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专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲
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这是一份专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲，文件包含专题51求解曲线的离心率的值或范围问题原卷版docx、专题51求解曲线的离心率的值或范围问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
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玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题
一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①根据题意求出的值，再由离心率的定义椭圆、
双曲线直接求解；
②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于椭圆、双曲线消去b，
构造的齐次式，求出；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；
④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
二．解题策略
类型一 直接求出或求出与的比值，以求解
【例1】（2020·河南高考模拟（理））抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m−y21−m=10A．2+1B．22+3C．210−3D．210+3
【答案】A
【解析】
【分析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】由题意知，抛物线焦点F1,0，准线与x轴交点F'(−1,0)，双曲线半焦距c=1，设点Q(−1,y) ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，即PF=PQ，结合P点在抛物线上，
所以PQ⊥抛物线的准线，从而PF⊥x轴，所以P1,2，
∴2a=PF'−PF=22−2
即a=2−1.
故双曲线的离心率为e=12−1=2+1.故选A
【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
【举一反三】
1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为F(0,p2)，
由三角形垂心的性质，得，即，
所以，所以，
所以，所以的离心率为．故选：B．
2.（2020广西桂林市高三）设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为抛物线，所以，准线为，
将代入得，不妨设为右支上的点，
则，
因为是等边三角形，则，即，
所以，
因此双曲线的离心率为.
故选A
3.已知双曲线 的右焦点为抛物线 的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以抛物线的方程为.
因为点到双曲线的一条渐近线的距离为，
不妨设这条渐近线的方程为，即，则，
又点在双曲线上，所以，解得，
故，即.故选B.
类型二 构造的齐次式，解出
【例2】（2020·陕西高考模拟）已知椭圆 ，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则……①
设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即………………②
又k1=，k2=，因为=,所以||=………………………………③
① ②代入③得：||=，即，
所以，所以．
【指点迷津】本题考查离心率的求法，解题的关键是把题中的基本量（）来表示，然后建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.
【举一反三】
1.（2020·重庆八中高三）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，故，
，两边除以得，解得.
2．（2020·广东南海中学高考模拟）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为_____．
【答案】2
【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，
半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，
即，化简得，，答案为.
3．（2020·黑龙江大庆中学高三（理））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论∠DAB为钝角，可得＜0，或∠ADB为钝角，可得＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．
详解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），
令x=﹣c，可得y=±=±，
可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），
设D（0，b），可得=（c，b﹣），
=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），
由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，
即为0﹣•（b﹣）＜0，
化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，
可得c2＜2a2，即e=＜，
又e＞1，可得1＜e＜，
可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，
即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，
化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，
由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，
又e＞1，可得e＞．
综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．
类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
【例3】（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））椭圆上有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e的取值范围；首先满足QF1⊥QP，点Q在椭圆的内部，故点Q轨迹在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c＜椭圆短半轴b，由a2﹣c2＝b2，可解得e的一个范围；其次由sin∠F1QF2，可求得cs∠F1QF2．在△PF1F2中，而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝2a是定值，由基本不等式可得PF1|•|PF2|；由余弦定理得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs∠F1QF2，结合不等关系即可解出e的取值范围．
【详解】解：∵QF1⊥QP，
∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，
∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b；
∴c2＜a2﹣c2，∴，故0＜e
∵sin∠F1PQ，∴cs∠F1PQ；
设|PF1|＝m，则|PF2|＝n，
而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
4c2．
∴4c2＝（m+n）2﹣2mn﹣2mn•；
即4c2＝4a2mn；∴mn；
由基本不等式得：mna2，
当且仅当m＝n时取等号；
由题意知：QF1⊥QP，∴m≠n，∴mna2，
∴a2∴a2＜26c2；
故，∴e
综上可得：e．故选：D．
【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论.
（2）图象特征的运用，椭圆的性质、圆的性质，余弦定理、基本不等式的应用;
【举一反三】
1．（2020·辽宁实验中学高三期末（理））设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；
若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；
若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,
所以 是直角三角形，且 ,
所以由勾股定理，得，得,故选B.
2．（2020·湖北高三）已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________
【答案】
【解析】连接,
由为中位线，可得 ,,
圆，可得且，
由椭圆的定义可得，可得，
又，可得，
即有，即为，
化为，即，
，即有，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
3．（2020·湖北高三期末）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．
【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，
，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．故答案为：．
类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质
【例4】（2020·四川高三期末（理））已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，，，根据，从而得到的关系，求出离心率，得到答案.
【详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴离心率，故选：A．
【例5】（2020·黑龙江大庆中学高三）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
. ，
，当且仅当时等立，
的最小值为6，故选:C．
【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如圆锥曲线的定义及图形中蕴含的几何性质，帮助建立方程或不等式.
【举一反三】
1．（2020·四川高三期末）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
设直线与圆相切于点 ，
则 ，
取的中点 ,连接 ，
由于,则 ，
由，
则，
即有，
由双曲线的定义可得，
即，即，
,即，，即，
则.故答案为：.
2．（2018·安徽高考模拟）设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为
【答案】
【解析】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.
设椭圆另一个焦点为E，连接PE.
∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.
设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.
在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.
在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.
由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，
化简得17a2＝25c2，.
即椭圆C的离心率为.故选：D.
3．（2020·山东高考模拟）过双曲线1（a＞b＞0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】
【分析】由题意做图如下，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，可得，，所以，可得e的值.
【详解】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得..
4．（2020·湖北高三期末（理））已知F1,F2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C交于P,Q两点，且四边形F1PF2Q是矩形，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】
【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
由题意，矩形的对角线长相等，把代入，
可得 ，
∴
∴4a2b2=（b2-3a2）c2，
∴4a2（c2-a2）=（c2-4a2）c2，
∴e4-8e2+4=0，
∵e＞1，∴ 故选：B．
5.（2020永州模拟）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】由题意，作出图像如下：
因为是椭圆的左焦点，所以，
又轴，所以，
因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，
所以，，
由题意易得，，
所以，，
因此，整理得,
所以离心率为.
故答案为
【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.
2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.
3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.
三．强化训练
1．（2020吉林长春市实验中学高三）如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A．B．2
C．D．
【答案】D
【解析】连接，依题意知：
，，
所以
.
2.（2020安徽铜陵模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，
设|PF2|＝t，则|QF2|＝ ，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，
则t＝2（2﹣）a，
在直角三角形PF1F2中，
可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，
4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，
化为c2＝（9﹣6）a2，
可得e＝＝ ．故选A.
3.（2020银川一模）椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I与重心满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，又，，则的重心.因为∥
所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义
得，解得，故选D.
4．（2020·甘肃兰州一中高三）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求出范围.
【详解】如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得
， ，即
，即
，
由可知，令，，
所以，故选D.
5.（2020泰安高三一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，，即，，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，，，，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，故选D.
6.（2020兰州一模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，
所以，故．
由可得，整理得 ，
显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．
7．（2020·河北高三月考）双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【详解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），
双曲线的两条渐近线方程为yx，yx，
∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．
∵，
∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP，
∴过F1的直线PQ的斜率kPQ，
∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c），
解方程组，得P（，），
∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，
∵tan∠QOF2，∴cs∠QOF2，
由余弦定理，得cs∠QOF21，
即e2﹣e﹣2＝0，
解得e＝2，或e＝﹣1（舍）
故选C．
9．（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.
10．（2020·四川棠湖中学高考模拟（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为（ ）
A． 或B．或3C．2或D．2或3
【答案】D
【解析】
【分析】不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，，且有，，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率.
【详解】
不妨设在第一象限且，则，，
过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，
则，故，
因为直角三角形，故可设，
且，
所以，解得或，
若，则， ；
若，则，；
综上，选D.
11．（2020·江苏高三月考（理））如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】依题意可得，
因为，所以
所以
所以，即，故
解得，
因为，所以，则
12．（2020·山东高考模拟）已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，
则椭圆的离心率为
【答案】
【解析】
结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质
,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,
由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到
,解得,故选D.
13．（2020黑龙江省哈尔滨市模拟）已知双曲线，其渐近线与圆相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，则弦心距为
即圆心到渐近线S的距离为
，得
在双曲线中，，即
14．（2020·湖北高三期末）已知双曲线的右焦点为，是坐标原点，若存在直线 过点交双曲线C的右支于两点，使得，则双曲线的离心率e的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线与双曲线的位置关系设出直线方程，联系直线与双曲线整理出关于的
方程，再利用数量积求解即可。
【详解】设，，直线的方程，由
整理得 ，由直线交双曲线C的右支于两点，
可得，且 ，两式解得。
因为
整理可得，
因为，所以
即
整理可得，由
得 ，解得，
所以双曲线的离心率的取值范围是
15．（2020·山东高考模拟）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.
【详解】
由题意，得，另一个焦点，
由对称性知，，
又因为线段的垂直平分线经过点，，
则，可得是正三角形，
如图所示，连接，则，
由图象的对称性可知，，
又因为是等腰三角形，
则，
在中，
由余弦定理：，
上式可化为，
整理得：，即，由于，
则，
故，故答案为.
16．（2020广西桂林市一模）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
设点，抛物线的焦点为,焦点到准线的距离为
将准线方程代入双曲线得到
根据等边三角形的性质的到
双曲线的离心率为
故得到离心率为.
故答案为：
17.（2020江苏省扬州中学高三）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cs∠F1MN＝cs∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．
【答案】2
【解析】
如图，由可得，
∴，，
由双曲线的定义可得，，
∴
在中由余弦定理得
在中由余弦定理得
，
∵，
∴，
整理得，
∴，解得或（舍去）．
∴双曲线的离心率等于2．
故答案为：2．
18．（2020·安徽高考模拟（理））如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 的余弦值，即可得出椭圆离心率．
【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接， 交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为
在中， ， ，
，
， 解得
即
则椭圆的离心率
【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦
之比，即．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
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专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题
一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①根据题意求出的值，再由离心率的定义椭圆、
双曲线直接求解；
②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于椭圆、双曲线消去b，
构造的齐次式，求出；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；
④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
二．解题策略
类型一 直接求出或求出与的比值，以求解
【例1】（2020·河南高考模拟（理））抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m−y21−m=10
【答案】A
【解析】
【分析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】由题意知，抛物线焦点F1,0，准线与x轴交点F'(−1,0)，双曲线半焦距c=1，设点Q(−1,y) ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，即PF=PQ，结合P点在抛物线上，
所以PQ⊥抛物线的准线，从而PF⊥x轴，所以P1,2，
∴2a=PF'−PF=22−2
即a=2−1.
故双曲线的离心率为e=12−1=2+1.故选A
【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
【举一反三】
1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为F(0,p2)，
由三角形垂心的性质，得，即，
所以，所以，
所以，所以的离心率为．故选：B．
2.（2020广西桂林市高三）设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为抛物线，所以，准线为，
将代入得，不妨设为右支上的点，
则，
因为是等边三角形，则，即，
所以，
因此双曲线的离心率为.
故选A
3.已知双曲线 的右焦点为抛物线 的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以抛物线的方程为.
因为点到双曲线的一条渐近线的距离为，
不妨设这条渐近线的方程为，即，则，
又点在双曲线上，所以，解得，
故，即.故选B.
类型二 构造的齐次式，解出
【例2】（2020·陕西高考模拟）已知椭圆 ，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则……①
设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即………………②
又k1=，k2=，因为=,所以||=………………………………③
① ②代入③得：||=，即，
所以，所以．
【指点迷津】本题考查离心率的求法，解题的关键是把题中的基本量（）来表示，然后建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.
【举一反三】
1.（2020·重庆八中高三）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，故，
，两边除以得，解得.
2．（2020·广东南海中学高考模拟）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为_____．
【答案】2
【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，
半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，
即，化简得，，答案为.
3．（2020·黑龙江大庆中学高三（理））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论∠DAB为钝角，可得＜0，或∠ADB为钝角，可得＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．
详解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），
令x=﹣c，可得y=±=±，
可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），
设D（0，b），可得=（c，b﹣），
=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），
由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，
即为0﹣•（b﹣）＜0，
化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，
可得c2＜2a2，即e=＜，
又e＞1，可得1＜e＜，
可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，
即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，
化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，
由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，
又e＞1，可得e＞．
综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．
类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
【例3】（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））椭圆上有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e的取值范围；首先满足QF1⊥QP，点Q在椭圆的内部，故点Q轨迹在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c＜椭圆短半轴b，由a2﹣c2＝b2，可解得e的一个范围；其次由sin∠F1QF2，可求得cs∠F1QF2．在△PF1F2中，而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝2a是定值，由基本不等式可得PF1|•|PF2|；由余弦定理得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs∠F1QF2，结合不等关系即可解出e的取值范围．
【详解】解：∵QF1⊥QP，
∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，
∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b；
∴c2＜a2﹣c2，∴，故0＜e
∵sin∠F1PQ，∴cs∠F1PQ；
设|PF1|＝m，则|PF2|＝n，
而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
4c2．
∴4c2＝（m+n）2﹣2mn﹣2mn•；
即4c2＝4a2mn；∴mn；
由基本不等式得：mna2，
当且仅当m＝n时取等号；
由题意知：QF1⊥QP，∴m≠n，∴mna2，
∴a2∴a2＜26c2；
故，∴e
综上可得：e．故选：D．
【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论.
（2）图象特征的运用，椭圆的性质、圆的性质，余弦定理、基本不等式的应用;
【举一反三】
1．（2020·辽宁实验中学高三期末（理））设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；
若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；
若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,
所以 是直角三角形，且 ,
所以由勾股定理，得，得,故选B.
2．（2020·湖北高三）已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________
【答案】
【解析】连接,
由为中位线，可得 ,,
圆，可得且，
由椭圆的定义可得，可得，
又，可得，
即有，即为，
化为，即，
，即有，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
3．（2020·湖北高三期末）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．
【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，
，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．故答案为：．
类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质
【例4】（2020·四川高三期末（理））已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，，，根据，从而得到的关系，求出离心率，得到答案.
【详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴离心率，故选：A．
【例5】（2020·黑龙江大庆中学高三）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
. ，
，当且仅当时等立，
的最小值为6，故选:C．
【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如圆锥曲线的定义及图形中蕴含的几何性质，帮助建立方程或不等式.
【举一反三】
1．（2020·四川高三期末）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
设直线与圆相切于点 ，
则 ，
取的中点 ,连接 ，
由于,则 ，
由，
则，
即有，
由双曲线的定义可得，
即，即，
,即，，即，
则.故答案为：.
2．（2018·安徽高考模拟）设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为
【答案】
【解析】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.
设椭圆另一个焦点为E，连接PE.
∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.
设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.
在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.
在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.
由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，
化简得17a2＝25c2，.
即椭圆C的离心率为.故选：D.
3．（2020·山东高考模拟）过双曲线1（a＞b＞0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】
【分析】由题意做图如下，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，可得，，所以，可得e的值.
【详解】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得..
4．（2020·湖北高三期末（理））已知F1,F2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C交于P,Q两点，且四边形F1PF2Q是矩形，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】
【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
由题意，矩形的对角线长相等，把代入，
可得 ，
∴
∴4a2b2=（b2-3a2）c2，
∴4a2（c2-a2）=（c2-4a2）c2，
∴e4-8e2+4=0，
∵e＞1，∴ 故选：B．
5.（2020永州模拟）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】由题意，作出图像如下：
因为是椭圆的左焦点，所以，
又轴，所以，
因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，
所以，，
由题意易得，，
所以，，
因此，整理得,
所以离心率为.
故答案为
【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.
2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.
3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.
三．强化训练
1．（2020吉林长春市实验中学高三）如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A．B．2
C．D．
【答案】D
【解析】连接，依题意知：
，，
所以
.
2.（2020安徽铜陵模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，
设|PF2|＝t，则|QF2|＝ ，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，
则t＝2（2﹣）a，
在直角三角形PF1F2中，
可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，
4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，
化为c2＝（9﹣6）a2，
可得e＝＝ ．故选A.
3.（2020银川一模）椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I与重心满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，又，，则的重心.因为∥
所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义
得，解得，故选D.
4．（2020·甘肃兰州一中高三）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求出范围.
【详解】如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得
， ，即
，即
，
由可知，令，，
所以，故选D.
5.（2020泰安高三一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，，即，，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，，，，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，故选D.
6.（2020兰州一模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，
所以，故．
由可得，整理得 ，
显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．
7．（2020·河北高三月考）双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【详解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），
双曲线的两条渐近线方程为yx，yx，
∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．
∵，
∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP，
∴过F1的直线PQ的斜率kPQ，
∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c），
解方程组，得P（，），
∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，
∵tan∠QOF2，∴cs∠QOF2，
由余弦定理，得cs∠QOF21，
即e2﹣e﹣2＝0，
解得e＝2，或e＝﹣1（舍）
故选C．
9．（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.
10．（2020·四川棠湖中学高考模拟（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为（ ）
A． 或B．或3C．2或D．2或3
【答案】D
【解析】
【分析】不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，，且有，，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率.
【详解】
不妨设在第一象限且，则，，
过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，
则，故，
因为直角三角形，故可设，
且，
所以，解得或，
若，则， ；
若，则，；
综上，选D.
11．（2020·江苏高三月考（理））如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】依题意可得，
因为，所以
所以
所以，即，故
解得，
因为，所以，则
12．（2020·山东高考模拟）已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，
则椭圆的离心率为
【答案】
【解析】
结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质
,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,
由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到
,解得,故选D.
13．（2020黑龙江省哈尔滨市模拟）已知双曲线，其渐近线与圆相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，则弦心距为
即圆心到渐近线S的距离为
，得
在双曲线中，，即
14．（2020·湖北高三期末）已知双曲线的右焦点为，是坐标原点，若存在直线 过点交双曲线C的右支于两点，使得，则双曲线的离心率e的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线与双曲线的位置关系设出直线方程，联系直线与双曲线整理出关于的
方程，再利用数量积求解即可。
【详解】设，，直线的方程，由
整理得 ，由直线交双曲线C的右支于两点，
可得，且 ，两式解得。
因为
整理可得，
因为，所以
即
整理可得，由
得 ，解得，
所以双曲线的离心率的取值范围是
15．（2020·山东高考模拟）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.
【详解】
由题意，得，另一个焦点，
由对称性知，，
又因为线段的垂直平分线经过点，，
则，可得是正三角形，
如图所示，连接，则，
由图象的对称性可知，，
又因为是等腰三角形，
则，
在中，
由余弦定理：，
上式可化为，
整理得：，即，由于，
则，
故，故答案为.
16．（2020广西桂林市一模）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
设点，抛物线的焦点为,焦点到准线的距离为
将准线方程代入双曲线得到
根据等边三角形的性质的到
双曲线的离心率为
故得到离心率为.
故答案为：
17.（2020江苏省扬州中学高三）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cs∠F1MN＝cs∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．
【答案】2
【解析】
如图，由可得，
∴，，
由双曲线的定义可得，，
∴
在中由余弦定理得
在中由余弦定理得
，
∵，
∴，
整理得，
∴，解得或（舍去）．
∴双曲线的离心率等于2．
故答案为：2．
18．（2020·安徽高考模拟（理））如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 的余弦值，即可得出椭圆离心率．
【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接， 交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为
在中， ， ，
，
， 解得
即
则椭圆的离心率
【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦
之比，即．
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