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2021年广东省梅州市中考数学模拟试卷 解析版
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这是一份2021年广东省梅州市中考数学模拟试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省梅州市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2021 B．π C．3.14159 D．
2．（3分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会顺利召开，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数据98990000用科学记数法表示为（ ）
A．98.99×106 B．9.899×107 C．9.899×108 D．0.9899×108
3．（3分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康危害也就越大．如图，某市2021年3月7日0时到7时的空气质量指数实时监测（整点监测一次）数据绘制成的折线图，根据图示信息，这组数据的众数是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝145°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．（3分）不等式2（1﹣x）≥4﹣3x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，则抛物线y＝x2+2x+m的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如图，边长为1的等边三角形A'B'C'开始在边长为2的等边三角形ABC左边，C'点与B点重合，大三角形固定不动，然后把小三角形沿BC边自左向右平移，直至移出大三角形外停止（B'点与C点重合），设小三角形移动距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的一点，DE＝4，AE＝8，将正方形边CD沿CE折叠到CF，延长EF交AB于点G，连接CG，AF，如下4个结论：①∠ECD+∠BCG＝45°；②G为AB中点；③AF∥CG；④．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）因式分解：2a2﹣12a＝ ．
12．（4分）计算：＝ ．
13．（4分）已知x+y＝﹣3，xy＝2，则x2y+xy2＝ ．
14．（4分）菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝30°，以CD为直径的⊙O交BC于点E，则的弧长为 ．
15．（4分）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD．若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为 ．
16．（4分）如图，数学学习小组要测量一棵树CE的高度，一名小组成员站在距离树10米的点B处，测得树的顶部E的仰角为34°．已知测角仪的架高AB＝1米，则这棵树的高度约为 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin34°≈0.5592，cos34°≈0.8290，tan34°≈0.6745）
17．（4分）如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，学校开展了禁毒知识讲座和知识竞赛，从全校1600名学生中随机抽取部分学生的竞赛试卷进行调查分析，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“一般”四类，并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，估计该校1600名学生中“合格”的学生有 人；
（2）请补全条形统计图（提示：要标上人数）；
（3）被调查的学生中，前4名学生有2名男生B1，B2和2名女生G1，G2，若再从这4名学生中随机抽取2人代表学校参加教育局组织的禁毒演讲比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．（6分）如图，在等边△ABE下方作一个正方形BCDE，连接AC，AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠CAD的度数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，⊙O是直径为6的圆，AB，CD是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AF⊥CD于点E，AF＝12，点H在CD的延长线上，AF和HB相交于点G．
（1）若tanG＝，求GH的长度；
（2）若OH＝15，求证：GH是⊙O的切线．
23．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店购进了一批N95口罩和一次性医用外科口罩供居民使用，第一次购买N95口罩每个12元，一次性医用外科口罩每个2元，共花费了3200元；第二次又购买了与第一次相同数量的N95口罩和一次性医用外科口罩，由于N95口罩和一次性医用外科口罩每个价格分别下降了和，只花费了2500元．
（1）求每次购买的N95口罩和一次性医用外科口罩分别是多少个？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的N95口罩数量是一次性医用外科口罩数量的2倍，现有购买资金3000元，则最多能购买一次性医用外科口罩多少个？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）作QN⊥AF于点N，若t＝3（s）时，则PH＝ cm；QN＝ cm．
（2）连接QC，QH，设三角形CQH的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）点Q在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠CAF的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021年广东省梅州市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2021 B．π C．3.14159 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣2021是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、π是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意；
C、3.14159是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会顺利召开，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数据98990000用科学记数法表示为（ ）
A．98.99×106 B．9.899×107 C．9.899×108 D．0.9899×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故选：B．
3．（3分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别得出各个几何体的左视图，进行判断即可．
【解答】解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；
选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；
选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；
选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，
故选：D．
4．（3分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康危害也就越大．如图，某市2021年3月7日0时到7时的空气质量指数实时监测（整点监测一次）数据绘制成的折线图，根据图示信息，这组数据的众数是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【解答】解：∵26出现的次数最多，出现了4次，
∴这组数据的众数是26．
故选：D．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝145°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】由平行线的性质可得∠CAD的度数，再结合平角性质即可求∠β的度数．
【解答】解：如图所示：
由题意得：EC∥AD，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠α＝35°，
∴∠β＝180°﹣∠BAC﹣∠CAD＝85°．
故选：D．
7．（3分）不等式2（1﹣x）≥4﹣3x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得不等式的解集，然后即可将解集在数轴上表示出来，从而可以解答本题．
【解答】解：2（1﹣x）≥4﹣3x，
去括号，得
2﹣2x≥4﹣3x，
移项及合并同类项，得
x≥2，
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
，
故选：A．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，则抛物线y＝x2+2x+m的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+m的对称轴x＝﹣＝1，可知顶点在y轴的右侧，根据“关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根”，可知开口向上的抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m的对称轴是：x＝﹣＝1，
∴y＝x2﹣2x+m的顶点在y轴的右侧，
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴开口向上的抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴没有交点，
∴抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点一定在第一象限．
故选：A．
9．（3分）如图，边长为1的等边三角形A'B'C'开始在边长为2的等边三角形ABC左边，C'点与B点重合，大三角形固定不动，然后把小三角形沿BC边自左向右平移，直至移出大三角形外停止（B'点与C点重合），设小三角形移动距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
【解答】解：①0≤x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y＝x•＝；
②当1＜x≤2时，y＝；
③当2＜x≤3时，重叠三角形的边长为（2﹣x），高为，
∴y＝（2﹣x）×＝x2﹣x+，
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的一点，DE＝4，AE＝8，将正方形边CD沿CE折叠到CF，延长EF交AB于点G，连接CG，AF，如下4个结论：①∠ECD+∠BCG＝45°；②G为AB中点；③AF∥CG；④．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①正确，证明∠1＝∠2，∠3＝∠4即可；②正确，可以证明BG＝GA＝FG；③正确，证明∠5＝∠7，即可；④正确，利用相似求出FM＝即可．
【解答】解：如图，
①∵将正方形边CD沿CE折叠到CF，
∴△CDE≌△CFE，
∴∠1＝∠2，CD＝CF，
又∵CD＝CB，∠CBG＝∠CFG＝90°，
∴CB＝CF，
在Rt△CBG与Rt△CFG中，
，
∴Rt△CBG≌Rt△CFG（HL），
∴∠3＝∠4，
又∵∠BCD＝∠1+∠2+∠3+∠4＝2∠1+2∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝45°，
即∠ECD+∠BCG＝45°，
故①正确；
②设AG＝x，则BG＝12﹣x，
∵△CBG≌△CFG，
∴BG＝FG＝12﹣x，
又∵△CDE≌△CFE，
∴GE＝FG+FE＝FG+DE＝12﹣x+4＝16﹣x，
∵∠GAE＝90°，
∴AE2+AG2＝GE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
故G为AB的中点，
故②正确；
③由△CBG≌△CFG，
可知∠5＝∠6，
又由②可知GA＝GF，
∴∠7＝∠8，
∵∠5+∠6+∠AGF＝180°，
∠7+∠8+∠AGF＝180°，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8，
∴∠5＝∠7，
∴AF∥CG，
故③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，得FM∥AG，
∴△EMF∽△EAG，
∴，
∴，
∴FM＝，
∴S△AEF＝，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）因式分解：2a2﹣12a＝ 2a（a﹣6） ．
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣12a＝2a（a﹣6）．
故答案为：2a（a﹣6）．
12．（4分）计算：＝ ﹣2 ．
【分析】先化简负整数指数幂，算术平方根，然后再计算．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（4分）已知x+y＝﹣3，xy＝2，则x2y+xy2＝ ﹣6 ．
【分析】先将代数式分解因式，再代入计算可求解．
【解答】解：∵x+y＝﹣3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为﹣6．
14．（4分）菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝30°，以CD为直径的⊙O交BC于点E，则的弧长为 ．
【分析】连接OE，由圆周角定理得出∠DOE＝2∠C＝60°．根据菱形的性质得出CD＝AB＝4，那么OD＝OC＝2，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵∠C＝30°，
∴∠DOE＝2∠C＝60°．
∵菱形ABCD中，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴OD＝OC＝2，
∴的弧长为：＝；
故答案为：．
15．（4分）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD．若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为 3 ．
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再证明DA＝DC，从而得到CD＝AB＝3．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为3．
16．（4分）如图，数学学习小组要测量一棵树CE的高度，一名小组成员站在距离树10米的点B处，测得树的顶部E的仰角为34°．已知测角仪的架高AB＝1米，则这棵树的高度约为 7.7 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin34°≈0.5592，cos34°≈0.8290，tan34°≈0.6745）
【分析】在Rt△ADE中，求出ED，再利用矩形的性质得到AB＝CD＝1米，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得，四边形ABCD是矩形，CD＝AB＝1米，
在Rt△ACD中，AD＝BC＝10米，∠DAE＝34°，
∵tan∠DAE＝，
∴DE＝AD•tan∠DAE≈10×0.6745≈6.7（米）．
∴CE＝DE+CD＝6.7+1＝7.7（米）．
答：这棵树的高度约为7.7米．
故答案为：7.7．
17．（4分）如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 （4044，0） ．
【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解答即可．
【解答】解：由题意可知：正方形的边长为2，
∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
2021÷4＝505…1，故点P2021在x轴正半轴，
OP的长度为2021×2+2＝4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可．
【解答】解：
＝+
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
19．（6分）2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，学校开展了禁毒知识讲座和知识竞赛，从全校1600名学生中随机抽取部分学生的竞赛试卷进行调查分析，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“一般”四类，并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，估计该校1600名学生中“合格”的学生有 576 人；
（2）请补全条形统计图（提示：要标上人数）；
（3）被调查的学生中，前4名学生有2名男生B1，B2和2名女生G1，G2，若再从这4名学生中随机抽取2人代表学校参加教育局组织的禁毒演讲比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）由良好人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以样本中合格人数所占比例即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有20÷40%＝50（人），
“合格”的人数有50﹣10﹣20﹣2＝18（人），
估计该校1600名学生中“合格”的学生有（人）．
故答案为：50、576；
（2）补全条形统计图如下：
（3）列表如下：
B1
B2
G1
G2
B1
（B2，B1）
（G1，B1）
（G2，B1）
B2
（B1，B2）
（G1，B2）
（G2，B2）
G1
（B1，G1）
（B2，G1）
（G2，G1）
G2
（B1，G2）
（B2，G2）
（G1，G2）
由表知：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的可能有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
20．（6分）如图，在等边△ABE下方作一个正方形BCDE，连接AC，AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠CAD的度数．
【分析】（1）由四边形BCDE是正方形，△ABE是等边三角形，可以得出AB＝AE，BC＝ED，∠ABC＝∠AED，从而得出结论；
（2）由（1）可求出∠CAB＝∠DAE＝15°，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝DE，∠CBE＝∠DEB＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝150°，∠AED＝∠AEB+∠DEB＝150°，
∴∠ABC＝∠AED，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
解：（2）∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝BE，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠BAE＝60°，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
又由（1）得：∠ABC＝150°，
∴由三角形内角和定理可知：∠CAB＝∠DAE＝15°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠CAB﹣∠DAE＝60°﹣15°﹣15°＝30°．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m的值，根据m的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【解答】解：（1）由，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x1，x2则，
解得m＝﹣2，此时Δ＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
22．（8分）如图，⊙O是直径为6的圆，AB，CD是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AF⊥CD于点E，AF＝12，点H在CD的延长线上，AF和HB相交于点G．
（1）若tanG＝，求GH的长度；
（2）若OH＝15，求证：GH是⊙O的切线．
【分析】（1）因为AB是⊙O的直径，可得∠AFB＝90°，根据勾股定理可得，由锐角三角函数可得FG＝4，由勾股定理可得，易知CD∥BF，可得，即可求解；
（2）连接OF，则，因为AF⊥CD，可知（三线合一），根据勾股定理可得EO＝3，从而求证△AEO∽△HBO，可得∠HBO＝∠AEO＝90°，从而求证．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABF中，，
在Rt△BFG中，tanG＝＝，
∴FG＝4，
∴，
∵AF⊥CD，AF⊥BF，
∴CD∥BF，
∴，
即，
∴，即GH的长度为．
（2）证明：连接OF，则，
又∵AF⊥CD，
∴（三线合一），
在Rt△AEO中，，
∴，，
在△AEO和△HBO中，．
∴△AEO∽△HBO，
∴∠HBO＝∠AEO＝90°，
∴GH是⊙O的切线．
23．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店购进了一批N95口罩和一次性医用外科口罩供居民使用，第一次购买N95口罩每个12元，一次性医用外科口罩每个2元，共花费了3200元；第二次又购买了与第一次相同数量的N95口罩和一次性医用外科口罩，由于N95口罩和一次性医用外科口罩每个价格分别下降了和，只花费了2500元．
（1）求每次购买的N95口罩和一次性医用外科口罩分别是多少个？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的N95口罩数量是一次性医用外科口罩数量的2倍，现有购买资金3000元，则最多能购买一次性医用外科口罩多少个？
【分析】（1）设每次购买的N95口罩x个，一次性医用外科口罩y个，结合两次购买所花费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设一次性口罩买a个，则N95口罩买2a个，根据总价＝单价×数量，结合现有购买资金3000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每次购买的N95口罩x个，一次性医用外科口罩y个，
依题意，
得：．
答：每次购买的N95口罩225个，一次性医用外科口罩250个；
（2）设一次性口罩买a个，则N95口罩买2a个，
∵第二次购买的价格N95口罩是每个10元，一次性医用外科口罩每个1元，
依题意：2a⋅10+a≤3000，
解得：，
∴最多购买一次性口罩142个．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求出m和k的值；
（2）①根据线段AB向右平移3个单位得到CD，可以求出D的坐标，再根据反比例函数求出E的坐标，从而求出DE和DF；
②分BC＝AB，BC＝AC，AB＝AC三种种情况讨论，分别列出对应的方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+n上，
∴﹣2×0+n＝8，
∴n＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（m，4）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8上，得﹣2•m+8＝4，
∴m＝2，
∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式中，得k＝xy＝2×4＝8．
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为，
当a＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
②如图，
∵将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝a，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（a，8），
∵△ABC是等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝AB时，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴a＝2×2＝4．
Ⅱ、当BC＝AC时，
∵B（2，4），C（a，8），
∴，
∴，
∴a＝5，
Ⅲ、当AB＝AC时，
∴，
即：△ABC是等腰三角形时，满足条件a的值为4或5或．
25．（10分）如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）作QN⊥AF于点N，若t＝3（s）时，则PH＝ cm；QN＝ cm．
（2）连接QC，QH，设三角形CQH的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）点Q在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠CAF的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出AC，EF，EM的长由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）由锐角三角函数的定义得出，，根据三角形CQH的面积S△CQH＝S梯形CMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ可得出答案；
（3）连接QA，延长AC交EF于K，根据三角形CEM的面积可求出CK的长，由勾定理求出KM的长，列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）如图，
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴AC＝＝＝10（cm），EF＝＝＝10（cm），
∵CE＝2cm，，
∴（cm），
当t＝3时，PA＝6，MQ＝3，（cm），
∵sin∠PAH＝sin∠CAB，
∴，
∴．
同理可求：．
故答案为，；
（2）如图，
∵EF＝10cm，EM＝cm，
∴MQ＝t，，
∵sin∠QFN＝sin∠EFB，
∴，
∴，
∴，
∵cos∠PAH＝cos∠CAB，
∴，
∴，
∴，
∵三角形CQH的面积S△CQH＝S梯形CMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，
∴＝；
（3）存在，
理由如下：如图，连接QA，延长AC交EF于K，
∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，
∴△ABC≌△EBF（SSS），
∴∠E＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠ECK，
∴∠ABC＝∠EKC＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵QA平分∠CAF，QN⊥AF，QK⊥AK，
∴QN＝QK，
∴，
∴，
∴当时，使点Q在∠CAF的平分线上．
2021年广东省梅州市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2021 B．π C．3.14159 D．
2．（3分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会顺利召开，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数据98990000用科学记数法表示为（ ）
A．98.99×106 B．9.899×107 C．9.899×108 D．0.9899×108
3．（3分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康危害也就越大．如图，某市2021年3月7日0时到7时的空气质量指数实时监测（整点监测一次）数据绘制成的折线图，根据图示信息，这组数据的众数是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝145°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．（3分）不等式2（1﹣x）≥4﹣3x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，则抛物线y＝x2+2x+m的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如图，边长为1的等边三角形A'B'C'开始在边长为2的等边三角形ABC左边，C'点与B点重合，大三角形固定不动，然后把小三角形沿BC边自左向右平移，直至移出大三角形外停止（B'点与C点重合），设小三角形移动距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的一点，DE＝4，AE＝8，将正方形边CD沿CE折叠到CF，延长EF交AB于点G，连接CG，AF，如下4个结论：①∠ECD+∠BCG＝45°；②G为AB中点；③AF∥CG；④．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）因式分解：2a2﹣12a＝ ．
12．（4分）计算：＝ ．
13．（4分）已知x+y＝﹣3，xy＝2，则x2y+xy2＝ ．
14．（4分）菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝30°，以CD为直径的⊙O交BC于点E，则的弧长为 ．
15．（4分）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD．若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为 ．
16．（4分）如图，数学学习小组要测量一棵树CE的高度，一名小组成员站在距离树10米的点B处，测得树的顶部E的仰角为34°．已知测角仪的架高AB＝1米，则这棵树的高度约为 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin34°≈0.5592，cos34°≈0.8290，tan34°≈0.6745）
17．（4分）如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，学校开展了禁毒知识讲座和知识竞赛，从全校1600名学生中随机抽取部分学生的竞赛试卷进行调查分析，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“一般”四类，并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，估计该校1600名学生中“合格”的学生有 人；
（2）请补全条形统计图（提示：要标上人数）；
（3）被调查的学生中，前4名学生有2名男生B1，B2和2名女生G1，G2，若再从这4名学生中随机抽取2人代表学校参加教育局组织的禁毒演讲比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．（6分）如图，在等边△ABE下方作一个正方形BCDE，连接AC，AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠CAD的度数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，⊙O是直径为6的圆，AB，CD是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AF⊥CD于点E，AF＝12，点H在CD的延长线上，AF和HB相交于点G．
（1）若tanG＝，求GH的长度；
（2）若OH＝15，求证：GH是⊙O的切线．
23．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店购进了一批N95口罩和一次性医用外科口罩供居民使用，第一次购买N95口罩每个12元，一次性医用外科口罩每个2元，共花费了3200元；第二次又购买了与第一次相同数量的N95口罩和一次性医用外科口罩，由于N95口罩和一次性医用外科口罩每个价格分别下降了和，只花费了2500元．
（1）求每次购买的N95口罩和一次性医用外科口罩分别是多少个？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的N95口罩数量是一次性医用外科口罩数量的2倍，现有购买资金3000元，则最多能购买一次性医用外科口罩多少个？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）作QN⊥AF于点N，若t＝3（s）时，则PH＝ cm；QN＝ cm．
（2）连接QC，QH，设三角形CQH的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）点Q在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠CAF的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021年广东省梅州市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2021 B．π C．3.14159 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣2021是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、π是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意；
C、3.14159是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会顺利召开，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数据98990000用科学记数法表示为（ ）
A．98.99×106 B．9.899×107 C．9.899×108 D．0.9899×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故选：B．
3．（3分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别得出各个几何体的左视图，进行判断即可．
【解答】解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；
选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；
选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；
选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，
故选：D．
4．（3分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康危害也就越大．如图，某市2021年3月7日0时到7时的空气质量指数实时监测（整点监测一次）数据绘制成的折线图，根据图示信息，这组数据的众数是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【解答】解：∵26出现的次数最多，出现了4次，
∴这组数据的众数是26．
故选：D．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝145°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】由平行线的性质可得∠CAD的度数，再结合平角性质即可求∠β的度数．
【解答】解：如图所示：
由题意得：EC∥AD，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠α＝35°，
∴∠β＝180°﹣∠BAC﹣∠CAD＝85°．
故选：D．
7．（3分）不等式2（1﹣x）≥4﹣3x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得不等式的解集，然后即可将解集在数轴上表示出来，从而可以解答本题．
【解答】解：2（1﹣x）≥4﹣3x，
去括号，得
2﹣2x≥4﹣3x，
移项及合并同类项，得
x≥2，
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
，
故选：A．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，则抛物线y＝x2+2x+m的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+m的对称轴x＝﹣＝1，可知顶点在y轴的右侧，根据“关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根”，可知开口向上的抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m的对称轴是：x＝﹣＝1，
∴y＝x2﹣2x+m的顶点在y轴的右侧，
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴开口向上的抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴没有交点，
∴抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点一定在第一象限．
故选：A．
9．（3分）如图，边长为1的等边三角形A'B'C'开始在边长为2的等边三角形ABC左边，C'点与B点重合，大三角形固定不动，然后把小三角形沿BC边自左向右平移，直至移出大三角形外停止（B'点与C点重合），设小三角形移动距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
【解答】解：①0≤x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y＝x•＝；
②当1＜x≤2时，y＝；
③当2＜x≤3时，重叠三角形的边长为（2﹣x），高为，
∴y＝（2﹣x）×＝x2﹣x+，
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的一点，DE＝4，AE＝8，将正方形边CD沿CE折叠到CF，延长EF交AB于点G，连接CG，AF，如下4个结论：①∠ECD+∠BCG＝45°；②G为AB中点；③AF∥CG；④．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①正确，证明∠1＝∠2，∠3＝∠4即可；②正确，可以证明BG＝GA＝FG；③正确，证明∠5＝∠7，即可；④正确，利用相似求出FM＝即可．
【解答】解：如图，
①∵将正方形边CD沿CE折叠到CF，
∴△CDE≌△CFE，
∴∠1＝∠2，CD＝CF，
又∵CD＝CB，∠CBG＝∠CFG＝90°，
∴CB＝CF，
在Rt△CBG与Rt△CFG中，
，
∴Rt△CBG≌Rt△CFG（HL），
∴∠3＝∠4，
又∵∠BCD＝∠1+∠2+∠3+∠4＝2∠1+2∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝45°，
即∠ECD+∠BCG＝45°，
故①正确；
②设AG＝x，则BG＝12﹣x，
∵△CBG≌△CFG，
∴BG＝FG＝12﹣x，
又∵△CDE≌△CFE，
∴GE＝FG+FE＝FG+DE＝12﹣x+4＝16﹣x，
∵∠GAE＝90°，
∴AE2+AG2＝GE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
故G为AB的中点，
故②正确；
③由△CBG≌△CFG，
可知∠5＝∠6，
又由②可知GA＝GF，
∴∠7＝∠8，
∵∠5+∠6+∠AGF＝180°，
∠7+∠8+∠AGF＝180°，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8，
∴∠5＝∠7，
∴AF∥CG，
故③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，得FM∥AG，
∴△EMF∽△EAG，
∴，
∴，
∴FM＝，
∴S△AEF＝，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）因式分解：2a2﹣12a＝ 2a（a﹣6） ．
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣12a＝2a（a﹣6）．
故答案为：2a（a﹣6）．
12．（4分）计算：＝ ﹣2 ．
【分析】先化简负整数指数幂，算术平方根，然后再计算．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（4分）已知x+y＝﹣3，xy＝2，则x2y+xy2＝ ﹣6 ．
【分析】先将代数式分解因式，再代入计算可求解．
【解答】解：∵x+y＝﹣3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为﹣6．
14．（4分）菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝30°，以CD为直径的⊙O交BC于点E，则的弧长为 ．
【分析】连接OE，由圆周角定理得出∠DOE＝2∠C＝60°．根据菱形的性质得出CD＝AB＝4，那么OD＝OC＝2，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵∠C＝30°，
∴∠DOE＝2∠C＝60°．
∵菱形ABCD中，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴OD＝OC＝2，
∴的弧长为：＝；
故答案为：．
15．（4分）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD．若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为 3 ．
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再证明DA＝DC，从而得到CD＝AB＝3．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为3．
16．（4分）如图，数学学习小组要测量一棵树CE的高度，一名小组成员站在距离树10米的点B处，测得树的顶部E的仰角为34°．已知测角仪的架高AB＝1米，则这棵树的高度约为 7.7 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin34°≈0.5592，cos34°≈0.8290，tan34°≈0.6745）
【分析】在Rt△ADE中，求出ED，再利用矩形的性质得到AB＝CD＝1米，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得，四边形ABCD是矩形，CD＝AB＝1米，
在Rt△ACD中，AD＝BC＝10米，∠DAE＝34°，
∵tan∠DAE＝，
∴DE＝AD•tan∠DAE≈10×0.6745≈6.7（米）．
∴CE＝DE+CD＝6.7+1＝7.7（米）．
答：这棵树的高度约为7.7米．
故答案为：7.7．
17．（4分）如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 （4044，0） ．
【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解答即可．
【解答】解：由题意可知：正方形的边长为2，
∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
2021÷4＝505…1，故点P2021在x轴正半轴，
OP的长度为2021×2+2＝4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可．
【解答】解：
＝+
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
19．（6分）2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，学校开展了禁毒知识讲座和知识竞赛，从全校1600名学生中随机抽取部分学生的竞赛试卷进行调查分析，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“一般”四类，并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，估计该校1600名学生中“合格”的学生有 576 人；
（2）请补全条形统计图（提示：要标上人数）；
（3）被调查的学生中，前4名学生有2名男生B1，B2和2名女生G1，G2，若再从这4名学生中随机抽取2人代表学校参加教育局组织的禁毒演讲比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）由良好人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以样本中合格人数所占比例即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有20÷40%＝50（人），
“合格”的人数有50﹣10﹣20﹣2＝18（人），
估计该校1600名学生中“合格”的学生有（人）．
故答案为：50、576；
（2）补全条形统计图如下：
（3）列表如下：
B1
B2
G1
G2
B1
（B2，B1）
（G1，B1）
（G2，B1）
B2
（B1，B2）
（G1，B2）
（G2，B2）
G1
（B1，G1）
（B2，G1）
（G2，G1）
G2
（B1，G2）
（B2，G2）
（G1，G2）
由表知：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的可能有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
20．（6分）如图，在等边△ABE下方作一个正方形BCDE，连接AC，AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠CAD的度数．
【分析】（1）由四边形BCDE是正方形，△ABE是等边三角形，可以得出AB＝AE，BC＝ED，∠ABC＝∠AED，从而得出结论；
（2）由（1）可求出∠CAB＝∠DAE＝15°，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝DE，∠CBE＝∠DEB＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝150°，∠AED＝∠AEB+∠DEB＝150°，
∴∠ABC＝∠AED，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
解：（2）∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝BE，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠BAE＝60°，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
又由（1）得：∠ABC＝150°，
∴由三角形内角和定理可知：∠CAB＝∠DAE＝15°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠CAB﹣∠DAE＝60°﹣15°﹣15°＝30°．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m的值，根据m的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【解答】解：（1）由，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x1，x2则，
解得m＝﹣2，此时Δ＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
22．（8分）如图，⊙O是直径为6的圆，AB，CD是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AF⊥CD于点E，AF＝12，点H在CD的延长线上，AF和HB相交于点G．
（1）若tanG＝，求GH的长度；
（2）若OH＝15，求证：GH是⊙O的切线．
【分析】（1）因为AB是⊙O的直径，可得∠AFB＝90°，根据勾股定理可得，由锐角三角函数可得FG＝4，由勾股定理可得，易知CD∥BF，可得，即可求解；
（2）连接OF，则，因为AF⊥CD，可知（三线合一），根据勾股定理可得EO＝3，从而求证△AEO∽△HBO，可得∠HBO＝∠AEO＝90°，从而求证．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABF中，，
在Rt△BFG中，tanG＝＝，
∴FG＝4，
∴，
∵AF⊥CD，AF⊥BF，
∴CD∥BF，
∴，
即，
∴，即GH的长度为．
（2）证明：连接OF，则，
又∵AF⊥CD，
∴（三线合一），
在Rt△AEO中，，
∴，，
在△AEO和△HBO中，．
∴△AEO∽△HBO，
∴∠HBO＝∠AEO＝90°，
∴GH是⊙O的切线．
23．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店购进了一批N95口罩和一次性医用外科口罩供居民使用，第一次购买N95口罩每个12元，一次性医用外科口罩每个2元，共花费了3200元；第二次又购买了与第一次相同数量的N95口罩和一次性医用外科口罩，由于N95口罩和一次性医用外科口罩每个价格分别下降了和，只花费了2500元．
（1）求每次购买的N95口罩和一次性医用外科口罩分别是多少个？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的N95口罩数量是一次性医用外科口罩数量的2倍，现有购买资金3000元，则最多能购买一次性医用外科口罩多少个？
【分析】（1）设每次购买的N95口罩x个，一次性医用外科口罩y个，结合两次购买所花费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设一次性口罩买a个，则N95口罩买2a个，根据总价＝单价×数量，结合现有购买资金3000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每次购买的N95口罩x个，一次性医用外科口罩y个，
依题意，
得：．
答：每次购买的N95口罩225个，一次性医用外科口罩250个；
（2）设一次性口罩买a个，则N95口罩买2a个，
∵第二次购买的价格N95口罩是每个10元，一次性医用外科口罩每个1元，
依题意：2a⋅10+a≤3000，
解得：，
∴最多购买一次性口罩142个．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求出m和k的值；
（2）①根据线段AB向右平移3个单位得到CD，可以求出D的坐标，再根据反比例函数求出E的坐标，从而求出DE和DF；
②分BC＝AB，BC＝AC，AB＝AC三种种情况讨论，分别列出对应的方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+n上，
∴﹣2×0+n＝8，
∴n＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（m，4）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8上，得﹣2•m+8＝4，
∴m＝2，
∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式中，得k＝xy＝2×4＝8．
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为，
当a＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
②如图，
∵将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝a，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（a，8），
∵△ABC是等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝AB时，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴a＝2×2＝4．
Ⅱ、当BC＝AC时，
∵B（2，4），C（a，8），
∴，
∴，
∴a＝5，
Ⅲ、当AB＝AC时，
∴，
即：△ABC是等腰三角形时，满足条件a的值为4或5或．
25．（10分）如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）作QN⊥AF于点N，若t＝3（s）时，则PH＝ cm；QN＝ cm．
（2）连接QC，QH，设三角形CQH的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）点Q在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠CAF的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出AC，EF，EM的长由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）由锐角三角函数的定义得出，，根据三角形CQH的面积S△CQH＝S梯形CMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ可得出答案；
（3）连接QA，延长AC交EF于K，根据三角形CEM的面积可求出CK的长，由勾定理求出KM的长，列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）如图，
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴AC＝＝＝10（cm），EF＝＝＝10（cm），
∵CE＝2cm，，
∴（cm），
当t＝3时，PA＝6，MQ＝3，（cm），
∵sin∠PAH＝sin∠CAB，
∴，
∴．
同理可求：．
故答案为，；
（2）如图，
∵EF＝10cm，EM＝cm，
∴MQ＝t，，
∵sin∠QFN＝sin∠EFB，
∴，
∴，
∴，
∵cos∠PAH＝cos∠CAB，
∴，
∴，
∴，
∵三角形CQH的面积S△CQH＝S梯形CMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，
∴＝；
（3）存在，
理由如下：如图，连接QA，延长AC交EF于K，
∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，
∴△ABC≌△EBF（SSS），
∴∠E＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠ECK，
∴∠ABC＝∠EKC＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵QA平分∠CAF，QN⊥AF，QK⊥AK，
∴QN＝QK，
∴，
∴，
∴当时，使点Q在∠CAF的平分线上．
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