2024年甘肃省武威市凉州区中坝中学联片教研中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省武威市凉州区中坝中学联片教研中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−6的相反数是( )
A. −6B. −16C. 6D. 16
2.下列等式中成立的是( )
A. a8÷a4=a2B. (ab2)3=ab6C. 3a+a=3a2D. a5⋅a=a6
3.某家具车间有32名工人，制作一种学生使用的课桌和椅子套装，已知1名工人在规定时间内可以制作课桌5件或制作椅子6件，1件课桌和2件椅子配成一套.为使在规定时间内制作出来的课桌和椅子恰好配套，求需要多少名工人制作课桌？需要多少名工人制作椅子？设x名工人制作课桌，y名工人制作椅子，则下列方程组正确的是( )
A. x+y=325x=6yB. x+y=322x=yC. x+y=322×5x=6yD. x+y=325x=2×6y
4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )
A. OA=OB
B. OA⊥OB
C. OA=OC
D. ∠OBA=∠OBC
5.若ab<0且a>b，则函数y=ax+b的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，若BC=BD，AC=CD=4，则tanC的值是( )
A. 32
B. 33
C. 1
D. 3
7.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为
( )
A. (3,2)B. (3,1)C. (2,2)D. (4,2)
8.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( )
A. 13B. 2 2C. 24D. 2 23
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
10.如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若直角三角形两边的长分别为a、b且满足 a2−10a+25+|b−4|=0，则第三边的长是______．
12.如图，AB/​/CD/​/EF，则∠1、∠2、∠3的关系为 ．
13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC=60°，AC=10，E是AD的中点，则OE的长是______．
14.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12，则四边形DBCE的面积为______．
15.从−2，−1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于−4小于2的概率是 ．
16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°那么∠CDE= ______°.
17.如图，DE/​/BC，EF/​/AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，则△ABC的面积为______．
18.已知点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)在反比例函数y=k2+1x的图象上，且x1<0三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(13)−1+ 4−6sin45°+| 2−2|．
(2)解不等式组：3(x−1)≤5x+34x−23<1−13x．
20.(本小题6分)
在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．
(1)在图①中的线段AC上找一点D，连接BD，使S△ABC=2S△ABD；
(2)在图②中的线段BC上找一点E，连接AE，使S△ABC=3S△ACE；
(3)在图③中的△ABC内部找一点H，连接AH、BH，使S△ABC=3S△ABH．
21.(本小题6分)
如图，AB/​/CD，且AB=CD，连接AC，与BD相交于点O.求证：△ABO≌△CDO．
22.(本小题6分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE/​/AC，AE/​/BD，连接OE.求证：OE⊥AD．
23.(本小题8分)
2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件.从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件.设售价为x(x≥50)元，日销售量为y件．
(1)直接写出日销售量为y(件)与每件售价x(元)之间的函数关系式______；
(2)为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？
(3)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
24.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=120°，△DEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边AB，BC上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，BD与EF交于点G．
(1)证明：当点E，F在边AB，BC上滑动时，总有AE=BF．
(2)当BF=2时，求BG的长．
25.(本小题6分)
在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量，如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，测得建筑物顶端B的仰角为30°，已知山坡坡度i=3：4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB.(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.732)
26.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE，过点C作CF/​/BE交AD于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若EF=1，AE=3，求BD的长．
27.(本小题10分)
如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，交y轴于点B(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积(请在图1中探索)；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−6的相反数是6，
故选：C．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a3b6，故该选项不符合题意；
C选项，原式=4a，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a6，故该选项符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的除法判断A选项；根据积的乘方判断B选项；根据合并同类项判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握(ab)n=anbn是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+y=322×5x=6y，
故选：C．
根据1名工人在规定时间内可以制作课桌5件或制作椅子6件，1件课桌和2件椅子配成一套．列出二元一次方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：C．
由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，b>0，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；当k>0，b<0，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；当k<0，b>0，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；当k<0，b<0，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标始终为(0,b)．
利用ab<0，且a>b得到a>0，b<0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】
解：∵ab<0，且a>b，
∴a>0，b<0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB是直径，BC=BD，AC=CD=4，
∴AB⊥CD，CE=12CD=12×4=2，
在Rt△ACE中，由勾股定理得AE= AC2−CE2= 42−22=2 3，
∴tanC=AECE=2 32= 3，
故选：D．
根据垂径定理的推论结合题中条件易得AB⊥CD，CE=12CD，在Rt△ACE中利用勾股定理求出AE的长度，再根据正切的定义即可得解．
本题考查了三角函数的定义，垂径定理的推论，勾股定理，解题关键是掌握并灵活运用相关知识．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OA的长是解题关键．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，结合△OAD∽△OBG，列比例式进而得出OA的长，即可得出答案．
【解答】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴ADBG=13，
∵BG=6，
∴AD=BC=AB=2，
∵AD/​/BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴OAOB=ADBG=13，
∴OA2+OA=13，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C点坐标为：(3,2)，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．
【解答】解：作直径CD，
在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，
则OD= CD2−OC2=4 2，
tan∠CDO=OCOD= 24，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，
则tan∠OBC= 24，
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，设AD与y轴交于点P，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
在△ADE和△BCH中，
∠DAE=∠CBH∠AED=∠BHCAD=BC,
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP/​/DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，
【解答】
解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形，
故选：D．
11.【答案】3或 41
【解析】解：∵ a2−10a+25+|b−4|=0，
∴b=4，a=5．
当b=4，a=5时，第三边应为斜边，
∴第三边为 42+52= 41；
当b=4，a=5时，则第三边可能是直角边，其长为 52−42=3．
故答案为：3或 41．
首先利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，再利用分类讨论结合勾股定理求出第三边长．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
12.【答案】∠1+∠2=∠3
【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】
解：∵AB/​/CD，
∴∠1=∠DCB，
∵CD/​/EF，
∴∠3=∠DCE=∠2+∠DCB，
∴∠1+∠2=∠3，
故答案为∠1+∠2=∠3．
13.【答案】5
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD=CD，AC⊥BD．
∵∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形．
∴AD=AC=10．
∵E为AD的中点，AC⊥BD，
∴OE=12AD=5．
故答案为：5．
直接利用菱形的性质得出AD=CD，AC⊥BD，再结合∠ADC=60°，可得△ACD为等边三角形，从而AD=AC=10，最后根据直角三角形中线的性质得出答案
此题主要考查了菱形的性质，正确得出AD的长是解题关键．
14.【答案】32
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(12)2=14，
∵△ADE的面积为12，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积=2−12=32，
故答案为：32．
根据三角形中位线定理得到DE/​/BC，DE=12BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于−4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于−4小于2的有6种结果，
∴积为大于−4小于2的概率为612=12，
故答案为：12．
16.【答案】70
【解析】【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出∠CDE=∠B．
由圆内接四边形的性质，得到∠B+∠ADC=180°，由邻补角的性质得到∠CDE+∠ADC=180°，因此∠CDE=∠B，由圆周角定理求出∠B=70°，可得到∠CDE的度数．
【解答】
解：∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B，
∵∠B=12∠AOC=12×140°=70°，
∴∠CDE=70°．
故答案为：70．
17.【答案】25
【解析】【分析】
相似三角形的面积比等于对应边之比的平方，所以可先利用△EFC∽△ADE，得出对应线段的比，进而得出面积比，最后求出面积的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质，理解相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．
【解答】
解：∵DE/​/BC，EF/​/AB
∴∠C=∠AED，∠FEC=∠A，
∴△EFC∽△ADE，
而S△ADE=4，S△EFC=9，
∴(ECAE)2=94，
∴EC：AE=3：2，
∴EC：AC=3：5，
∴S△EFC：S△ABC=(ECAC)2=(35)2=925，
∴S△ABC=9×259=25．
故答案为25．
18.【答案】y1【解析】解：∵k2+1>0，
∴反比例函数y=k2+1x的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵x1<0∴y1<0，y2>0，y3>0，且y2>y3，
∴y1故答案为：y1由k2+1>0，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
19.【答案】解：(1)原式=3+2−6× 22+(2− 2)
=3+2−3 2+2− 2
=7−4 2；
(2)3(x−1)≤5x+3①4x−23<1−13x②，
由①得：3x−3≤5x+3，
3x−5x≤3+3，
−2x≤6，
解得：x≥−3，
由②得：4x−2<3−x，
4x+x<3+2，
5x<5，
解得：x<1，
∴原不等式组的解集为：−3≤x<1．
【解析】(1)直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
(2)分别解不等式，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】解：(1)如图①，取格点F、G，连接FG交AC于点D，连接BD，点D就是所求的点．
理由：连接AF，则AF/​/CG，AF=CG，
∴∠AFD=∠CGD，
在△ADF和△CDG中，
∠AFD=∠CGD∠ADF=∠CDGAF=CG，
∴△ADF≌△CDG(AAS)，
∴AD=CD=12AC，
∴2S△ABD=S△ABC，
(2)如图②，取格点H、L，连接HL交BC于点E，连接AE，
点E及△ACE就是所求的图形．
理由：连接BH、CL，则BH//CL，BH=2，CL=1，
∴△BEH∽△CEL，
∴BECE=BHCL=2，
∴CE=13BC，
∴3S△ACE=S△ABC，
∴点E及△ABE就是所求的图形．
(3)如图③，点H即为所求；
理由：由(1)(2)可知D是AC的中点，E是BC的中点，
则DE是△ABC的中位线，
∴BHDH=2，
∴S△ABH=2S△ADH，S△ABD=S△BCD，
∴S△ABC=3S△ABH．

【解析】(1)取格点F、G，连接FG交AC于点D，连接BD，证明△ADF≌△CDG(AAS)，香山AD=CD=12AC，即可使S△ABC=2S△ABD；
(2)取格点H、L，连接HL交BC于点E，连接AE，证明△BEH∽△CEL，得出BECE=BHCL=2，得出CE=13BC，即可使S△ABC=3S△ACE；
(3)找到线段AC的中点，BC的中点E，连接AE，BD交于点H，得出S△ABH=2S△ADH，S△ABD=S△BCD，
则S△ABC=3S△ABH．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
21.【答案】证明：∵AB/​/CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
在△ABO与△CDO中，
∠A=∠CAB=CD∠B=∠D，
∴△ABO≌△CDO(ASA)．
【解析】根据平行线的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，根据ASA即可得证．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，解题关键是找到三角形全等的三个条件．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD．
∵DE/​/AC，AE/​/BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA=OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
【解析】利用DE/​/AC，AE/​/BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO=OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．
23.【答案】y=−20x+1800(x≥50)
【解析】解：(1)y=200+20(80−x)
=−20x+1800，
故答案为：y=−20x+1800(x≥50)；
(2)由题意得：(x−50)(−20x+1800)=7500，
整理得：x2−140x+4875=0，
解得：x1=65，x2=75，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴x2=75舍去，
∴x=65，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
(3)设日销售利润为W元，由题意得：W=(x−50)(−20x+1800)
=−20(x−70)2+8000，
∵−20<0，
∴当x=70时，W最大=8000(元)；
答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．
(1)销售量=降价前每日销售量+降价所增加的销售量，据此即可求解；
(2)每件所获利润×日销售量=7500元，据此即可求解；
(3)设日销售利润为W元，日销售利润=每件所获利润×日销售量，据此即可求解．
本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AD//BC，AD=AB，∠ADB=∠CDB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠DBC=∠ADB=60°，
∵△DEF为正三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°=∠ADB，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF；
(2)解：∵AB=AD=6，AE=BF=2，
∴BE=4，
∵∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠A=∠DEF=60°，
∴∠ADE=∠BEF，
又∵∠A=∠ABD=60°，
∴△ADE∽△BEG，
∴ADBE=AEBG，
∴64=2BG，
∴BG=43．
【解析】(1)由“SAS”可证△ADE≌△BDF，可得AE=BF；
(2)通过证明△ADE∽△BEG，可得ADBE=AEBG，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥AB，垂足为F，

则四边形DEAF为矩形，
∴DE=AF，DF=AE，
在Rt△DEC中，tanθ=DEEC=34，
设DE=3x米，则CE=4x米，
∵DE2+CE2=DC2，
∴(3x)2+(4x)2=400，
∴x=4或x=−4(舍去)，
∴DE=AF=12米，CE=16米，
设BF=y米，
∴AB=BF+AF=(12+y)米，
在Rt△DBF中，∠BDF=30°，
∴DF=BFtan30∘=y 33= 3y(米)，
∴AE=DF= 3y米，
∴AC=AE−CE=( 3y−16)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴tan60°=ABAC=12+y y−16= 3，
解得：y=6+8 3，
经检验：y=6+8 3是原方程的根，
∴AB=BF+AF=18+8 3≈31.9(米)，
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
【解析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥AB，垂足为F，得出DE=AF，DF=AE，设DE=3x米，则CE=4x米，结合DE2+CE2=DC2，得出DE=AF=12米，CE=16米，设BF=y米，则AB=BF+AF=(12+y)米，求出AE=DF= 3y米，AC=AE−CE=( 3y−16)米，再由tan60°=ABAC=12+y y−16= 3，求出BF的长，即可得解．
本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AD．
∵OA=OB，BC=CD，
∴C为BD中点，OC为△ABD中位线，
∴OC/​/AD，
∴BE⊥OC．
∵CF/​/BE，
∴CF⊥OC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵∠AEB=90°，CF/​/BE，
∴∠CFD=∠CFE=90°，
∴∠ACD=∠CFD，
∵∠ADC=∠CDF，
∴△ACD∽△CFD，
∴ADCD=CDFD，
即CD2=AD⋅FD．
∵CF/​/BE，BC=CD，
∴DF=EF=1．
∵AE=3，
∴AD=AE+EF+DF=5，
∴CD2=5×1=5，
即CD= 5(负值已舍去)，
∴BD=2CD=2 5．
【解析】(1)连接OC，证明OC为△ABD中位线，再根据平行线的性质即可证得结果；
(2)先证明△ACD∽△CFD，得出CD2=AD⋅FD.再求出CD的长，即可得出答案．
本题考查切线的判定、圆周角定理、三角形的中位线定理、相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】解：(1)由题意得，
−1+b+c=0c=3，
∴b=−2c=3，
∴y=−x2−2x+3；
(2)如图，
连接OP，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴P(−1,4)，
∴PQ=4，OQ=1，
由−x2−2x+3=0得，
x1=1，x2=−3，
∴OA=3，
∴S四边形AOBP=S△AOP+S△BOP=12OA⋅PQ+12OB⋅OQ=12×3×4+12×3×1=152；
(3)设M(−1,m)，
由AM2=BM2得，
[(−3)−(−1)]2+m2=(−1)2+(m−3)2，
∴m=1，
∴M(−1,1)．
【解析】(1)将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；
(2)连接OP，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令y=0求得A的坐标，从而求得OQ，PQ，OA的长，再根据S四边形AOBP=S△AOP+S△BOP求得结果；
(3)设M(−1,m)，表示出AM和BM，根据AM2=BM2列出方程求得m的值，进而求得结果．
本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．−2
−1
1
2
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2
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−4
−1
2
−1
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1
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−1
2
2
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