2023-2024学年安徽省淮南市田家庵区八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年安徽省淮南市田家庵区八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝50°，∠C'＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．100°
2．已知一个等腰三角形的两边长分别是2cm，4cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．8cm或10cm
3．下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝2，△ABD的周长是15，则△ABC的周长为（ ）
A．15B．17C．19D．13
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（ ）
A．5：2B．2：5C．1：2D．1：5
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
8．如图，EF＝CF，BF＝DF，则下列结论错误的是（ ）
A．△BEF≌△DCFB．△ABC≌△ADEC．AB＝ADD．DC＝AC
9．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（ ）
A．127.5°B．135°C．120°D．105°
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，DF∥EB．若∠D＝75°，则∠ACD的度数为 ．
12．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥AB于点E，若AC＝8，则AD+DE的值为 ．
13．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
14．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E．
（1）若AE＝4，则DE的长为 ；
（2）若AB＝10，则DE的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，作出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
16．尺规作图（保留作图痕迹）．如图，在∠ABC内求作一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且PG＝PH．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
18．以点A为顶点作两个等腰直角△ABC，△ADE，其中AD＝AE，AB＝AC，如图所示放置，D在AC边上，连接BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，AC＝AE，BC＝BD，
（1）若∠A＝20°，∠B＝40°，则∠DCE＝ ．
（2）若∠ACB＝110°，求∠DCE的度数．
七、（本题满分12分）
22．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分∠FAN；
（3）设∠FAN＝α，其他条件不变时，∠FPN的度数是 ．（用含α的代数式表示）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝50°，∠C'＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
2．已知一个等腰三角形的两边长分别是2cm，4cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．8cm或10cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，所以这个等腰三角形的两条腰长应该是8厘米，由此把三条边加起来即可．
解：∵2+2＝4（cm），4cm＝4cm，不符合三角形三边条件，
∴这等腰三角形的两条腰长是4cm，
∵4+4+2＝10（cm），
∴这个等腰三角形的周长是10cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键．
3．下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝2，△ABD的周长是15，则△ABC的周长为（ ）
A．15B．17C．19D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝4，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝2，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝4，
∵△ABD的周长为15，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝15，
，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15+4＝19，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（ ）
A．5：2B．2：5C．1：2D．1：5
【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DA，然后利用三角形的面积公式求S1：S2的值．
解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
8．如图，EF＝CF，BF＝DF，则下列结论错误的是（ ）
A．△BEF≌△DCFB．△ABC≌△ADEC．AB＝ADD．DC＝AC
【分析】利用SAS判断A选项，利用AAS判断B选项，再利用全等三角形的性质逐一选项判断C、D即可．
解：在△BEF和△DCF中，
，
∴△BEF≌△DCF（SAS），故选项A正确，不合题意；
∵△BEF≌△DCF，
∴∠B＝∠D，
∵BF＝DF，EF＝CF，
∴BF+CF＝DF+EF，
∴BC＝DE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），故选项B正确，不合题意；
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，故选项C正确，不合题意；
∵△BEF≌△DCF，
∴DC＝BE，证不出DC＝AC，
∴选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS是解题的关键．
9．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（ ）
A．127.5°B．135°C．120°D．105°
【分析】根据平行线的性质求出∠ACF＝∠DFE＝45°，根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
解：∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，
∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，
∵AC∥EF，
∴∠ACF＝∠DFE＝45°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝×（180°﹣∠ACF）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝127.5°，
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等边对等角”是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，DF∥EB．若∠D＝75°，则∠ACD的度数为 20° ．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数，由DF∥EB，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠CEB的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠ACD的度数．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
∵DF∥EB，
∴∠CEB＝∠D＝75°．
又∵∠CEB是△ACE的外角，
∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝75°﹣55°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及平行线的性质，利用三角形内角和定理及平行线的性质，找出∠A及∠CEB的度数是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥AB于点E，若AC＝8，则AD+DE的值为 8 ．
【分析】连接BD，由DE⊥AB于点E，得∠BED＝∠C＝90°，即可由BD＝BD，BE＝BC，根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BED≌Rt△BCD，得DE＝DC，所以AD+DE＝AD+DC＝AC＝8，于是得到问题的答案．
解：连接BD，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于点E，
∴∠BED＝∠C＝90°，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴DE＝DC，
∴AD+DE＝AD+DC＝AC＝8，
故答案为：8．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线并且证明Rt△BED≌Rt△BCD是解题的关键．
13．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
14．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E．
（1）若AE＝4，则DE的长为 4 ；
（2）若AB＝10，则DE的长为 5 ．
【分析】（1）证明∠EAD＝∠EDA，此为解题的关键性结论；证明∠EAD＝∠EDA，即可解决问题．
（2）证明DE为直角△ABD斜边的中线，即可解决问题．
解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，
∴∠EAD＝∠CAD，∠EDA＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴DE＝AE＝4，
故答案为：4；
（2）∵BD⊥AD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EBD+∠EAD＝∠BDE+∠EDA，
∴∠EBD＝∠BDE，
∴DE＝BE．
∵∠EAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，
∵DE＝BE，
∴DE＝AB＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，作出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）根据△ABC平移变换，分别写出点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）平移后的坐标A1（1，2），B1（4，﹣1），C1（﹣1，﹣2），连接各点即可；
（2）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得出三顶点的对应点，顺次连接得到答案．
解：（1）如图，
分别写出点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）平移后的坐标A1（1，2），B1（4，﹣1），C1（﹣1，﹣2），连接各点，
∴△A1B1C1即为所求；
（2）如图，分别作A1（1，2），B1（4，﹣1），C1（﹣1，﹣2）关于x轴对称的点A2（1，﹣2），B2（4，1），C2（﹣1，2），连接各点，
∴△A2B2C2即为所求，B2（4，1）．
【点评】此题考查了利用轴对称和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
16．尺规作图（保留作图痕迹）．如图，在∠ABC内求作一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且PG＝PH．
【分析】连接GH，作出线段GH的垂直平分线和∠ABC的平分线，线段GH的垂直平分线和∠ABC的平分线的交点即为点P．
解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
18．以点A为顶点作两个等腰直角△ABC，△ADE，其中AD＝AE，AB＝AC，如图所示放置，D在AC边上，连接BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，可证明△ABD≌△ACE，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，从而得到∠ABD+∠AEC＝90°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABD≌△ACE（已证），
∴∠ABD＝∠ACE（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣（∠ABD+∠AEC）＝90°，
∴∠BFC＝90°．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
【分析】甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案根据等腰三角形的性质得出AB＝BC，故方案可行．
解：甲、乙两同学的方案都可行，
甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
∵AD＝CD，DB⊥AC于点B，
∴AB＝BC，
∴测量出线段BC的长度就是池塘两端A，B之间的距离，
∴甲、乙两同学的方案都可行．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
20．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
【分析】（1）由平行线的性质证得∠E＝∠CBD，根据全等三角形判定证得△BCD≌△EFD，由全等三角形的性质即可得到CD＝DF；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠A．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠E＝∠CBD，
在△BCD和△EFD中，
，
∴△BCD≌△EFD（ASA），
∴CD＝DF；
（2）解：∵BG＝GE，
∴∠GBE＝∠E＝25°，
由（1）知∠E＝∠CBD＝25°，
∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．解题的关键：（1）证明△BCD≌△EFD；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，AC＝AE，BC＝BD，
（1）若∠A＝20°，∠B＝40°，则∠DCE＝ 30° ．
（2）若∠ACB＝110°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据等三角形的性质和三角形内角和定理，分别计算出∠BDC和∠AEC，再由三角形内角和定理进行求解即可；
（2）设∠BCD＝∠BDC＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，得α+β﹣∠DCE＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得到α+β与∠DCE的数量关系，从而求得∠DCE的度数．
解：（1）∵BC＝BD，∠B＝40°，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠B）＝×（180°﹣40°）＝70°．
∵AC＝AE，∠A＝20°，
∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣20°）＝80°．
∴∠DCE＝180°﹣∠BDC﹣∠AEC＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
（2）设∠BCD＝∠BDC＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，
∴α+β﹣∠DCE＝∠ACB＝110°，
∴∠DCE＝（α+β）﹣110°＝（180°﹣∠DCE）﹣110°，
∴∠DCE＝35°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用它是正确解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 4 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可；
（2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可；
（3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可．
解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得：
t+2t＝AC+AB+BC＝12，
解得：t＝4；
故答案为：4；
（2）如图1：若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8），
解得：t＝；
（3）PQ与AC互相垂直，理由如下：
如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP，
取AQ的中点N，
∵∠PAQ＝60°，
∴△APN是等边三角形，
∴PN＝AN＝NQ，
∴△APQ是直角三角形，
∴∠APQ＝90°，
即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题关键．
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分∠FAN；
（3）设∠FAN＝α，其他条件不变时，∠FPN的度数是 ．（用含α的代数式表示）
【分析】（1）连接PA，PB，PC，根据线段垂直平分线的性质可得PB＝PC，即可判定；
（2）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质即可求解；
（3）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【解答】（1）证明：如图，连接PA，PB，PC．
∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
（2）证明：由（1）知PB＝PC，
∴∠PBF＝∠PCN，
∵PE垂直平分AB，
∴PA＝PB，FA＝FB，
∴∠PAB＝∠PBA，∠FAB＝∠FBA，
∴∠PAF＝∠PBF，
同理∠PAN＝∠PCN，
∴∠PAF＝∠PAN，即AP平分∠FAN．
（3）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝90°，
设∠B＝x，∠C＝y，
∴∠B＝x＝∠BAF，∠C＝y＝∠CAN，
在△ABC中，∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝α，
∴x+y+x+y+α＝180°，即，
在四边形AEPM中，∠AEP+∠AMP+∠EAM+∠FPN＝360°，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．