2024年广东省梅州市中考数学模拟试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年广东省梅州市中考数学模拟试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是一个正方体六个面的展开图，则文字“当”在原正方体中所对面的文字是( )
A. 有
B. 理
C. 想
D. 能
2.下列四个数字中，绝对值最小的是( )
A. −2B. −3C. 1D. 12
3.计算：(−3)2×23−4÷(−2)=( )
A. −8B. 8C. −4D. 4
4.如图所示，在平面直角坐标系中，点P(0,2)关于M(1,0)的对称点Q的坐标为( )
A. (0,−2)
B. (1,−2)
C. (2,−2)
D. (2,2)
5.已知直线m//n，将一块含45∘角的直角三角板ABC按如图方式放置.若∠2=25∘，则∠1的度数为( )
A. 20∘
B. 30∘
C. 15∘
D. 25∘
6.实数a、b在数轴上的位置如图所示：那么|a−b|+ (a+b)2的结果是( )
A. 2aB. 2bC. −2aD. −2b
7.如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点B，水平移动一个含60∘角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点A.小明测量出AB=2cm，则这枚徽章的半径是cm.( )
A. 3 32B. 2 3C. 3 2D. 4
8.有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有四个小球，分别标有数字1，2，3，4，乙袋装有三个小球，分别标有数字1，2，3，这些小球除数字不同外其余都相同.现从甲、乙两袋中各随机摸出一个小球，则“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC，AB>CD，点Q沿AB从点A出发向点B匀速移动.过点Q作PQ⊥AB，交折线AD−DC−CB于点P，记△APQ的面积为y，则y关于时间t的函数图象大致( )
A.
B.
C.
D.
10.如图所示，在△ABC中，D为BC中点.E为AB上一点，AE=12EB，CE和AD相交于点F，则CFFE=( )
A. 32
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.《2023年广东省国民经济和社会发展统计公报》显示，2023年末，广东省常住人口12706万人，将127060000用科学记数法表示为______.
12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根是3，则3a+b=______.
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=8，AB=5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE=______.
14.已知100克的糖水中含有10克糖，再添加m克糖，溶解后糖水变甜了(即浓度比例变大).将这一现象表示为不等式：______.
15.已知二次函数y=−x2+2x+3当−1≤x≤2时，y的取值范围为______.
16.在直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=6，点P是△ABC内一点，满足∠CBP=∠ACP，则PA的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−4x)÷x2−4x+4x，其中x=3.
18.(本小题6分)
某同学解一个关于x的一元一次不等式组{x−m⩽1①5+2x>−1②，已知不等式①的解集如图所示.
(1)求m的值；
(2)解此不等式组，并在数轴上表示出解集.
19.(本小题6分)
如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题.(要求：作图只用无刻度的直尺)
(1)作∠AOB，使得cs∠AOB=35；
(2)作出∠AOB的角平分线OC，并简要说明点C的位置是如何找到的(不用证明).
20.(本小题9分)
如图所示，在平面直角坐标系中，函数y=−2x+b与y=kx的图象相交于P，Q两点，已知点P的坐标为(1,4).
(1)求函数y=−2x+b与y=kx的解析式；
(2)求点Q的坐标；
(3)求△OPQ的面积.
21.(本小题9分)
为调查学生对客家文化的了解程度，某校从300名九年级学生中随机抽取了50名学生进行“我爱客家文化”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”“较好”“一般”“较差”四类统计分析，并绘制了如下扇形统计图.
(1)在抽取的学生中，成绩为“较好”的所占比例为多少？
(2)在抽取的学生中，成绩为“较差”的有多少人？
(3)根据抽查数据，估计该校九年级学生成绩为“很好”的学生有多少人？
22.(本小题9分)
周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米.
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒.两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒.按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由.
23.(本小题9分)
如图所示，在△ABC中，∠ABC=90∘，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD.
(1)若∠C=30∘，求ADCD的值；
(2)过点D作⊙O的切线，交BC 于点E，求证：E是BC的中点.
24.(本小题9分)
如图所示，在正方形ABCD内有一点P，且PA=3，PB=2，PC=1.将线段BP绕点B逆时针旋转90∘得到线段BP′，连接AP′、PP′；
(1)求证：△PBC≌△P′BA；
(2)求∠BPC的度数.
25.(本小题9分)
如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(5,0)，B(−1,0)，C(0,−5).
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
(2)直线x=t(0答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“当”与“想”是相对面，
故选：C.
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字问题，注意正方体的空间图形，从相对面进行分析解答．
2.【答案】D
【解析】解：|−2|=2，|−3|=3，|1|=1，|12|=12，
又∵12<1<2<3，
∴绝对值最小的数是12，
故选：D.
先求每个数的绝对值，然后比较即可．
本题考查了有理数的大小比较，绝对值，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：(−3)2×23−4÷(−2)
=9×23+(−4)÷(−2)
=6+2
=8，
故选：B.
先算乘方，再算乘法，然后算加减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题知，
∵点P和点Q关于点M对称，
∴xP+xQ2=xM,yP+yQ2=yM.
又∵点P坐标为(0,2)，点M坐标为(1,0)，
∴xQ=2×1−0=2，yQ=2×0−2=−2，
则点Q的坐标诶(2,−2).
故选：C.
根据点P和点Q关于点M对称，得出它们横纵坐标之间的关系，结合点P和点M的坐标即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化-对称，能根据点P和点Q关于点M对称，得出它们横纵坐标之间的关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠2=25∘，
∴∠3=180∘−90∘−25∘=65∘，
∵m//n，
∴∠4=∠3=65∘，
∵∠B=45∘，
∴∠1=∠4−∠B=65∘−45∘=20∘.
故选：A.
由平角定义求出∠3=65∘，由平行线的性质推出∠4=∠3=65∘，由三角形外角的性质得到∠1=∠4−∠B=20∘.
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4=∠3，由三角形外角的性质即可求出∠1的度数．
6.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：a−b>0，a+b<0，
则原式=a−b−(a+b)
=a−b−a−b
=−2b.
故选：D.
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各式是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：设圆的圆心为O点，连接OB、OA，如图，
∵AB、AC为⊙O的切线，
∴OA平分∠BAC，OB⊥AB，
而∠BAC=180∘−60∘=120∘，
∴∠OAB=12∠BAC=60∘，
在Rt△OAB中，∵AB=2cm，
∴OA=2AB=4cm，
∴OB= 42−22=2 3(cm).
即这枚徽章的半径是2 3cm.
故选：B.
设圆的圆心为O点，连接OB、OA，如图，先根据切线长定理和切线的性质得到OA平分∠BAC，OB⊥AB，则∠OAB=12∠BAC=60∘，然后利用含30度角的直角三角形三百年的关系得到OA=4cm，最后利用勾股定理计算出OB即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和含30度角的直角三角形三边的关系．
8.【答案】B
【解析】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中“摸到的两个数字之和为偶数”的结果有：(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，共6种，
∴“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为612=12.
故选：B.
列表可得出所有等可能的结果数以及“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设点Q的运动速度为v，时间为t，
∴AQ=vt，
当点P运动在AD上时，PQ=vt⋅tan∠A，
∴y=12AQ⋅PQ=12v2⋅tan∠A⋅t2，
∴图象为开口向上的抛物线，
设梯形高为h，
当点P在DC上时，y=12AQ⋅PQ=12vht，
∴图象为直线，
设AB=a，
当点P在BC上时，BQ=a−vt，PQ=(a−vt)⋅tan∠B，
∴y=12AQ⋅PQ=−12v2⋅tan∠B⋅t2+12va⋅tan∠B⋅t，
∴图象为开口向下的抛物线，
故选：D.
设点Q的运动速度为v，时间为t，设梯形高为h，设AB=a，分别求出当点P运动在AD上时，当点P在DC上时，当点P在BC上时的函数关系式，即可判断出图象．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点E作EM//BC，交AC于点M，交AD于点N，如图所示.
∵EM//BC，
∴EMBC=AEAB=12EB12EB+EB=13，ENBD=ANAD=MNCD，
∵D为BC中点，
∴BD=CD=12BC，
∴EN=MN=12EM.
∵EN//CD，
∴CFFE=CDEN=12BC12EM=3.
故选：C.
过点E作EM//BC，交AC于点M，交AD于点N，由EM//BC，利用平行线分线段成比例，可得出EMBC=13，ENBD=MNCD，结合D为BC中点，可得出BD=CD=12BC，EN=MN=12EM，由EN//CD，再利用平行线分线段成比例，即可求出CFFE=CDEN=3.
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
11.【答案】1.2706×108
【解析】解：127060000=1.2706×108.
故答案为：1.2706×108.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】−2
【解析】解：把x=3代入关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0得：9a+3b+6=0，
9a+3b=−6，
∴3a+b=−2，
故答案为：−2.
把x=3代入关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0得关于a，b的等式，再根据等式的基本性质进行变形即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
13.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE//BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵BC=8，CD=5，
∴DE=AD−AE=8−5=3.
故答案为：3.
根据四边形ABCD为平行四边形可得AE//BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB.
14.【答案】10+m100+m>10100
【解析】解：根据题意得：10+m100+m>10100.
故答案为：10+m100+m>10100.
表示出加糖前后的浓度，再用不等号连接即可．
本题考查了不等式，解题的关键是读懂题意列出不等式．
15.【答案】0≤y≤4
【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，
∵−1≤x≤2，
∴当x=−1时，y取得最小值0；当x=1时，y取得最大值4；
∴当−1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4，
故答案为：0≤y≤4.
根据二次函数y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，可知该函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，然后即可写出当−1≤x≤2时，y的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】2
【解析】解：如图，取BC的中点O，连接OP，AO，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACP+∠BCP=90∘，
∵∠CBP=∠ACP，
∴∠CBP+∠BCP=90∘，
∴∠CPB=90∘，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，
在△APO中，AP≥AO−OP，
∴当点P在线段AO上时，PA有最小值，
∵点O是BC的中点，∠BPC=90∘，
∴PO=CO=12BC=3，
在Rt△ACO中，∵AC=4，OC=3，
∴AO= 32+42=5，
∴PA的最小值=5−3=2.
故答案为：2.
取BC的中点O，连接OP，AO，由角的和差关系可知∠BPC=90∘，得点P在以BC为直径的圆上运动，则当点P在线段AO上时，PA有最小值，根据三角形的三边关系，从而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，确定点P的运动路径是解题的关键．
17.【答案】解：原式=x2−4x⋅x(x−2)2
=(x+2)(x−2)x⋅x(x−2)2
=x+2x−2.
当x=3时，
上式=3+23−2=5.
【解析】先计算括号，再计算乘除，最后代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
18.【答案】解：(1)解不等式①得：x≤1+m，
由题意得：不等式①的解集为：x≤3，
∴1+m=3，
解得：m=2；
(2){x−m⩽1①5+2x>−1②，
解不等式①得：x≤3，
解不等式①得：x>−3，
∴原不等式组的解集为：−3∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】(1)先解不等式①可得：x≤1+m，然后根据题意可得：不等式①的解集为：x≤3，从而可得1+m=3，最后进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，在线段OA上取点C，使OC=3，在点C的上方取点B，使BC=4，连接OB，
则OB= 32+42=5，
则cs∠AOB=OCOB=35，
则∠AOB即为所求．
(2)如图，在线段OA上取点D，使OD=5，连接BD，再取BD的中点C，作射线OC，
则射线OC即为所求．

【解析】(1)在线段OA上取点C，使OC=3，在点C的上方取点B，使BC=4，连接OB，则∠AOB即为所求．
(2)结合等腰三角形的性质，在线段OA上取点D，使OD=5，连接BD，再取BD的中点C，作射线OC即可．
本题考查作图-应用与设计作图、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)∵点P(1,4)是两个函数的交点，
∴4=−2+b，即b=6，k=4，
∴一次函数解析式为：y=−2x+6，反比例函数解析式为y=4x；
(2)联立两个函数解析式得：
y=−2x+6y=4x，解得x=1y=4，x=2y=2，
∴Q(2,2)，
(3)设直线PQ与y轴交于点A，则A(0,6)即OA=6，
∴S△POQ=S△QAO−S△PAO=12×6×2−12×6×1=3.

【解析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)联立两个函数解析式求出点Q坐标即可；
(3)设直线PQ与y轴交于点A，则A(0,6)即OA=6，利用S△POQ=S△QAO−S△PAO代入数据计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21.【答案】解：(1)144360×100%=40%，
答：在抽取的学生中，成绩为“较好”的所占比例为40%；
(2)50−8−40%×50−30%×50=7(人)，
答：在抽取的学生中，成绩为“较差”的有7人；
(3)840×300=60(人)，
答：估计该校九年级学生成绩为“很好”的学生有60人．
【解析】(1)将“较好”所在圆心角度数除以360∘，再化成百分比即可；
(2)将50减去其他3类人数，即可求出在抽取的学生中，成绩为“较差”的有多少人；
(3)将“很好”所占比乘以300，即可估计该校九年级学生成绩为“很好”的学生有多少人．
本题考查扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设小明的速度为x米/秒，他的爸爸的速度为y米/秒，
由题意得：36+36y=400180y−180x=400，
解得：x=409y=203，
答：小明的速度为409米/秒，他的爸爸的速度为203米/秒；
(2)∵小明到400米终点需要的时间为400÷5=80(秒)，他的爸爸到400米终点需要的时间为2006+2004=8013(秒)，
∵80<8013，
∴小明能在400米终点前追上爸爸，
设小明追上爸爸需要的时间为m秒，则追上时距离终点还有(400−5m)米，
由题意得：5m=200+4(m−2006)，
解得：m=2003，
∴400−5m=400−5×2003=2003，
答：小明能在400米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有2003米．
【解析】(1)设小明的速度为x米/秒，他的爸爸的速度为y米/秒，根据若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)求出小明和爸爸到400米终点需要的时间，得出小明能在400米终点前追上爸爸，设小明追上爸爸需要的时间为m秒，则追上时距离终点还有(400−5m)米，根据追上时小明和爸爸的路程相等，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】(1)解：∵∠ABC=90∘，∠C=30∘，
∴∠A=60∘，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90∘，
∴∠ABD=30∘，
∴AD= 33BD，CD= 3BD，
∴ADCD= 33BD 3BD=13；
(2)证明：连接OD，OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90∘，
在Rt△OBE与Rt△ODE中，
OD=OBOE=OE，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠DBC+∠C=∠BDE+∠CDE=90∘，
∴∠CDE=∠C，
∴DE=CE，
∴BE=CE，
∴E是BC的中点．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理得到∠A=60∘，根据圆周角定理得到BD⊥AC，求得AD= 33BD，CD= 3BD，于是得到结论；
(2)连接OD，OE，根据切线的性质得到∠ODE=90∘，根据全等三角形的性质得到DE=BE，等量代换即可得到结论．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，PA=3，PB=2，PC=1，线段BP绕点B逆时针旋转90∘得到线段BP′，
∴BP=BP′，BA=BC，∠P′BA=∠PBC，
∴△PBC≌△P′BA(SAS)；
(2)解：∵△PBC≌△P′BA，
∴P′A=PC=1，PP′= 2PB=2 2，
∴P′A2+P′P2=1+8=32=PA2，
∴∠AP′P=90∘，
∴∠BPC=∠AP′B=90∘+45∘=135∘.
【解析】(1)由正方形ABCD，PA=3，PB=2，PC=1，线段BP绕点B逆时针旋转90∘得到线段BP′，得BP=BP′，BA=BC，∠P′BA=∠PBC，即可得△PBC≌△P′BA(SAS)；
(2)由△PBC≌△P′BA，得P′A=PC=1，PP′= 2PB=2 2，得P′A2+P′P2=1+8=32=PA2，得∠AP′P=90∘，即可得∠BPC=∠AP′B=90∘+45∘=135∘.
本题主要考查了三角形旋转，解题关键是构造全等三角形．
25.【答案】解：(1)由题意得，抛物线的表达式为：y=a(x−5)(x+1)=a(x2−4x−5)，
则−5a=−5，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−4x−5；
(2)存在，理由：
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x−5，
则点P(t,t2−4t−5)、点Q(t,t−5)，
由点P、Q、C的坐标得，PQ2=(−t2+5t)2，PC2=t2+(t2−4t)2，CQ2=2t2，
当PQ=CQ时，
则(−t2+5t)2=2t2，
解得：t=0(舍去)或3或4；
当PQ=PC或PC=CQ时，
则(−t2+5t)2=t2+(t2−4t)2或t2+(t2−4t)2=2t2，
解得：t=5− 2或3，
综上，t=5− 2或3或4.
【解析】(1)由的待定系数法即可求解；
(2)当PQ=CQ时，列出等式即可求解；当PQ=PC或PC=CQ时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、函数表达式得求解，分类求解是解题的关键．1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)