2024年甘肃省武威市凉州区古城九年制学校教研联片中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省武威市凉州区古城九年制学校教研联片中考数学三模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.下列运算中，正确的是( )
A. 3a2b−3ba2=0B. 3a+2b=5abC. 2x3+3x2=5x5D. 5y2−4y2=1
3.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(−1,1)，第2次接着运动到点(−2,0)，第3次接着运动到点(−3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是( )
A. (2022,0)B. (−2022,0)C. (−2022,1)D. (−2022,2)
4.为了解一批牛奶的重量，从中抽取10袋牛奶分别称出重量，此问题中，10袋牛奶的重量是( )
A. 个体B. 总体C. 样本D. 都不对
5.如图，在五边形ABCDE中，AB/​/CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1+∠2+∠3等于( )
A. 90°
B. 180°
C. 210°
D. 270°
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为( )
A. 6B. 5C. 2 3D. 3 3
7.如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为( )
A. 10cmB. 4πcmC. 72πcmD. 52cm
8.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于( )
A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°
9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则AHHC的值为( )
A. 1
B. 12
C. 13
D. 14
10.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是( )
A. ( 2+8 3)mB. (8+8 3)mC. (8 2+8 33)mD. (8+8 33)m
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.设M=2x−2，N=3x+3，若2M−N=2，则x的值是______．
12.若关于x的不等式组2−x2>2x−43−3x>−2x−a的解集是x<2，则a的取值范围是______．
13.如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF=120°，若BF=9，BE=2，则AC= ______．
14.分解因式：2a2+a=______．
15.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段QA上的动点(点Q不与点O，A重合)，连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH//QF交BE于点H，连结AH.以下四个结论：
①BQ=QF；②△DEF周长为8；③∠BQG=∠BEF，④线段AH的最小值为2 5−2.其中正确的结论是______.(填序号)
16.如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为______cm．
17.如图，点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=5x上，且AB/​/y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为______．
18.如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于F，CD与EF交于点G，若CF=2EG，则tan∠BCD的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：8sin260°+tan45°−4cs30°；
(2)解方程：x(2x−5)=4x−10．
20.(本小题6分)
已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3,1)，(2,−1)．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出A1的坐标为______；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
(3)若点D(a,b)在线段OA上，直接写出变化(2)后点D的对应点D2的坐标为______．
21.(本小题6分)
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．
求证：OE垂直平分BD．
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD/​/CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
23.(本小题6分)
一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
24.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
(1)若正方形的边长是8，PB=4.求阴影部分面积；
(2)若PB=4，PA=7，∠APB=135°，求PC的长．
25.(本小题8分)
如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC=EF．
26.(本小题8分)
为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：A.回顾重要事件；B.列举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生共有______名；
(2)在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为______，并把条形统计图补充完整；
(3)从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
27.(本小题10分)
如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D(3,0)．
(1)求直线BD和抛物线的解析式．
(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变．
根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A正确；
B、不是同类项不能合并，故B错误；
C、不是同类项不能合并，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，5y2−4y2=y2，故D错误；
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．
观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用2022÷4可判断出第2022次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．
【解答】
解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，
∵2022÷4=505……2，
∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，
∴横坐标为−(505×4+2)=−2022，纵坐标为0，
∴此时P(−2022,0)．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：10袋牛奶的重量是样本．
故选：C．
直接根据总体、个题、样本、样本容量的概念进行判断即可．
本题考查了总体、个题、样本、样本容量的概念：总体是所有考查对象的全体；个体是指所考查的每个对象；样本是指抽取的所有考查对象；样本容量是指抽取的所有考查对象的数目．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，
∴∠BAE+∠AED+∠EDC=540°−180°=360°，
∵∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，
∴∠1+∠BAE=180°，
∠2+∠AED=180°，
∠3+∠EDC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠AED+∠EDC=180°×3=540°，
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠AED+∠EDC−(∠BAE+∠AED+∠EDC)=540°−360°=180°．
故选：B．
根据AB/​/CD，得到∠B+∠C=180°，根据五边形的内角和得到∠BAE+∠AED+∠EDC=540°−180°=360°，根据邻补角的性质得到∴∠1+∠BAE=180°，∠2+∠AED=180°，∠3+∠EDC=180°，三式相加得到∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠AED+∠EDC=180°×3=540°，从而得到∠1+∠2+∠3=540°−360°=180°．
本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质，掌握n边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键，属于中档题．
由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ABO的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，则∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，设BE=x，则AB=2x，
由勾股定理可知x2+32=2x2，
则x= 3，故AB=2 3．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
∵∠ABA1=90°，∠A1CA2=60°，AB= 32+42=5cm，CA1=3cm，
∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长=90⋅π⋅5180+60⋅π⋅3180=72π(cm)．
故选：C．
根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA1=90°，∠A1CA2=60°，AB= 32+42=5cm，CA1=3cm，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180(n为圆心角，R为半径)；也考查了旋转的性质．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故选：D．
因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9.【答案】C
【解析】解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴EF/​/DB，
∴AH=HO，
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，
∴CH=3AH，
∴AHHC=13．
故选C．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．
本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，
在△AEC中，有AE=EC×tan30°=8 33，
∴AB=8+8 33(米)．
故选：D．
利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，有AB=AE+BE．
本题考查了解直角三角形的应用---俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
11.【答案】9
【解析】解：∵M=2x−2，N=3x+3，
∴2M−N=2(2x−2)−(3x+3)=4x−4−3x−3=x−7，
∵2M−N=2，
∴x−7=2，
∴x=9，
故答案为：9．
由已知条件得出x−7=2，求解x即可．
此题主要考查了解一元一次方程的解，要熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
12.【答案】a≥2
【解析】解：由2−x2>2x−43，得：x<2，
由−3x>−2x−a，得：x∵不等式组的解集为x<2，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】143
【解析】解：取AB中点N，连接DN，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DCF=180°−60°=120°，
∵点D为AC的中点，点N为AB的中点，
∴CD=12AC，DN是△ABC的中位线，
∴DN=12BC，DN/​/BC，
∴ND=CD，∠NDC=180°−60°=120°=∠EDF，∠END=180°−60°=120°，
∴∠NDE=∠CDF，∠END=∠DCF，
在△END和△FCD中，
∠END=∠DCFDN=CD∠NDE=∠CDF，
∴△END≌△FCD(ASA)，
∴DE=DF，NE=CF，
∴NE=BE+12AB=CF，
∴BF=BC+CF=32BC+BE，
∴BF−BE=32BC，
∵BF=9，BE=2，
∴BC=143=AC，
故答案为：143．
取AB中点N，连接DN，结合等边三角形的性质、三角形中位线的性质先判断出△END≌△FCD(ASA)，得出DE=DF，再根据线段的和差证明BF−BE=32BC，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
14.【答案】a(2a+1)
【解析】解：2a2+a=a(2a+1)，
故答案为：a(2a+1)．
根据提取公因式法因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15.【答案】①②④
【解析】解：∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB=∠BCD=90°，
∴点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB=∠QCB=45°，∠QBF=∠QCF=45°，
∴∠QBF=∠QFB，
∴BQ=FQ，故①正确；
如图，延长DA至N使AN=CF，连接BN，
∵CF=AN，∠BAN=∠BCF=90°，AB=BC，
∴△ABN≌△CBF(SAS)，
∴BF=BN，∠ABN=∠CBF，
∵∠QBF=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE+∠ABN=45°，
∴∠EBN=∠EBF=45°，
又∵BE=BE，BF=BN，
∴△BEF≌△BEN(SAS)，
∴EF=EN，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+EN=DE+DF+AE+CF=AD+CD=8，故②正确；
∵CH//FQ，
∴∠BHC=∠BQF=90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP=2=HP，
∴AP= AB2+BP2= 16+4=2 5，
在△AHP中，AH>AP−HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2 5−2，故④正确；
如图，连接EG，
∵∠DAC=∠QBF=45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠BAC=∠BEG=45°，
∴∠BEG=∠EBF=45°，∠EGB=90°，
∴EG=BG，
∴BE= 2BG，
∵∠BEG=∠BFQ=45°，
∴点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG=∠BFE，∠BGQ=∠BEF，故③不正确．
故答案为：①②④．
通过证明点B，点C，点F，点Q四点共圆，可得∠QFB=∠QCB=45°，∠QBF=∠QCF=45°，可证BQ=FQ，故①正确；由“SAS”可证△ABN≌△CBF，△BEF≌△BEN，可得EF=EN，由线段的和差关系可得△DEF的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以BC为边的圆上运动，则当点H在AP上时，AH有最小值为2 5−2，故④正确；通过证明点E，点F，点G，点Q四点共圆，可判断③．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】56π
【解析】解：连接OE，OD，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD/​/AC，
∴∠EOD=∠AEO，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠BAC=50°，
∴∠EOD=∠BAC=50°，
∵OD=12AB=12×6=3(cm)，
∴DE的长=50π×3180=56π(cm)．
故答案为：56π.
连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C=∠ODB，得到OD/​/AC，推出∠EOD=∠AEO，由OE=OA，∠OEA=∠BAC=50°，因此∠∠EOD=∠BAC=50°，由弧长公式即可求出DE的长．
本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD/​/AC，从而求出∠EOD的度数．
17.【答案】3
【解析】解：∵点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=5x上，且AB/​/y轴，
∴设A(m,2m)，B(m,5m)，
∴AB=5m−2m=3m，
∴S▱ABCD=3m⋅m=3，
故答案为：3．
由AB/​/y轴可知，A、B两点横坐标相等，设A(m,2m)，B(m,5m)，求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
本题考查了反比例函数，关键是由平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式计算．
18.【答案】−1+ 174
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
过点A作AH⊥BC与H，则∠CAH+∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠CAH，
∵EF⊥BC，
∴AH/​/EF，
∴∠CAH=∠CEF，
∴∠BCD=∠CEF，
设CF=x，GF=y，
∵CF=2EG，
∴EG=12x，则EF=12x+y，
则tan∠BCD=GFCF=yx，tan∠CEF=CFEF=x12x+y，
∵∠BCD=∠CEF，
∴tan∠BCD=tan∠CEF，即yx=x12x+y，整理得：2x2=xy+2y2
即：2=yx+2(yx)2，令tan∠BCD=yx=t，
则2=t+2t2，解得t=−1+ 174(负值舍去)，
∴tan∠BCD=−1+ 174．
故答案为：−1+ 174．
由题意可知，∠B=∠ACB，∠B+∠BCD=90°，过点A作AH⊥BC与H，则AH/​/EF，∠CAH+∠ACB=90°，可得∠BCD=∠CAH，∠CAH=∠CEF，进而可知∠BCD=∠CEF，设CF=x，GF=y，则EG=12x，EF=12x+y，可得tan∠BCD=GFCF=yx，tan∠CEF=CFEF=x12x+y，根据tan∠BCD=tan∠CEF，得yx=x12x+y，即2=yx+2(yx)2，令tan∠BCD=yx=t，则2=t+2t2，解之即可求解．
本题考查求正切值，等腰三角形的性质，添加辅助线利用互余证得∠BCD=∠CEF是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=8×( 32)2+1−4× 32
=8×34+1−2 3
=6+1−2 3
=7−2 3；
(2)∵x(2x−5)=4x−10，
∴x(2x−5)=2(2x−5)，
∴x(2x−5)−2(2x−5)=0，
∴(x−2)(2x−5)=0，
∴x−2=0或2x−5=0，
解得x1=2,x2=52．
【解析】(1)根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；
(2)利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查的是解一元二次方程及特殊角三角函数值，熟知相关计算方法是解题的关键．
20.【答案】(1,−3) (−2a,−2b)
【解析】解：(1)如图所示：△OA1B1即为所求；A1的坐标为(1,−3)；
(2)如图所示：△OA2B2即为所求；
(3)∵作△OAB的位似图形△OA2B2，新图与原图相似比为2：1，且D(a,b)，
∴点D的对应点D2的坐标为(−2a,−2b)；
故答案为：(−2a,−2b)．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)根据位似图形的性质，即可求解；
本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】证明：在△AOB与△COD中，
∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【解析】由“ASA”可证△AOB≌△COD，可得OB=OD，且BE=DE，可得OE垂直平分BD．
本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明OB=OD是本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，AD/​/CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，
∴OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16，
∴OA=OC=8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= AD2−OA2= 102−82=6，
∴DE=2OD=12，
∴菱形AECD的面积=12AC⋅DE=12×16×12=96．
【解析】(1)证四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，再证∠AED=∠ADE，则AD=AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，再求出AC=16，则OA=OC=8，然后由勾股定理得OD=6，则DE=2OD=12，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．
由题意，得 (30−2x)(20−2x)=264.
整理，得 x2−25x+84=0．
解方程，得 x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．
答：剪掉的正方形的边长为4cm．
【解析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30−2x)cm，宽为(20−2x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
24.【答案】解：(1)∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠ABP=∠EBC，
以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，
∴扇形BFP的面积=扇形BEQ，
∴图形ECQ的面积=图形AFP的面积，
∴S阴影部分=S扇形BAC−S扇形PBE=90⋅π⋅82360−90⋅π⋅42360
=12π；
(2)连PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP=BE=4，∠ABP=∠EBC，PA=EC=7，∠BEC=∠APB=135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BEP=45°，PE=4 2，
∴∠PEC=135°−45°=90°，
∴PC= PE2+EC2= 32+49=9．
【解析】(1)根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP=BE，∠ABP=∠EBC；以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积=扇形BEQ，则图形ECQ的面积=图形AFP的面积，于是S阴影部分=S扇形BAC−S扇形PBE，然后根据扇形的面积公式计算即可；
(2)连PE，利用△APB≌△CEB得到BP=BE=4，∠ABP=∠EBC，PA=EC=7，∠BEC=∠APB=135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP=45°，PE=4 2，则∠PEC=135°−45°=90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．
本题考查了扇形的面积公式：S=n⋅π⋅R2360(其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径).也考查了正方形和旋转的性质．
25.【答案】证明：连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠AEO，
∴BC//OE，
∴∠CBE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠EBF，
∵EF⊥AB，EC⊥BC，
∴∠EFB=∠BCE，
在△BEC和△BEF中，
∠BCE=∠BFE∠CBE=∠FBEBE=BE,
∴△BEC≌△BEF(AAS)，
∴EC=EF．
【解析】连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，求得∠AEO=90°，根据平行线的性质得到∠CBE=∠BEO，根据等腰三角形的性质得到∠OBE=∠BEO，求得∠CBE=∠EBF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】(1)60
(2)90°
补全统计图如下：
(3)根据题意列表如下：
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有2种．
则恰好小华和小艳被抽中的概率是212=16．
【解析】解：(1)本次被调查的学生共有：9÷15%=60(名)；
(2)B项目的人数有：60−9−12−24=15(人)，
图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×1560=90°；
(3)见答案
(1)根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数；
(2)用总人数减去其它项目的人数，求出B项目的人数，再用360°乘以“B项目”所占的百分比即可得出“B项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；
(3)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(−1,0)，B(0,3)；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C(1,0)．
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B(0,3)，D(3,0)在直线BD上，
∴b=33k+b=0，
解得k=−1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=−x+3．
设抛物线的解析式为：y=a(x−1)(x−3)，
∵点B(0,3)在抛物线上，
∴3=a×(−1)×(−3)，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3．
(2)抛物线的解析式为：y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,−1)．
直线BD：y=−x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，
∴M(2,1)．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：
(I)若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N1(0,0)；
(II)若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON2=3，
∴N2(−3,0)；
(III)若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON3=3，
∴N3(0,−3)．
∴满足条件的点N坐标为：(0,0)，(−3,0)或(0,−3)．
(3)方法一：
假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为(m,n)．
(I)当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m−3．
S△PBD=S梯形PEOB−S△BOD−S△PDE=12(3+n)⋅m−12×3×3−12(m−3)⋅n=6，
化简得：m+n=7 ①，
∵P(m,n)在抛物线上，
∴n=m2−4m+3，
代入①式整理得：m2−3m−4=0，
解得：m1=4，m2=−1，
∴n1=3，n2=8，
∴P1(4,3)，P2(−1,8)；
(II)当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=−n，BE=3−n．
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD−S△PBE=12(3+m)⋅(−n)+12×3×3−12(3−n)⋅m=6，
化简得：m+n=−1 ②，
∵P(m,n)在抛物线上，
∴n=m2−4m+3，
代入②式整理得：m2−3m+4=0，△=−7<0，此方程无解．
故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为(4,3)或(−1,8)．
方法二：
假设存在点P，使S△PBD=6，
过点P作直线l平行BD，则l与BD的距离为d，
∵BD= 32+32=3 2，
∴S△PBD=12BD×d，
∴d=2 2，
∵BD与y轴夹角为45°，
∴BB′=4，
∴将BD上移或下移4个单位，
①上移4个单位，l解析式为：y=−x+7，
∵y=x2−4x+3，
∴x2−3x−4=0，
∴x1=4，x2=−1，
②下移4个单位，l解析式为y=−x−1，
∵y=x2−4x+3，
∴x2−3x+4=0，△<0，∴此方程无解，
综上所述，点P的坐标为(4,3)或(−1,8)．
【解析】(1)由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；
(2)首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；
(3)如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第(2)(3)问均需进行分类讨论，避免漏解．小华
小光
小艳
小萍
小华
(小光，小华)
(小艳，小华)
(小萍，小华)
小光
(小华，小光)
(小艳，小光)
(小萍，小光)
小艳
(小华，小艳)
(小光，小艳)
(小萍，小艳)
小萍
(小华，小萍)
(小光，小萍)
(小艳，小萍)