内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗联盟校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

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满分：100分 时间：100分钟
一、选择题（每题3分，共10题30分）
1. 二次根式中，x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义条件．根据二次根式有意义的条件可得，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
2. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则进行计算即可．
【详解】A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解答关键是根据相关运算法则进行计算．
3. 在中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，即可．
【详解】∵在中，，，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定方法以及矩形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法以及矩形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不合题意；
B、两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，是假命题，符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，不合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不合题意；
故选：B．
5. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（ ）
A. B. πC. D. π
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AB，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，
∴BC＝AC＝1，
由勾股定理得，AB＝，
∴两个月形图案的面积之和＝×π×（）2+×π×（）2+×1×﹣×π×12＝，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6. 若，则化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有意义可得，再结合，化简．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键．
7. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ）
A. 3B. 4C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，于点M，
∴，
∵N是的中点，
∴；
故选D．
8. 如图，在中，，点P为边上任一点，过P作于E，于F，则线段的最小值是（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，证四边形是矩形，根据矩形的性质得出，根据垂线段最短得出时，最短，然后根据三角形的面积公式求出此时值即可．
详解】解：如图，连接，
，，，
，
四边形是矩形，
，
当时，最小，即最小，
，
，
由三角形面积公式得，
，
即的最小值是，
故选：C．
9. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（ ）
A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺
【答案】D
【解析】
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则＝5尺，设出AB＝＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.
【详解】解：设芦苇长AB＝＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键.
10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质即可得∠DAB=120°，又AE平分则可得∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE，即三角形ABE为等边三角形，则可判断①；根据结合勾股定理即可判断③和④；AO=CO，BE=CE，则OE为三角形ABC的中位线，利用中位线的性质即可判断②；△AOE与△BOE为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断⑤．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，，AO=CO，
∴∠DAB=120°，
又∵AE平分，
∴∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE，
∴三角形ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，
又∵，BC=4，
∴EC=2=AE=BE，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，故①正确，
∵∠BAC=90°，
，
，故③正确，，
∴，，
，故④正确，
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE为三角形ABC的中位线，
，，
∴OE=1，
又∵BC=4，
∴，故②正确，
∵△AOE与△BOE为同底等高的三角形，
，
，
，故⑤正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、角平分线的性质、中位线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断．
二、填空题（每题3分，共7题21分）
11. 已知，则的值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，将式子运用配方法变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
12. 如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．
【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵DE=BF
∴OD-DE=OB-BF
即OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：DE=BF（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．
13. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是________．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，根据三角形面积公式和网格的特点求出的面积，利用面积相等，即可得到答案．此题考查了勾股定理、网格中求三角形的面积等知识，熟练掌握等积法是解题的关键．
【详解】由图形，根据勾股定理可得，
设边上的高是h，
则，，
∴，解得，
故答案为：
14. 若1＜x＜2，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意确定与的符号，根据绝对值和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵1＜x＜2
∴，
∴，
∴原式
故答案为1．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题关键．
15. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， ∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=62°，则∠BEF的度数为_______．
【答案】84°
【解析】
【分析】根据直角三角形性质得到∠DAC=90°-∠D，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°-2∠D ，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠CAD=90°-∠D ，再根据∠FEB=∠FEC+∠CEB求解即可．
【详解】解析：∵∠ACD=90°,∠D=62°，
∴∠DAC=90°-∠D，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°-∠D ，
又∵∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE=AE=EC，
∴∠EAB= ∠EBA=90°-∠D ，∠CEB=180°-2∠D ，
∵E、F分别为AC、CD的中点
∴EF // AD，
∴∠CEF=∠CAD=90°-∠D ，
∴∠BEF=180°-2∠D +90°- ∠D =270°-3∠D=270°-362°=84°．
故答案为：84°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
16. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】设FC'=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6，点C'为AD的中点，即可得出C'D的长度．在Rt△FC'D中，利用勾股定理即可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
【详解】设FC'=x，则FD=9﹣x．
∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C'为AD的中点，∴AD=BC=6，C'D=3．
在Rt△FC'D中，∠D=90°，FC'=x，FD=9﹣x，C'D=3，∴FC'2=FD2+C'D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理．在Rt△FC'D中，利用勾股定理找出关于FC'的长度的方程是解题的关键．
17. 正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，同理可得，，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：如图，
∵正方形的边长为1，△CDE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理，
，
……，
由此发现，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及规律型，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．
三、解答题（共49分）
18. 计算题
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算等知识，实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（1）先根据完全平方公式及平方差公式进行展开，再进行加减运算即可求解；
（2）先根据有关运算法则进行化简，再进行实数的加减运算即可求解．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
．
19. 如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）试说明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）S阴影=96.
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；（2）根据S阴影=SRt△ABC-SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：（1）∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD
=×10×24﹣×8×6=96．
20. 如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF.
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：AE∥CF.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形性质得出AB=DC，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，推出∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的判定推出△DAE≌△BCF，即可得；
（2）由△DAE≌△BCF，得出∠DEA＝∠BFC，从而得∠AEF＝∠DFC，继而得AE∥CF.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠CDE，∠ADE＝∠CBF，
在△DAE和△BCF中，，
∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE＝CF；
（2）∵△DAE≌△BCF，∴∠DEA＝∠BFC，∴∠AEF＝∠DFC，∴AE∥CF.
21. 观察下列各式：
；
；
．
回答下列问题：
（1）______；
（2）当为正整数时，______；
（3）计算的值．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解．
本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律．
【小问1详解】
．
故答案为：
【小问2详解】
．
故答案为：
【小问3详解】
．
22. 在四边形ABCD中，AD=BC，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠D=63°，∠G=42°，求∠GEC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠GEC=105°
【解析】
【分析】（1）先证△COE≌△AOF中（SAS），得出∠OBE＝∠ODF可证AD//BC，再结合AD=BC即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝63°，再由三角形的外角性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF中（SAS），
∴∠OCE＝∠OAF，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠D＝63°，
∴∠BEG＝∠B+∠G＝63°+42°＝105°．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键．
23. 已知：如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，进而得出∠ADE=∠CBF，利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用矩形的判定解答即可．
【详解】（1）∵▱ABCD，∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE=∠CBF=∠BDE=∠DBF．在△ADE与△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）当AD=BD时．理由如下：
∵DE平分∠ADB，∴DE⊥BE，∴∠DEB=90°．
∵△ADE≌△CBF，∴DE=BF．
∵∠EDB=∠DBF，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形．
∵∠DEB=90°，∴平行四边形DEBF是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：平行四边形的对边平行，对角相等．
24. （1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状.
【详解】证明：（1）的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.