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2024年甘肃省武威市凉州区永昌九年制学校教研联片中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省武威市凉州区永昌九年制学校教研联片中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×107
2.剪纸是中国优秀的传统文化.如图剪纸图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.单项式−12x3y的系数和次数分别是( )
A. −12，4B. −12，3C. 12，3D. 12，4
4.已知关于x的不等式组4x−a<312x+5≥6无解，则a的取值范围是( )
A. a<5B. a≤5C. a>5D. a≥5
5.如图，正五边形ABCDE中，F为CD边中点，连接AF，则∠BAF的度数是( )
A. 50°
B. 54°
C. 60°
D. 72°
6.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A. OA=OC，OB=ODB. AB=CD，AO=CO
C. AB=CD，AD=BCD. ∠BAD=∠BCD，AB//CD
7.往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB=24cm，则水的最大深度为( )
A. 4cm
B. 5cm
C. 8cm
D. 10cm
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点为B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为( )
A. αB. α−45°C. 45°−αD. 90°+α
9.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为( )
A. 12B. 16C. 20D. 32
10.如图，已知点A( 3,2)，B(0,1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为( )
A. a=2，b=−53 3
B. a=12，b=− 36
C. a=3，b=−83 3
D. a=−13，b=23 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若m与−2互为相反数，则m的值为______．
12.请写出关于x，y的二元一次方程x−y=2的一个解：______．
13.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是______边形．
14.因式分解：2x2−2= ．
15.如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为______时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
16.已知：一次函数y=kx+b的图象与直线y=−2x+1平行，并且经过点(0,4)，那么这个一次函数的解析式是______．
17.如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC=75°，BC=4 2cm，则OC的长为______cm．
18.如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为______m.
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：|−2|+(13)0− 9+2sin30°；
(2)解方程：x−2x+3−4x−3=1．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,3)，C(2,4)．
(1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1，并求出线段AB扫过的面积；
(2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到△A2B2C2，△A2B2C2在y轴的左侧．
21.(本小题6分)
已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC//BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE．
22.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
(1)求证：AO=CO；
(2)若∠OCD=30°，AB= 3，求△AOC的面积．
23.(本小题6分)
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
24.(本小题8分)
如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，点E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC上，且AD平分∠BAC．
(1)证明：BC是⊙O的切线；
(2)若BD=4，BE=2，求AB的长．
25.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1，求FM的长．
26.(本小题8分)
某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)本次调查学生共______ 人，a=______，并将条形图补充完整；
(2)如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
(3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：A.图案不是中心对称图形，不符合题意；
B.图案不是中心对称图形，不符合题意；
C.图案不是中心对称图形，不符合题意；
D.图案是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解．
此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：单项式−12x3y的系数是：−12，次数是4，
故选：A．
根据单项式的系数，次数的意义判断即可．
本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的意义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：4x−a<3①12x+5≥6②，
解不等式①，得x解不等式②，得x≥2，
∵该不等式组无解，
∴a+34≤2，
解得：a≤5，
故选：B．
先对不等式进行求解，再根据不等式组无解，得a+34≤2，求出a的取值范围即可．
本题考查了一元一次不等式组，能根据题意建立关于a的不等式组是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC，AD，
∵正五边形ABCDE中，
∴AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，
在△ABC与△AED中，
AB=AE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴∠BAC=∠EAD，AC=AD，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠EAF=12∠BAE=54°，
故选：B．
连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，AO=CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=12AB=12cm，
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，OD= OB2−BD2= 132−122=5cm，
∴CD=OC−OD=13−5=8cm，
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质可得：∠CA′B′=∠CAB=α，∠ACA′=90°，AC=A′C，
∴△ACA′等腰直角三角形，
∴∠AA′C=45°，
∴∠AA′B′=45°−α；
故选：C．
由旋转的性质可得∠CA′B′=∠CAB=α，∠ACA′=90°，AC=A′C，进而可得∠AA′C=45°，然后问题可求解．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵点C的坐标为(3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OA=OC=5，BC//OA，
∴点B的横坐标为5+3=8，纵坐标为4，
即点B的坐标为(8,4)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B，
∴k=xy=8×4=32．
故选：D．
由菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，可求得BC=OA=OC=5，继而求得点B的坐标，然后由待定系数法即可求得k的值．
此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意根据菱形的性质求得点B的坐标是关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点A( 3,2)，
∴AE=2，OE= 3，
∵B(0,1)，
∴OB=1，
∵OB//AE，
∴△BOD∽△AED，
∴OBAE=ODDE=12，
∴OD= 3，DE=2 3，
∴∠ADE=30°，
由旋转可知，∠BAC=30°，
∴∠CAE=30°，
∴CE=AE 3=2 3=2 33，
∴C( 33,0)，
把A( 3,2)和C( 33,0)代入二次函数y=ax2+bx+1中得：3a+ 3b+1=213a+ 33b+1=0，
解得：a=2b=−5 33．
故选：A．
作辅助线，根据平行相似可证明△BOD∽△AED，列比例式可得点C的坐标，列方程组可得结论．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，此题正确构建直角三角形利用含30°角的直角三角形的性质确定点C的坐标是解本题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵−2的相反数是2，
∴m=2．
故答案为：2．
根据相反数的定义，直接得结论．
本题考查了相反数的定义．理解相反数的定义，是解决本题的关键．
12.【答案】x=0y=−2
【解析】解：令x=0，则0−y=2，
∴y=−2，
∴关于x，y的二元一次方程x−y=2的一个解为x=0y=−2．
故答案为：x=0y=−2．
直接根据二元一次方程的解可得答案．
此题考查的是二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
13.【答案】九
【解析】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，n−2=7，
解得：n=9，
即这个多边形是九边形，
故答案是：九．
根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
14.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．
故答案为：2(x+1)(x−1)．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15.【答案】3或296
【解析】解：根据题意得：BP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，BC=AD=4，
∴AP=9−t，DE=DC−CE=9−6=3，
由勾股定理得：AE= 32+42=5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA=∠EFB=90°，
∵∠C=∠B=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE=6，BC=EF=4，
∴PF=6−t，
由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，
①当AE=PE时，52=42+(6−t)2，
解得：t=3，t=9，
∵t=9不符合题意，舍去；
②当AP=PE时，(9−t)2=42+(6−t)2，
解得：10t=296，
即当t的值为3或296时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：3或296．
根据矩形的性质得出CD=AB=8，BC=AD=4，求出AP=8−t，DE=3，由勾股定理求出AE=5，PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，分为两种情况：①当AE=PE时，②当AP=PE时，求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】y=−2x+4
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=−2x+1，
∴k=−2，
∵经过点(0,4)，
∴b=4，
∴这个一次函数的解析式为y=−2x+4．
故答案为：y=−2x+4．
根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解．
本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：连接OA，OB．
∵AB垂直平分半径OD，
∴OE=12OD=12OB，
∴∠OBE=30°，
又∵∠ABC=75°，
∴∠OBC=45°，
又∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=45°．
则△OBC是等腰直角三角形．
∴OC= 22⋅BC=4cm．
连接OA，OB.根据已知角度关系证明△BOC为等腰直角三角形求解．
此题主要考查垂径定理、直角三角形的性质和勾股定理．
18.【答案】9.6
【解析】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为x(m)，则可列比例式为16=1.6x，解得x=9.6(m)，
故答案为9.6．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
19.【答案】解：(1)原式=2+1−3+2×12
=3−3+1
=1；
(2)原方程去分母得：(x−2)(x−3)−4(x+3)=(x+3)(x−3)，
整理得：−9x−6=−9，
解得：x=13，
检验：当x=13时，(x+3)(x−3)≠0，
故原方程的解为x=13．
【解析】(1)利用绝对值的性质，零指数幂，算术平方根的定义及特殊锐角三角函数值计算即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,3)，C(2,4)，
∴△ABC绕O点逆时针旋转90°，得A1(−1,1)，B1(−3,4)，C1(−4,2)，
如图所示：△A1B1C1即为所求．
∵A(1,1)，B(4,3)
∴OA2=1+1=2，OB2=42+32=25
线段AB扫过的面积=90×π(OB2−OA2)360=14π×23=234π；
(2)分别连接AO，BO，CO并延长，在延长线上取点A2，B2，C2，使得OA2=2OA，OB2=2OB，OC2=2OC，
如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．
【解析】(1)分别画出点A，B，C绕点O旋转后的对应点即可得到△A1B1C1，根据扇形的面积公式即可求出线段AB扫过的面积；
(2)根据画位似图形的步骤即可解决问题．
本题考查作图−位似变换，熟知位似图形之间的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：∵AC//BE，
∴∠C=∠DBE．
在△ABC和△DEB中，
∠C=∠DBEBC=EB∠ABC=∠E，
∴△ABC≌△DEB(ASA)，
∴AB=DE．
【解析】先利用平行线的性质得∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质可得AB=DE．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的性质时主要是得到对应角相等或对应线段相等．
22.【答案】(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又由折叠可知：∠BCA=∠ECA，
∴∠DAC=∠ECA，
∴OA=OC；
(2)在Rt△COD中，∠D=90°∠OCD=30°
∴OD=12OC，
又∵AB=CD= 3，
∴(12OC)2=OC2−( 3)2，
∴OC=2，
∴AO=OC=2，
∴S△AOC=12AO⋅CD=12×2× 3= 3
【解析】(1)由矩形的性质和折叠的性质证明∠DAC=∠ECA，即可得到AO=CO；
(2)首先求出AO，CO的长，再由三角形面积公式计算即可．
本题考查了矩形的性质以及翻折变换的性质，熟记矩形的各种性质以及三角形的面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
根据题意得：5000(1−x)2=4050，
解之得：x=1.9(舍去)x=0.1=10%，
所以甲种药品成本的年平均下降率约为10%；…(3分)
设乙种药品成本的年平均下降率为y，
根据题意得：6000(1−y)2=4860(7分)
解之得：y=1.9(舍去)y=0.1=10%，
所以乙种药品成本的年平均下降率约为10%；
答：甲乙两种药品成本的年平均下降率一样大．
【解析】因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至4050元，生产1吨乙种药品的成本由6000元降至4860元，所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率分别为x、y，利用方程即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，只需仔细分析题意，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题，但应注意解的取舍．
24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠C+∠ODC=180°，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
(2)解：设OD=OE=r，
在Rt△ODB中，BD=4，BE=2，
∴OB=r+2，
由勾股定理，得：r2+42=(r+2)2，
解得：r=3，
∴OD=OA=OE=3，
∴AB=6+2=8．
【解析】(1)连接OD，根据平行线判定推出OD//AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
(2)根据勾股定理求出OD=OA=OE=3，再根据线段的和差求解即可．
本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
25.【答案】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，DE=DM∠EDF=∠FDMDF=DF，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM−MF=BM−EF=4−x，
∵EB=AB−AE=3−1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
∴FM=52．
【解析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB−AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM−FM=BM−EF=4−x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
26.【答案】解：(1)300，10；
图形如下：
(2)2000×40%=800(人)，
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=212=16．
【解析】【分析】
本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
(1)用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
(2)用2000乘以A类的百分比即可．
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)120÷40%=300，
a%=1−40%−30%−20%=10%，
∴a=10，
10%×300=30，
故答案为：300，10；
(2)，(3)见答案
27.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2得：
a−b+2=016a+4b+2=0，
解得a=−12b=32，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，如图：
在y=−12x2+32x+2中，令x=0得y=2，
∴C(0,2)，
由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，
设P(t,−12t2+32t+2)，则K(t,−12t+2)，
∴PK=−12t2+32t+2−(−12t+2)=−12t2+2t，
∴S△PBC=12PK⋅|xB−xC|=12×(−12t2+2t)×4=−t2+4t=−(t−2)2+4，
∵−1<0，
∴当t=2时，S△PBC取最大值4，此时P(2,3)，
∴△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为(2,3)；
(3)抛物线上存在点Q，使∠QCB=45°，理由如下：
当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图：
∵∠QCB=45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC=90°，BT=CT，
∴∠CTN=90°−∠BTM=∠TBM，
∵∠M=∠TNC=90°，
∴△BTM≌△TCN(AAS)，
∴BM=NT，TM=CN，
设T(m,n)，则NT=m，BM=n，
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴TM=MN−NT=4−m，CN=ON−OC=n−2，
∵BM=NT，TM=CN，
∴n=m4−m=n−2，
解得m=3n=3
∴T(3,3)，
由C(0,2)，T(3,3)得直线CT解析式为y=13x+2，
联立y=13x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=73y=259，
∴Q(73,259)；
当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图：
同理可得△BSR≌△RWC(AAS)，
∴BS=RW，RS=CW，
设R(p,q)，
∴−q=p4−p=2−q，
解得p=1q=−1，
∴R(1,−1)，
∴直线CR解析式为y=−3x+2，
联立y=−3x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=9y=−25，
∴Q(9,−25)，
综上所述，Q的坐标为(73,259)或(9,−25)．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，求出C(0,2)，直线BC解析式为y=−12x+2，设P(t,−12t2+32t+2)，可得PK=−12t2+32t+2−(−12t+2)=−12t2+2t，故S△PBC=12PK⋅|xB−xC|=12×(−12t2+2t)×4=−t2+4t=−(t−2)2+4，根据二次函数性质可得答案；
(3)当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，证明△BTM≌△TCN(AAS)，有BM=NT，TM=CN，设T(m,n)，可得n=m4−m=n−2，即知T(3,3)，直线CT解析式为y=13x+2，联立y=13x+2y=−12x2+32x+2，解得Q(73,259)；当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，同理可得Q(9,−25)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
1.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×107
2.剪纸是中国优秀的传统文化.如图剪纸图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.单项式−12x3y的系数和次数分别是( )
A. −12，4B. −12，3C. 12，3D. 12，4
4.已知关于x的不等式组4x−a<312x+5≥6无解，则a的取值范围是( )
A. a<5B. a≤5C. a>5D. a≥5
5.如图，正五边形ABCDE中，F为CD边中点，连接AF，则∠BAF的度数是( )
A. 50°
B. 54°
C. 60°
D. 72°
6.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A. OA=OC，OB=ODB. AB=CD，AO=CO
C. AB=CD，AD=BCD. ∠BAD=∠BCD，AB//CD
7.往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB=24cm，则水的最大深度为( )
A. 4cm
B. 5cm
C. 8cm
D. 10cm
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点为B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为( )
A. αB. α−45°C. 45°−αD. 90°+α
9.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为( )
A. 12B. 16C. 20D. 32
10.如图，已知点A( 3,2)，B(0,1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为( )
A. a=2，b=−53 3
B. a=12，b=− 36
C. a=3，b=−83 3
D. a=−13，b=23 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若m与−2互为相反数，则m的值为______．
12.请写出关于x，y的二元一次方程x−y=2的一个解：______．
13.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是______边形．
14.因式分解：2x2−2= ．
15.如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为______时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
16.已知：一次函数y=kx+b的图象与直线y=−2x+1平行，并且经过点(0,4)，那么这个一次函数的解析式是______．
17.如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC=75°，BC=4 2cm，则OC的长为______cm．
18.如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为______m.
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：|−2|+(13)0− 9+2sin30°；
(2)解方程：x−2x+3−4x−3=1．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,3)，C(2,4)．
(1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1，并求出线段AB扫过的面积；
(2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到△A2B2C2，△A2B2C2在y轴的左侧．
21.(本小题6分)
已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC//BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE．
22.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
(1)求证：AO=CO；
(2)若∠OCD=30°，AB= 3，求△AOC的面积．
23.(本小题6分)
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
24.(本小题8分)
如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，点E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC上，且AD平分∠BAC．
(1)证明：BC是⊙O的切线；
(2)若BD=4，BE=2，求AB的长．
25.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1，求FM的长．
26.(本小题8分)
某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)本次调查学生共______ 人，a=______，并将条形图补充完整；
(2)如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
(3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：A.图案不是中心对称图形，不符合题意；
B.图案不是中心对称图形，不符合题意；
C.图案不是中心对称图形，不符合题意；
D.图案是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解．
此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：单项式−12x3y的系数是：−12，次数是4，
故选：A．
根据单项式的系数，次数的意义判断即可．
本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的意义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：4x−a<3①12x+5≥6②，
解不等式①，得x
∵该不等式组无解，
∴a+34≤2，
解得：a≤5，
故选：B．
先对不等式进行求解，再根据不等式组无解，得a+34≤2，求出a的取值范围即可．
本题考查了一元一次不等式组，能根据题意建立关于a的不等式组是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC，AD，
∵正五边形ABCDE中，
∴AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，
在△ABC与△AED中，
AB=AE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴∠BAC=∠EAD，AC=AD，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠EAF=12∠BAE=54°，
故选：B．
连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，AO=CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=12AB=12cm，
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，OD= OB2−BD2= 132−122=5cm，
∴CD=OC−OD=13−5=8cm，
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质可得：∠CA′B′=∠CAB=α，∠ACA′=90°，AC=A′C，
∴△ACA′等腰直角三角形，
∴∠AA′C=45°，
∴∠AA′B′=45°−α；
故选：C．
由旋转的性质可得∠CA′B′=∠CAB=α，∠ACA′=90°，AC=A′C，进而可得∠AA′C=45°，然后问题可求解．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵点C的坐标为(3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OA=OC=5，BC//OA，
∴点B的横坐标为5+3=8，纵坐标为4，
即点B的坐标为(8,4)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B，
∴k=xy=8×4=32．
故选：D．
由菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，可求得BC=OA=OC=5，继而求得点B的坐标，然后由待定系数法即可求得k的值．
此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意根据菱形的性质求得点B的坐标是关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点A( 3,2)，
∴AE=2，OE= 3，
∵B(0,1)，
∴OB=1，
∵OB//AE，
∴△BOD∽△AED，
∴OBAE=ODDE=12，
∴OD= 3，DE=2 3，
∴∠ADE=30°，
由旋转可知，∠BAC=30°，
∴∠CAE=30°，
∴CE=AE 3=2 3=2 33，
∴C( 33,0)，
把A( 3,2)和C( 33,0)代入二次函数y=ax2+bx+1中得：3a+ 3b+1=213a+ 33b+1=0，
解得：a=2b=−5 33．
故选：A．
作辅助线，根据平行相似可证明△BOD∽△AED，列比例式可得点C的坐标，列方程组可得结论．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，此题正确构建直角三角形利用含30°角的直角三角形的性质确定点C的坐标是解本题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵−2的相反数是2，
∴m=2．
故答案为：2．
根据相反数的定义，直接得结论．
本题考查了相反数的定义．理解相反数的定义，是解决本题的关键．
12.【答案】x=0y=−2
【解析】解：令x=0，则0−y=2，
∴y=−2，
∴关于x，y的二元一次方程x−y=2的一个解为x=0y=−2．
故答案为：x=0y=−2．
直接根据二元一次方程的解可得答案．
此题考查的是二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
13.【答案】九
【解析】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，n−2=7，
解得：n=9，
即这个多边形是九边形，
故答案是：九．
根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
14.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．
故答案为：2(x+1)(x−1)．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15.【答案】3或296
【解析】解：根据题意得：BP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，BC=AD=4，
∴AP=9−t，DE=DC−CE=9−6=3，
由勾股定理得：AE= 32+42=5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA=∠EFB=90°，
∵∠C=∠B=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE=6，BC=EF=4，
∴PF=6−t，
由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，
①当AE=PE时，52=42+(6−t)2，
解得：t=3，t=9，
∵t=9不符合题意，舍去；
②当AP=PE时，(9−t)2=42+(6−t)2，
解得：10t=296，
即当t的值为3或296时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：3或296．
根据矩形的性质得出CD=AB=8，BC=AD=4，求出AP=8−t，DE=3，由勾股定理求出AE=5，PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，分为两种情况：①当AE=PE时，②当AP=PE时，求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】y=−2x+4
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=−2x+1，
∴k=−2，
∵经过点(0,4)，
∴b=4，
∴这个一次函数的解析式为y=−2x+4．
故答案为：y=−2x+4．
根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解．
本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：连接OA，OB．
∵AB垂直平分半径OD，
∴OE=12OD=12OB，
∴∠OBE=30°，
又∵∠ABC=75°，
∴∠OBC=45°，
又∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=45°．
则△OBC是等腰直角三角形．
∴OC= 22⋅BC=4cm．
连接OA，OB.根据已知角度关系证明△BOC为等腰直角三角形求解．
此题主要考查垂径定理、直角三角形的性质和勾股定理．
18.【答案】9.6
【解析】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为x(m)，则可列比例式为16=1.6x，解得x=9.6(m)，
故答案为9.6．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
19.【答案】解：(1)原式=2+1−3+2×12
=3−3+1
=1；
(2)原方程去分母得：(x−2)(x−3)−4(x+3)=(x+3)(x−3)，
整理得：−9x−6=−9，
解得：x=13，
检验：当x=13时，(x+3)(x−3)≠0，
故原方程的解为x=13．
【解析】(1)利用绝对值的性质，零指数幂，算术平方根的定义及特殊锐角三角函数值计算即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,3)，C(2,4)，
∴△ABC绕O点逆时针旋转90°，得A1(−1,1)，B1(−3,4)，C1(−4,2)，
如图所示：△A1B1C1即为所求．
∵A(1,1)，B(4,3)
∴OA2=1+1=2，OB2=42+32=25
线段AB扫过的面积=90×π(OB2−OA2)360=14π×23=234π；
(2)分别连接AO，BO，CO并延长，在延长线上取点A2，B2，C2，使得OA2=2OA，OB2=2OB，OC2=2OC，
如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．
【解析】(1)分别画出点A，B，C绕点O旋转后的对应点即可得到△A1B1C1，根据扇形的面积公式即可求出线段AB扫过的面积；
(2)根据画位似图形的步骤即可解决问题．
本题考查作图−位似变换，熟知位似图形之间的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：∵AC//BE，
∴∠C=∠DBE．
在△ABC和△DEB中，
∠C=∠DBEBC=EB∠ABC=∠E，
∴△ABC≌△DEB(ASA)，
∴AB=DE．
【解析】先利用平行线的性质得∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质可得AB=DE．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的性质时主要是得到对应角相等或对应线段相等．
22.【答案】(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又由折叠可知：∠BCA=∠ECA，
∴∠DAC=∠ECA，
∴OA=OC；
(2)在Rt△COD中，∠D=90°∠OCD=30°
∴OD=12OC，
又∵AB=CD= 3，
∴(12OC)2=OC2−( 3)2，
∴OC=2，
∴AO=OC=2，
∴S△AOC=12AO⋅CD=12×2× 3= 3
【解析】(1)由矩形的性质和折叠的性质证明∠DAC=∠ECA，即可得到AO=CO；
(2)首先求出AO，CO的长，再由三角形面积公式计算即可．
本题考查了矩形的性质以及翻折变换的性质，熟记矩形的各种性质以及三角形的面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
根据题意得：5000(1−x)2=4050，
解之得：x=1.9(舍去)x=0.1=10%，
所以甲种药品成本的年平均下降率约为10%；…(3分)
设乙种药品成本的年平均下降率为y，
根据题意得：6000(1−y)2=4860(7分)
解之得：y=1.9(舍去)y=0.1=10%，
所以乙种药品成本的年平均下降率约为10%；
答：甲乙两种药品成本的年平均下降率一样大．
【解析】因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至4050元，生产1吨乙种药品的成本由6000元降至4860元，所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率分别为x、y，利用方程即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，只需仔细分析题意，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题，但应注意解的取舍．
24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠C+∠ODC=180°，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
(2)解：设OD=OE=r，
在Rt△ODB中，BD=4，BE=2，
∴OB=r+2，
由勾股定理，得：r2+42=(r+2)2，
解得：r=3，
∴OD=OA=OE=3，
∴AB=6+2=8．
【解析】(1)连接OD，根据平行线判定推出OD//AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
(2)根据勾股定理求出OD=OA=OE=3，再根据线段的和差求解即可．
本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
25.【答案】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，DE=DM∠EDF=∠FDMDF=DF，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM−MF=BM−EF=4−x，
∵EB=AB−AE=3−1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
∴FM=52．
【解析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB−AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM−FM=BM−EF=4−x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
26.【答案】解：(1)300，10；
图形如下：
(2)2000×40%=800(人)，
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=212=16．
【解析】【分析】
本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
(1)用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
(2)用2000乘以A类的百分比即可．
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)120÷40%=300，
a%=1−40%−30%−20%=10%，
∴a=10，
10%×300=30，
故答案为：300，10；
(2)，(3)见答案
27.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2得：
a−b+2=016a+4b+2=0，
解得a=−12b=32，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，如图：
在y=−12x2+32x+2中，令x=0得y=2，
∴C(0,2)，
由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，
设P(t,−12t2+32t+2)，则K(t,−12t+2)，
∴PK=−12t2+32t+2−(−12t+2)=−12t2+2t，
∴S△PBC=12PK⋅|xB−xC|=12×(−12t2+2t)×4=−t2+4t=−(t−2)2+4，
∵−1<0，
∴当t=2时，S△PBC取最大值4，此时P(2,3)，
∴△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为(2,3)；
(3)抛物线上存在点Q，使∠QCB=45°，理由如下：
当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图：
∵∠QCB=45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC=90°，BT=CT，
∴∠CTN=90°−∠BTM=∠TBM，
∵∠M=∠TNC=90°，
∴△BTM≌△TCN(AAS)，
∴BM=NT，TM=CN，
设T(m,n)，则NT=m，BM=n，
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴TM=MN−NT=4−m，CN=ON−OC=n−2，
∵BM=NT，TM=CN，
∴n=m4−m=n−2，
解得m=3n=3
∴T(3,3)，
由C(0,2)，T(3,3)得直线CT解析式为y=13x+2，
联立y=13x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=73y=259，
∴Q(73,259)；
当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图：
同理可得△BSR≌△RWC(AAS)，
∴BS=RW，RS=CW，
设R(p,q)，
∴−q=p4−p=2−q，
解得p=1q=−1，
∴R(1,−1)，
∴直线CR解析式为y=−3x+2，
联立y=−3x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=9y=−25，
∴Q(9,−25)，
综上所述，Q的坐标为(73,259)或(9,−25)．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，求出C(0,2)，直线BC解析式为y=−12x+2，设P(t,−12t2+32t+2)，可得PK=−12t2+32t+2−(−12t+2)=−12t2+2t，故S△PBC=12PK⋅|xB−xC|=12×(−12t2+2t)×4=−t2+4t=−(t−2)2+4，根据二次函数性质可得答案；
(3)当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，证明△BTM≌△TCN(AAS)，有BM=NT，TM=CN，设T(m,n)，可得n=m4−m=n−2，即知T(3,3)，直线CT解析式为y=13x+2，联立y=13x+2y=−12x2+32x+2，解得Q(73,259)；当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，同理可得Q(9,−25)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
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