2024年甘肃省武威市天祝藏族自治县天祝县民族中学联片教研中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，由此可解．
【详解】解：的倒数是，
故选D．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
3. 如图所示，把一块三角板的直角顶点D放在直线上，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质，可以得到的度数，再根据，可以得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4. 如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰．
【详解】如图：
①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
5. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
6. 如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA、OB，过点O作，由三角形内角和求出，由圆周角定理可得，由得是等腰三角形，即可知，，根据三角函数已可求出AD，进而得出答案．
【详解】
如图，连接OA、OB，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．
7. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值．
【详解】过点P作轴于点E， 如图所示：

依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B
8. 若一组数据1，2，3，x，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为( )
A. 3B. 3.5C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：∵数据1、2、3、x、5、6的众数为5，
∴，
则数据重新排列为1、2、3、5、5、6，
∴中位数为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵∠是公共角，
∴再加上或，根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”，都可判定，故选项不符题意；
∵是公共角，再加上，即，根据“如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似”，可判定，故选项不符题意；
而加上，即，对应边成比例，但不是相应的夹角相等，不能单独判定，该选项符合题意；
故选：．
10. 如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，

∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
二、填空题（共24分）
11 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE长即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB===10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE==5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即
∴DE=．
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于零，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：．
故答案为：．
14. 如图，已知正五边形的边长为，则阴影部分的面积为____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据正五边形的内角和等于，即阴影部分的扇形圆心角和等于，由扇形面积公式即可解题．
【详解】解：由题意得，，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和、扇形面积的计算，掌握基本概念和性质是解题关键．
15. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．
【答案】10
【解析】
【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
16. 如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出的度数是解此题的关键．连接，根据切线的性质求出，求出，即可求出答案．
【详解】解：如图所示
连接，
切于，
，
，
，
的度数是，
的度数是，
，
故答案为：．
17. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：
①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．
其中正确的结论有__________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．
③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．
④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AEa，OA＝OC＝OB＝ODa，
∴，即AEAO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQS四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故答案为：①②③⑤
点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
18. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________．

【答案】
【解析】
【分析】设，可求 ，， 由，即可求解．
【详解】解：设，
轴，
，，轴，
，
解得：，
在上，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. 计算．
（1）
（2）计算：
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．
【小问1详解】
∴，
解得，；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和实数的运算，解得的关键是掌握以上知识点．
四、作图题（共4分）
20. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求；
（2）取格点，连接交于，点就是所求的点．
【小问1详解】
解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
【小问2详解】
解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
五、解答题（共54分）
21. 某校推行“新时代好少年·红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
【答案】原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为元．根据读书吧并比原计划多建设了2间列出分式方程，解分式方程即可求解．
【详解】解：设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程解．
答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元．
22. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，则利用“”可判断，所以，然后根据平行线的判定可得到结论．
详解】解：证明：，
，
，
．
即，
在和中
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23. 正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点，若．
（1）求正方形的边长.
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）通过证明，可得，即，则可求解；
（2）设，则，利用勾股定理列方程可求解．
【小问1详解】
解： ，
．
，
，
，
，
（负值舍去），
正方形的边长为3；
【小问2详解】
解：设，则，
则，．
在中，，
，
（舍去）或，
．
24. 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）抽样的人数是______人，扇形中______；
（2）抽样中组人数是______人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在______组（填、、、、），并补全频数分布直方图；
（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于160次为满分，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？
【答案】（1）60；84
（2）16；C；补全频数分布直方图见解析
（3）175
【解析】
【分析】（1）根据A组的占比及频数即可求得抽样的总人数；由B组的占比可求得扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角；
（2）根据（1）求得的抽样总人数即可求得D组的人数，可确定中位数落在哪组，补全统计图即可；
（3）用样本估计总体的思想方法可求得该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约人数．
【小问1详解】
解：抽样总人数为：（人）；
B组对应的扇形的圆心角为：，
∴；
故答案为：60；84．
【小问2详解】
解：抽样中D组人数为：（人），
把数据按大小排列后，中间第30、31个数据的平均数是中位数，则中位数落在C组；
故答案为：16，C；
补全图形如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本频数估计总体频数，求扇形圆心角，判断中位数等知识，善于从统计图中获取信息是解题的关键．
25. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；
（2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积．
【小问1详解】
证明：菱形的对角线和交于点，
，，，
∵，
∴，
即，
又，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形是正方形；
【小问2详解】
解：正方形的面积为72，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．
26. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证；
（2）连接，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
27. 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值．
【答案】（1）y＝−x2−2x＋3
（2）y＝−x＋1 （3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法确定直线解析式；
（3）根据（2）的结论，设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），过点作轴，交于点，根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：由抛物线y＝−x2＋bx＋c过点A（1，0），C（−2，3），得
，
解得，
故抛物线为y＝−x2−2x＋3；
【小问2详解】
设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（−2，3），则
，
解得，
故直线AC为y＝−x＋1；
【小问3详解】
如图，过点作轴，交于点，
∵直线AC为y＝−x＋1；
设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），
∴PQ＝（−x2−2x＋3）−（−x＋1）＝−x2−x＋2，
∴S△APC＝
＝
＝，
∴△APC面积的最大值为
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．