．
【解答】
解：∵∠1=∠2，
∴a//b(内错角相等，两直线平行)，
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不为0，进而得出答案．
【解答】
解：∵分式x2−1x−1的值为0，
∴x2−1=0，且x−1≠0，
解得：x=−1．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC=2EF=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24，
故选：A．
由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：把E(2,4)代入y=ax2中得4=4a，
解得a=1，
∴y=x2，
∵点E(2,4)，四边形CDFE为正方形，
∴CD=CE=4，
设点A横坐标为m，则A(m,8)，
代入y=x2得m2=8，
解得m=2 2或m=−2 2(舍去)．
∴AB=2m=4 2．
故选：B．
通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD=CE=4，从而得出A的纵坐标为8，设点A坐标为(m,8)，将点坐标代入解析式求解．
题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
7.【答案】C
【解析】解：延长AC交⊙O于点D，连接BD，过B点作BE⊥AD于E点，如图，
∵劣弧沿弦AB翻折，AD交翻折后的弧于点C，
而BC和BD都对∠BAD，
∴BC=BD，
∴BC=BD=1，
∵BE⊥CD，
∴CE=DE，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AD= BD2+AB2= 12+22= 5，
∵12BE⋅AD=12AB⋅BD，
∴BE=1×2 5=2 55，
在Rt△BDE中，DE= BD2−BE2= 12−(2 55)2= 55，
∴CD=2DE=2 55，
∴AC=AD−CD= 5−2 55=3 55．
故选：C．
延长AC交⊙O于点D，连接BD，过B点作BE⊥AD于E点，如图，利用折叠的性质可判断BC和BD所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到BC=BD，所以BC=BD=1，再利用等腰三角形的性质得到CE=DE，接着根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用勾股定理可计算出AD= 5，于是利用面积法可计算出BE=2 55，然后利用搞定了计算出DE= 55，所以CD=2 55，最后计算AD−CD即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BFDF=BECD=BEAB，
∵AE：BE=2：1，
∴BEAB=13，
∴BFDF=BEAB=13，
∵BF=3，
∴DF=3BF=9，
故选：C．
由平行四边形的性质可得AB//CD，AB=CD，可证△BEF∽△DCF，由三角形相似的性质，结合AE：BE=2：1，可得BFDF=BEAB=13，进而求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为(a,b)，
∵BD=3AD，
∴D(a4,b)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴ab4=k，∴E(a,ka)，
∵S△ODE=S矩形OCBA−S△AOD−S△OCE−S△BDE=ab−12⋅ab4−12k−12⋅3a4⋅(b−ka)=9，
∴k=245，
故选：C．
所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
10.【答案】D
【解析】解：过点B作BM⊥ED于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=10·tan60°=10 3，
∵AB//CF，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BM=BC·sin30°=10 3×12=5 3，
CM=BC·cs30°=10 3× 32=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5 3，
∴CD=CM−MD=15−5 3．
故选：D．
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
11.【答案】1.49×108
【解析】解：将149 000000用科学记数法表示为1.49×108．
故答案为：1.49×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】
解：原式=2−3
=−1．
故答案为：−1．
13.【答案】m≥3
【解析】解：3x−1>4x−1①x解①得x<3，
∵不等式组的解集是x<3，
∴m≥3．
故答案是：m≥3．
首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集即可确定m的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)·180°．
根据n边形的内角和为(n−2)·180°得到(n−2)·180°=1980°，然后解方程即可求解．
【解答】
解：n边形的内角和为(n−2)·180°，
则(n−2)·180°=1980°，
解得n=13．
故答案为：13．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF=12DN，然后结合图形解答即可．
【解答】
解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，
∴BD= AD2+AB2= 22+(2 3)2=4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF=12DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
16.【答案】40°或70°或100°
【解析】解：∵BC=CD，∠CAB=25°，
∴∠CAD=∠CAB=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=40°，
当△CDM为等腰三角形时，
①当MD=MC时，∠PDC=∠C=40°，
②当CD=CM时，∠PDC=180°−40°2=70°，
③当DM=DC时，∠PDC=180°−2×40°=100°，
故答案为：40°或70°或100°．
根据BC=CD，∠CAB=25°，得∠CAD=∠CAB=25°，由AB是⊙O的直径，得∠C=40°，然后分三种情况讨论即可求出答案．
本题主要考查了圆周角定理，关键是求出∠C的度数和分三种情况讨论求角．
17.【答案】k≤4且k≠0
【解析】解：∵|b−1|+ a−4=0，
∴b=1，a=4，
∴原方程为kx2+4x+1=0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△=16−4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于k的不等式是解题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：∵DE//AC，
∴△DOE∽△COA，
∴S△DOES△COA=(DECA)2=125，
∴DECA=15，
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDBA=DECA=15，
∴BDDA=14，
∴S△BDES△ADE=BDDA=14，
故答案为14．
由DE//AC，可判定△DOE∽△COA，△BDE∽△BAC，再根据相似三角形的性质及等高三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−6x=0，
∴x(x−6)=0，
∴x=0，x−6=0，
∴x1=0，x2=6．
(2)2sin60°+| 3−2 2|−cs45°
=2× 32+2 2− 3− 22
= 3+2 2− 3− 22
=3 22．
【解析】(1)移项后运用因式分解法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)代入各个特殊值，再根据实数的混合运算法则求出即可．
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的计算能力．
20.【答案】解：如下图：
(1)作∠ABC的平分线，平分线上的格点即为所求的点D；
(2)取格点E，连接BE，
则△ABQ～△CEQ，
∴AQ=45AC=4=AB，
∴点Q即为所求．
【解析】(1)根据90°的一半是45°及网格线的特点作图；
(2)根据相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及相似三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：∵CF//AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
∠BED=∠F∠B=∠FCDBD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
【解析】根据平行线的性质得出∠B=∠FCD，∠BED=∠F，根据中点的定义得出BD=CD，即可利用AAS判定△BDE≌△CDF．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)依题意画树状图如下；
∴随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为5的情况共有4种，
∵412=13，
∴两次摸取纸牌上数字之和为5的概率为13；
(2)这个游戏不公平，理由如下；
由(1)可知，随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为奇数的情况有8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种，
∴甲胜的概率=812=23，乙胜的概率=412=13，
∵23>13，
∴甲胜的概率大于乙胜的概率，这不是个公平的游戏．
【解析】(1)根据题意画树状图，然后求概率即可；
(2)根据树状图确定数字之和为奇数和偶数的概率，然后判断作答即可．
本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
23.【答案】解：由已知条件得：∠ABC=30°，
∠BAC=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，cs∠ABC=ABBC，
∴BC=ABcs∠ABC=ABcs30∘=60 32=40 3(米)，
答：这栋楼高BC的长为40 3米．
【解析】根据解直角三角形的知识进行解答即可．
本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，12AE⋅BD=12CF⋅BD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，
∵AB=2，
∴AH=1，BH= AB2−AH2= 3，
∴DH=AH+AD=1+4=5，
∴BD= DH2+BH2=2 7，
∵S△ABD=12BD⋅AE=12AD⋅BH，
即12×2 7×AE=12×4× 3，
解得：AE=2 217，
∴BE= AB2−AE2=4 77，
同理：DF=BE=4 77，
∴EF=BD−BE−DF=6 77，
∴S四边形AECF=EF⋅AE=12 37．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABD=S△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得AE//CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形；
(2)首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25.【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x(1+x)=121，
∴x=10或x=−12(不合题意，舍去)．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有(x+1)人患了流感，第二轮有x(x+1)人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．
此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
26.【答案】解：(1)如图，连接AD，
∵以腰AB为直径画半圆O，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵△ABC为等腰三角形，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACB，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴CD=DE，
∴BD=DE；
(2)如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F，
∵AB=2，
∴OA=OB=1，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，OA=AE=1，OF= 32，
∴S阴影=S扇形AOE−S△AOE=60×π×12360−12×1× 32=π6− 34．
【解析】(1)连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一可知BD=CD，再根据四点共圆可得∠DEC=∠ABC，进而得到∠DEC=∠ACB，则CD=DE，以此即可证明BD=DE；
(2)易得△ABC为等边三角形，△AOE为等边三角形，则S阴影=S扇形AOE−S△AOE，代入计算即可求解．
本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，解题关键是：(1)根据直径所对圆周角为90°得到BD=CD，再根据四点共圆性质即可解决问题；(2)熟练掌握扇形的面积公式．
27.【答案】解：(1)令y=0，则有−x2−2x+m+1=0，
即：x1，x2是一元二次方程x2+2x−(m+1)=0，
∵抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，
∴x1⋅x2=−(m+1)，x1+x2=−2，
△=4+4(m+1)>0，
∴m>−2
∵x1<0，x2>0，
∴x1⋅x2<0，
∴−(m+1)<0，
∴m>−1，
即：m>−1；
(2)∵A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x1<0，x2>0，
∴OA=−x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴−x1=3x2，①
由(1)知，x1+x2=−2，②
x1⋅x2=−(m+1)，③
联立①②③得，x1=−3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=−x2−2x+3；
(3)存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，(∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，)
连接BQ，
由(2)知，抛物线的解析式y=−x2−2x+3；x1=−3，
∴抛物线的对称轴PD为x=−1，C(0,3)，A(−3,0)，
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=−1时，y=2，
∴Q(−1,2)，
∴点Q(−1,2)使得△BQC的周长最短．
【解析】(1)将抛物线的问题转化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决；
(2)先用一元二次方程的两根表示出OA，OB，再用根与系数的关系即可；
(3)先由于点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，连接AC与PD的交点就是使△BQC的周长最短，然后确定出直线AC解析式，最后将抛物线的对称轴代入直线AC解析式中即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，极值的确定，解本题的关键是将函数问题转化到一元二次方程中去，此种方法是解二次函数中求与线段长度有关的题目中常用的方法．
1.|−2|的相反数是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.数轴上，有理数a、b、−a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c−b|的结果为( )
A. 2a+2cB. 2a+2bC. 2c−2bD. 0
3.如图，直线a，b被第三条直线c所截．由“∠1=∠2”，得到“a//b”的依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 内错角相等，两直线平行
4.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
5.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
6.如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点E(2,4)，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为( )
A. 4B. 4 2C. 5D. 5 2
7.如图，AB是⊙O一条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC.若AB=2，BC=1，则AC的长为( )
A. 23 5
B. 34 5
C. 35 5
D. 57 5
8.如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=2：1，且BF=3.则DF的长为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
9.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=( )
A. 92
B. 274
C. 245
D. 12
10.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是( )
A. 5
B. 5 3
C. 10−5 3
D. 15−5 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用科学记数法表示为______．
12.计算： 4− 9= ______．
13.关于x的不等式组3x−1>4x−1x
15.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
16.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且BC=CD，∠CAB=25°，P为ABC上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为______．
17.若|b−1|+ a−4=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是______．
18.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE//AC，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE：S△CDE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)解方程：x2−6x=0；
(2)计算：2sin60°+| 3−2 2|−cs45°．
20.(本小题4分)
在如图所示的12个小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上.仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
(1)在图1网格中找格点D，作射线BD，使得∠ABD=∠CBD；
(2)在图2网格中找格点E，作直线BE交AC于点Q，使得AQ=AB．
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF//AB交ED的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF．
22.(本小题8分)
在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
(1)计算摸取的两张纸牌上数字之和为5的概率；
(2)甲、乙两人进行游戏，如果摸取的两张纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果摸取的两张纸牌上数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
23.(本小题8分)
如图，一架遥控无人机在点A处测得某高楼顶点B的仰角为60°，同时测得其底部点C的俯角为30°，点A与点B的距离为60米，求这栋楼高BC的长．
24.(本小题8分)
如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF.现计划在四边形AECF区域内种植花草．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)求四边形AECF的面积．
25.(本小题6分)
某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
(1)求证：BD=DE；
(2)若∠ABC=60°，AB=2，求阴影部分弓形的面积．
27.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x1<0，x2>0，与y轴交于点C，顶点为P.(提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca)
(1)求m的取值范围；
(2)若OA=3OB，求抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2，2的相反数是−2．
故选：A．
相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质，学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】C
【解析】解：由图可知a<0
∴|a+c|+|a+b|+|c−b|=a+c−a−b+c−b=2c−2b．
故选：C．
根据数轴上a、b、−a、c的位置去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
本题考查的是整式的加减，数轴，绝对值，熟知整式的加减法则和绝对值的性质是解答此题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
由内错角相等，两直线平行，即可得出结论．
【解答】
解：∵∠1=∠2，
∴a//b(内错角相等，两直线平行)，
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不为0，进而得出答案．
【解答】
解：∵分式x2−1x−1的值为0，
∴x2−1=0，且x−1≠0，
解得：x=−1．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC=2EF=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24，
故选：A．
由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：把E(2,4)代入y=ax2中得4=4a，
解得a=1，
∴y=x2，
∵点E(2,4)，四边形CDFE为正方形，
∴CD=CE=4，
设点A横坐标为m，则A(m,8)，
代入y=x2得m2=8，
解得m=2 2或m=−2 2(舍去)．
∴AB=2m=4 2．
故选：B．
通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD=CE=4，从而得出A的纵坐标为8，设点A坐标为(m,8)，将点坐标代入解析式求解．
题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
7.【答案】C
【解析】解：延长AC交⊙O于点D，连接BD，过B点作BE⊥AD于E点，如图，
∵劣弧沿弦AB翻折，AD交翻折后的弧于点C，
而BC和BD都对∠BAD，
∴BC=BD，
∴BC=BD=1，
∵BE⊥CD，
∴CE=DE，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AD= BD2+AB2= 12+22= 5，
∵12BE⋅AD=12AB⋅BD，
∴BE=1×2 5=2 55，
在Rt△BDE中，DE= BD2−BE2= 12−(2 55)2= 55，
∴CD=2DE=2 55，
∴AC=AD−CD= 5−2 55=3 55．
故选：C．
延长AC交⊙O于点D，连接BD，过B点作BE⊥AD于E点，如图，利用折叠的性质可判断BC和BD所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到BC=BD，所以BC=BD=1，再利用等腰三角形的性质得到CE=DE，接着根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用勾股定理可计算出AD= 5，于是利用面积法可计算出BE=2 55，然后利用搞定了计算出DE= 55，所以CD=2 55，最后计算AD−CD即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BFDF=BECD=BEAB，
∵AE：BE=2：1，
∴BEAB=13，
∴BFDF=BEAB=13，
∵BF=3，
∴DF=3BF=9，
故选：C．
由平行四边形的性质可得AB//CD，AB=CD，可证△BEF∽△DCF，由三角形相似的性质，结合AE：BE=2：1，可得BFDF=BEAB=13，进而求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为(a,b)，
∵BD=3AD，
∴D(a4,b)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴ab4=k，∴E(a,ka)，
∵S△ODE=S矩形OCBA−S△AOD−S△OCE−S△BDE=ab−12⋅ab4−12k−12⋅3a4⋅(b−ka)=9，
∴k=245，
故选：C．
所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
10.【答案】D
【解析】解：过点B作BM⊥ED于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=10·tan60°=10 3，
∵AB//CF，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BM=BC·sin30°=10 3×12=5 3，
CM=BC·cs30°=10 3× 32=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5 3，
∴CD=CM−MD=15−5 3．
故选：D．
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
11.【答案】1.49×108
【解析】解：将149 000000用科学记数法表示为1.49×108．
故答案为：1.49×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】
解：原式=2−3
=−1．
故答案为：−1．
13.【答案】m≥3
【解析】解：3x−1>4x−1①x
∵不等式组的解集是x<3，
∴m≥3．
故答案是：m≥3．
首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集即可确定m的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)·180°．
根据n边形的内角和为(n−2)·180°得到(n−2)·180°=1980°，然后解方程即可求解．
【解答】
解：n边形的内角和为(n−2)·180°，
则(n−2)·180°=1980°，
解得n=13．
故答案为：13．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF=12DN，然后结合图形解答即可．
【解答】
解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，
∴BD= AD2+AB2= 22+(2 3)2=4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF=12DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
16.【答案】40°或70°或100°
【解析】解：∵BC=CD，∠CAB=25°，
∴∠CAD=∠CAB=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=40°，
当△CDM为等腰三角形时，
①当MD=MC时，∠PDC=∠C=40°，
②当CD=CM时，∠PDC=180°−40°2=70°，
③当DM=DC时，∠PDC=180°−2×40°=100°，
故答案为：40°或70°或100°．
根据BC=CD，∠CAB=25°，得∠CAD=∠CAB=25°，由AB是⊙O的直径，得∠C=40°，然后分三种情况讨论即可求出答案．
本题主要考查了圆周角定理，关键是求出∠C的度数和分三种情况讨论求角．
17.【答案】k≤4且k≠0
【解析】解：∵|b−1|+ a−4=0，
∴b=1，a=4，
∴原方程为kx2+4x+1=0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△=16−4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于k的不等式是解题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：∵DE//AC，
∴△DOE∽△COA，
∴S△DOES△COA=(DECA)2=125，
∴DECA=15，
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDBA=DECA=15，
∴BDDA=14，
∴S△BDES△ADE=BDDA=14，
故答案为14．
由DE//AC，可判定△DOE∽△COA，△BDE∽△BAC，再根据相似三角形的性质及等高三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−6x=0，
∴x(x−6)=0，
∴x=0，x−6=0，
∴x1=0，x2=6．
(2)2sin60°+| 3−2 2|−cs45°
=2× 32+2 2− 3− 22
= 3+2 2− 3− 22
=3 22．
【解析】(1)移项后运用因式分解法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)代入各个特殊值，再根据实数的混合运算法则求出即可．
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的计算能力．
20.【答案】解：如下图：
(1)作∠ABC的平分线，平分线上的格点即为所求的点D；
(2)取格点E，连接BE，
则△ABQ～△CEQ，
∴AQ=45AC=4=AB，
∴点Q即为所求．
【解析】(1)根据90°的一半是45°及网格线的特点作图；
(2)根据相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及相似三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：∵CF//AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
∠BED=∠F∠B=∠FCDBD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
【解析】根据平行线的性质得出∠B=∠FCD，∠BED=∠F，根据中点的定义得出BD=CD，即可利用AAS判定△BDE≌△CDF．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)依题意画树状图如下；
∴随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为5的情况共有4种，
∵412=13，
∴两次摸取纸牌上数字之和为5的概率为13；
(2)这个游戏不公平，理由如下；
由(1)可知，随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为奇数的情况有8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种，
∴甲胜的概率=812=23，乙胜的概率=412=13，
∵23>13，
∴甲胜的概率大于乙胜的概率，这不是个公平的游戏．
【解析】(1)根据题意画树状图，然后求概率即可；
(2)根据树状图确定数字之和为奇数和偶数的概率，然后判断作答即可．
本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
23.【答案】解：由已知条件得：∠ABC=30°，
∠BAC=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，cs∠ABC=ABBC，
∴BC=ABcs∠ABC=ABcs30∘=60 32=40 3(米)，
答：这栋楼高BC的长为40 3米．
【解析】根据解直角三角形的知识进行解答即可．
本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，12AE⋅BD=12CF⋅BD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，
∵AB=2，
∴AH=1，BH= AB2−AH2= 3，
∴DH=AH+AD=1+4=5，
∴BD= DH2+BH2=2 7，
∵S△ABD=12BD⋅AE=12AD⋅BH，
即12×2 7×AE=12×4× 3，
解得：AE=2 217，
∴BE= AB2−AE2=4 77，
同理：DF=BE=4 77，
∴EF=BD−BE−DF=6 77，
∴S四边形AECF=EF⋅AE=12 37．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABD=S△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得AE//CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形；
(2)首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25.【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x(1+x)=121，
∴x=10或x=−12(不合题意，舍去)．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有(x+1)人患了流感，第二轮有x(x+1)人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．
此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
26.【答案】解：(1)如图，连接AD，
∵以腰AB为直径画半圆O，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵△ABC为等腰三角形，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACB，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴CD=DE，
∴BD=DE；
(2)如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F，
∵AB=2，
∴OA=OB=1，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，OA=AE=1，OF= 32，
∴S阴影=S扇形AOE−S△AOE=60×π×12360−12×1× 32=π6− 34．
【解析】(1)连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一可知BD=CD，再根据四点共圆可得∠DEC=∠ABC，进而得到∠DEC=∠ACB，则CD=DE，以此即可证明BD=DE；
(2)易得△ABC为等边三角形，△AOE为等边三角形，则S阴影=S扇形AOE−S△AOE，代入计算即可求解．
本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，解题关键是：(1)根据直径所对圆周角为90°得到BD=CD，再根据四点共圆性质即可解决问题；(2)熟练掌握扇形的面积公式．
27.【答案】解：(1)令y=0，则有−x2−2x+m+1=0，
即：x1，x2是一元二次方程x2+2x−(m+1)=0，
∵抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，
∴x1⋅x2=−(m+1)，x1+x2=−2，
△=4+4(m+1)>0，
∴m>−2
∵x1<0，x2>0，
∴x1⋅x2<0，
∴−(m+1)<0，
∴m>−1，
即：m>−1；
(2)∵A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x1<0，x2>0，
∴OA=−x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴−x1=3x2，①
由(1)知，x1+x2=−2，②
x1⋅x2=−(m+1)，③
联立①②③得，x1=−3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=−x2−2x+3；
(3)存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，(∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，)
连接BQ，
由(2)知，抛物线的解析式y=−x2−2x+3；x1=−3，
∴抛物线的对称轴PD为x=−1，C(0,3)，A(−3,0)，
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=−1时，y=2，
∴Q(−1,2)，
∴点Q(−1,2)使得△BQC的周长最短．
【解析】(1)将抛物线的问题转化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决；
(2)先用一元二次方程的两根表示出OA，OB，再用根与系数的关系即可；
(3)先由于点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，连接AC与PD的交点就是使△BQC的周长最短，然后确定出直线AC解析式，最后将抛物线的对称轴代入直线AC解析式中即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，极值的确定，解本题的关键是将函数问题转化到一元二次方程中去，此种方法是解二次函数中求与线段长度有关的题目中常用的方法．
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