2023-2024学年安徽省淮南实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是最简二次根式的是( )
A. 12B. 6C. 0.25D. 12
2.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a=b=cB. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. a：b：c=1：2：3D. a=3，b=4，c=5
3.等式 (1−x)2=x−1成立的条件是( )
A. x≥1B. x≥−1C. x≥1或x≤−1D. −1≤x≤1
4.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( )
A. B.
C. D.
5.若 18与最简二次根式 m+1能合并，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上.下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A. AF=CE
B. AE=CF
C. AE/​/CF
D. ∠BAE=∠DCF
7.已知直线a，b，c在同一平面内，且a/​/b/​/c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是( )
A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(2,3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于( )
A. 3和4之间
B. 4和5之间
C. 5和6之间
D. 6和7之间
9.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8S，则图中阴影部分的面积是( )
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
10.如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为( )
A. 12
B. 10
C. 9.6
D. 4.8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.使式子 2x+3x−2有意义的x的取值范围是______．
12.如图，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点.若AB=8，OE=3，则线段OC的长为______．
13.已知x= 3−2，y= 3+2，则1x+1y的值为______．
14.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB=10，BC=8，则OD的长为______．
15.如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB=3，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)| 5−2|+| 5−3|+ (−2)2；
(2)( 11−3)2+( 6+ 2)( 6− 2)．
18.(本小题8分)
(1)如图1在4×4的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点(网格的交点)上，画一个面积为2的平行四边形(矩形除外)．
(2)在图2在4×4的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中，中画一个△ABC，使其三边长分别为AB= 2，AC=2 2，BC= 10．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4.求AC的长．
20.(本小题10分)
如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，DE，EC，DE交BC于点O，∠A=12∠BOD．
求证：四边形BECD是矩形．
21.(本小题10分)
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时(即水平距离CD=6m)，踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是多少？
22.(本小题10分)
先观察下列等式，再回答问题：
① 1+112+122=1+11−12=112；
② 1+122+132=1+12−13=116；
③ 1+132+142=1+13−14=1112；
……
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：______；
(2)请利用上述规律计算 5049+164(仿照上式写出过程)；
(3)请利用你发现的规律，计算：
1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120232+120242−2024．
23.(本小题12分)
如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°点F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD与BC交于点H．
(1)求证：△BCG≌△EAG；
(2)求证：CD−CE= 2BE．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
B、 6是最简二次根式，该选项符合题意；
C、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
D、被开方数含有开方开得尽的因数4，不是最简二次根式，该选项不合题意；
故选：B．
根据二次根式的定义逐个判断即可求解．
本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵a=b=c，
∴△ABC是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=512×180°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵a：b：c=1：2：3，
∴b=2a，c=3a，
∴a2+b2=a2+(2a)2=5a2=( 5a)2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=32+42=25=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得，x−1≥0，
∴x≥1，
故选：A．
利用二次根式的性质列出不等式，解不等式即可得出结论
本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、∵AD=BC=4，AB=CD=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；
B、∵∠A=∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD//BC，
∵AD=BC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB=CD=3，AD=BC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解： 18=3 2，
∵ 18与最简二次根式 m+1能合并，
∴m+1=2，
∴m=1．
故选：B．
18=3 2， m+1能与3 2合并，则m+1=2，进而可求出m的值．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，即AF/​/CE．
又∵AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)，
该选项不符合题意．
B、无法证明四边形AECF为平行四边形，该选项符合题意．
C、∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，即AF/​/CE．
又∵AE/​/CF，
∴四边形AECF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形为平行四边形)，
该选项不符合题意．
D、∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，∠B=∠D．
又∵∠BAE=∠DCF，∠EAF=∠BAD−∠BAE，∠FCE=∠BCD−∠DCF，
∴∠EAF=∠FCE．
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠AFC=∠D+∠DCF，
∴∠AEC=∠AFC．
∴四边形AECF为平行四边形(两组对角分别相等的四边形为平行四边形)，
该选项不符合题意．
故选：B．
根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图①，a与c之间的距离为5+3=8(cm)；
如图②，a与c之间的距离为5−3=2(cm)．
∴a与c之间的距离为8cm或2cm．
故选：C．
分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．
8.【答案】A
【解析】解：∵点A坐标为(2,3)，
∴OA= 22+32= 13，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB= 13，
∵3< 13<4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAD+S△ECB
=12AD⋅h1+12CB⋅h2=12AD(h1+h2)
=12S四边形ABCD
=4．
故答案为：C．
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影=12S四边形ABCD．
本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质(平行四边形的两组对边分别相等)，要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM=12AE，
∴当AE取最小值时，FM的值最小，
由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，
在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，
∴CH=12AC=6，
∴BH= BC2−CH2= 102−62=8，
∴S△ABC=12×12×8=48，
又∵S△ABC=12×BC×AE，
∴12×10×AE=48，
∴AE=9.6，
∴FM=4.8，
故选：D．
由题意可知，当AE取最小值时，FM的值最小，在等腰三角形ABC中利用等腰三角形三线合一的性质求出BH的长，得出三角形ABC的面积，再根据等面积法求出AE的长即可得出结果．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出AE的值是解题的关键．
11.【答案】x≥−32且x≠2
【解析】解：由题意得：2x+3≥0且x−2≠0，
解得：x≥−32且x≠2，
故答案为：x≥−32且x≠2．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=12AD，
∵OE=3，
∴AD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠BCD=90°，
在Rt△ABD中，AD=6，AB=8，
由勾股定理得，BD= AB2+AD2= 82+62=10，
在Rt△BCD中，O是BD的中点，
∴OC=12BD=12×10=5，
故答案为：5．
先证OE是△ABD的中位线，即可求出AD的长，再根据勾股定理即可求出BD的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OC的长．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
13.【答案】−2 3
【解析】解：∵x= 3−2，y= 3+2，
∴x+y=2 3，xy=( 3−2)×( 3+2)=3−4=−1，
∴1x+1y
=yxy+xxy
=x+yxy，
=2 3−1
=−2 3，
故答案为：−2 3．
先求出x+y和xy的值，再根据分式的加法法则进行计算，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，能正确根据平方差公式计算是解此题的关键．
14.【答案】 73
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC,OD=OB，
由勾股定理得，AC= AB2−BC2=6，
∴OC=3，
由勾股定理得，OB= BC2+OC2= 73，
∴OD= 73，
故答案为： 73．
由平行四边形的性质可知，OC=12AC,OD=OB，由勾股定理求AC=6，则OC=3，由勾股定理得，OB= BC2+OC2，计算求解，进而可求OD的长．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
15.【答案】6 3
【解析】解：因为大正方形的面积为27，所以边长为 27=3 3，
因为小正方形的面积为12，所以边长为 12=2 3，
则阴影部分的宽是3 3−2 3= 3．
所以阴影部分的周长为：(2 3+ 3)×2=6 3．
故答案为：6 3．
根据两个正方形的面积求出各自的边长，从而得出阴影部分的宽，再根据矩形的周长公式即可得出答案．
本题考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题的关键．
16.【答案】(−3,2 55)或(−3, 22)
【解析】解：在长方形ABCO中，CO=AB=3，∠BCO=∠B=∠AOC=90°，
由折叠的性质可得AF=AB=3，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，
∵F恰好是边OC的三等分点，
∴当点F靠近点C时，CF=1，OF=2，
在Rt△AFO中，OA= 32−22= 5，
∴BC=OA= 5，
设CE=x，则BE=EF= 5−x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到EF2=CF2+CE2，
∴( 5−x)2=12+x2，
解得x=2 55，
∴点E的坐标是(−3,2 55)；
当点F靠近点O时，则CF=2，OF=1，
在Rt△AFO中，OA= 32−12=2 2，
∴BC=OA=2 2，
设CE=x，则BE=EF=2 2−x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到EF2=CF2+CE2，
∴(2 2−x)2=22+x2，
解得x= 22，
∴点E的坐标是(−3, 22)；
综上所述，点E的坐标是(−3,2 55)或(−3, 22)，
故答案为：(−3,2 55)或(−3, 22)．
由折叠的性质可得AF=AB=3，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，再分当点F靠近点C时，CF=1，OF=2，当点F靠近点O时，则CF=2，OF=1，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE的长，进而得到EF的长，在Rt△EFC中，由勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，掌握勾股定理是关键．
17.【答案】(1)解：原式= 5−2− 5+3+2
=2−2+ 5− 5+3
=3．
(2)解：原式=( 11)2−2× 11×3+32+( 6)2−( 2)2
=11−6 11+9+6−2
=11+9+6−2−6 11
=24−6 11．
【解析】(1)根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、二次根式的性质、完全平方公式和平方差公式．
18.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)；

(2)如图2中，△ABC即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形；
(2)利用勾股定理，数形结合的射线画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
19.【答案】解：∵BC=5，BD=3，CD=4，
∴BD2+CD2=32+42=25=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=180°−∠BDC=90°，
∴AD2+CD2=AC2．
设AC=x．
∵AB=AC，BD=3，
∴AD=x−3．
∴(x−3)2+42=x2．
解得x=256．
∴AC=256．
【解析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程即可解答．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键在于熟练掌握定理，灵活运用．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∵AB=BE，
∴BE=DC，
∵BE/​/CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴OD=OE，OC=OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A=12∠BOD．
∴∠BOD=2∠A，
∵∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【解析】先证四边形BECD为平行四边形，再证OC=OD，则BC=ED，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，AD=AB−BD=AB−(DE−BE)=x−(4−1)=(x−3)米，DC=6米，AC=x米，
∴AB2+DC2=AC2，
即x2=(x−3)2+62，
解得：x=7.5，
答：绳索AC的长是7.5．
【解析】设绳长为x m，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
22.【答案】 1+142+152=1+14−15=1120
【解析】解：(1) 1+142+152= 1+116+125= 441400=2120=1+14−15=1120，
故答案为： 1+142+152=1+14−15=1120；
(2) 5049+164
= 1+149+164
= 1+172+182
=1+17−18
=1156；
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120232+120242−2024
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯+1+12023−12024−2024
=2024−12024−2024
=−12024．
(1)从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；
(2)根据(1)找的规律进行计算即可；
(3)根据规律得出算式，最后求解即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，以及找规律，解题关键在于通过仔细观察找出式子和数之间的关系，并用关系式表示出来．
23.【答案】证明：(1)∵CG⊥AB，∠ABF=45°，
∴∠GEB=∠EBG=45°，
∴EG=BG．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAH=∠AHB，
∵AE⊥AD，
∴∠AHB=∠HAD=90°，
∴∠BAH+∠ABH=∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠GAE=∠GCB．
在△BCG与△EAG中，
∠AGE=∠CGB=90°∠GAE=∠GCBGE=BG，
∴△BCG≌△EAG(AAS)．
(2)∵△BCG≌△EAG，
∴AG=CG，
∵∠CGB=90°，
∴EG=BG= 22BE，
∴AB=AG+BG=CE+EG+BG，
∴CE+ 2BE=AB=CD，
∴CD−CE= 2BE．
【解析】(1)由“AAS”可证△BCG≌△EAG；
(2)由全等三角形的性质可得CG=AG，由等腰直角三角形的性质可得BG=EG= 22BE，由线段的和差关系可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键．