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专题5.4 解析几何中的定值与定点问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲
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这是一份专题5.4 解析几何中的定值与定点问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲，文件包含专题54解析几何中的定值与定点问题原卷版docx、专题54解析几何中的定值与定点问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
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六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题5．4 解析几何中的定值与定点问题
一．方法综述
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；
（1）定值问题： 解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；
一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；
另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略
类型一 定值问题
【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（ ）
A．B．C．2pD．
【答案】D
【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），
所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，所以，
同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），
所以，整理得，
所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，
则则+＝．故选：D．
【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【举一反三】
1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（ ）
A．2B．2C．1D．
【答案】C
【解析】分析：根据题意，设A（x1，y1），D（x2，y2），分析抛物线的焦点以及圆心的坐标，由抛物线的定义可得|AB|、|CD|的值，联立直线方程和抛物线方程，应用韦达定理可得所求值．
解：设A（x1，y1），D（x2，y2），
抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），
圆心与焦点重合，半径为1，
又由直线过抛物线的焦点F，
则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，
即有|AB|•|CD|＝x1x2，
设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．
2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝0，化简可得k1•k2，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，同理可得：k1•k2，根据k1•k2为定值进而得出λ．
解：取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），
代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，
令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，
化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，
∴k1•k2＝，
取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，
代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，
令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，
化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），
∴k1•k2＝，
又k1•k2为定值，
∴＝，
解得λ＝．故选：C．
3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝ ．
【答案】2
【解析】分析：求出椭圆方程，设出A、B、C的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可．
解：∵椭圆的离心率为，
∴，则，得．
又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，
三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．
O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则，，
两式作差得，，
则，即，
同理可得，．
∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．
类型二 定点问题
【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意
一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且
l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【答案】A
【解析】分析：设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．
解：设A（m，m2），B（0，n），
∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）
又A，B同在一个以F为圆心的圆上，
∴|BF|＝|AF|
∴n﹣1＝＝m2+1
∴n＝m2+2
∴直线l的斜率k＝＝﹣
∵直线l′∥l，
∴直线l′的斜率为k，
设点D（a，a2），
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴k＝a，∴a＝﹣，
∴a＝﹣
∴直线AD的斜率为＝＝＝，
∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），
整理可得y＝x+1，
故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．
【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【举一反三】
1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的坐标为，
，，
的方程为，
由，，可得，
切线都过点
，，
故可知过，两点的直线方程为，
当时，
直线恒过定点，故选
2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设是圆的切线，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为， ①
又 ， ②
①-②得，
可得满足上式，即过定点，故选B.
3．（2020大理一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．
【答案】
【解析】 由，
同理．
，,
取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点.
【归纳总结】在平面直角坐标系xOy中，过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，当为非零常数时，直线MN经过定点.
三．强化训练
一、选择题
1．（2020·黑龙江高三模拟）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（ ）
A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．不是定值
【答案】A
【解析】设直线的方程为，由题意得，
则得；
设A，B两点的坐标为，，
则得，；
又因为，即，
所以 ，
则得，直线的方程为；
当时，，所以直线的横截距为定值.故选A.
2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线（，）
和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，求得函数恒过定点，求得，又由始终落在所给圆的内部或圆上，得，联立方程组，得到点在以和为端点的线段上运动，利用斜率公式，即可求解．
【详解】根据指数函数的性质，可得函数，恒过定点.
将点代入，可得.
由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.
又由解得或，
所以点在以和为端点的线段上运动，
当取点时，，取点时，，
所以的取值范围是.
3．（2020·全国高三模拟）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（ ）
A. B. C． D．
【答案】D
【解析】设直线的方程为，
代入，得，
设，则.
，
同理，，
∴
，∵为定值，
是与无关的常数，∴．故选D．
4．（2020•越城区高三期末）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“•＝0”是“直线
AB恒过定点（4，0）”的（ ）
A．充分非必要条件B．充要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据题意，A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
若“•＝0”，则设直线AB方程为x＝my+b，
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，
若•＝0，则•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝b2﹣4b＝0，
解可得：b＝4或b＝0，又由b≠0，则b＝4，
则直线AB的方程为x＝my+4，即my＝x﹣4，则直线AB恒过定点（4，0），
“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充分条件；
反之：若直线AB恒过定点（4，0），设直线AB的方程为x＝my+4，
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣16＝0，
则有y1y2＝﹣16，
此时•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝0，
故“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的必要条件；
综合可得：“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B．
5．（2020·湖北高考模拟）设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）
A．定值B．定值
C．定值D．不确定，随点位置变化而变化
【答案】A
【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，
∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线，
∴是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，
∵P为双曲线1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|TF2|＝2a，
在三角形F1F2T中，QO是中位线，
∴|OQ|＝a．
故选：A．
6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】若为定值，则，由直线与圆相切结合图象可得的范围，从而得出正确选项．
【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线与圆相切时，，，
当时，圆在直线上方，，当时，圆在直线下方，，
若为定值，则，因此．只有D满足．
故选：D.
7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设
则
即
因此、在直线上，直线方程为，
又，所以
即，直线经过定点，选A.
8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O：，直线l：y=+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】首先设出，，进而可得再将直线和
圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断.
【详解】设点，，由三角函数的定义得
将直线的方程与的方程联立
得，
由韦达定理得
所以
因此，当是常数时，是常数，故选B(特值法可秒杀)
9．（2020·浙江高三期末）斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）
A．为定值B．为定值
C．点的轨迹为圆的一部分D．点的轨迹是圆的一部分
【答案】C
【解析】设抛物线上两点坐标分别为，则两式做差得，，
整理得为定值，所以A正确.
因为焦点，所以直线AB方程为.由得，则
.
为定值.故B正确.
点的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.
本题选择C选项.
10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由消去y整理得，
设，则．
过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则．
对于A，
，不为定值，故A不正确．
对于B，，不为定值，故B不正确．
对于C，，为定值，故C正确．
对于D，，不为定值，故D不正确．选C．
点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；
（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设，再设动点，动点到定点的“L距离”之和等于，由题意可得：，即，
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；
①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；
②双曲线的离心率分别是，则是定值；
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【解析】
【分析】求得双曲线的渐近线方程，设出P（m，n），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断①；运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；可设A（s，），B（t，），求得直线AB的斜率和st=﹣4p2，运用点斜式方程可得直线AB的方程，化简可得定点，即可判断③．
【详解】
①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），
两条渐近线方程为y=±x，可得两个距离的乘积为•=，
由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得两个距离乘积是定值；
②双曲线=1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，
即有e12=，e22=，可得为定值1；
③过抛物线x2=2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，
可设A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，
kAB==，可得直线AB的方程为y﹣=（x﹣s），即为y=x+2p，
则直线AB过定点（0，2p）．
三个命题都正确．故选A．
13.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．
【答案】.
【解析】分析：设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据AO⊥BO推断出，求得b，即可求出结果．
详解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,
设，，则，，
∴
，
∴（舍去）或,
故直线过定点．
14．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________.
【答案】0
【解析】试题分析：设，，则，
整理得，
又是圆上的任意一点，故，
圆的一般方程为，因此，
，解得.
15．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．
【答案】
【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．
详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则
∵∠APB的大小恒为定值，
∴t＝，∴|OP|=．故答案为
16．在平面直角坐标系中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=___________.
【答案】0
【解析】 取特殊点B，则BC的方程为，
由得C
所以.
【点睛】：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作直线OA的平行线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=0.
17．（2020·河北定州一中高三月考）为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
设，则，可得，①
，②
由①②得，
可得，解得，
点坐标为，故答案为.
18．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【答案】
【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，
∴y1y2-2 x1x2=0，
∴2x2-y2=20，
所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，
由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
19．（2020·江苏高三月考）椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
【答案】
【解析】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由题知kAB•kAC==﹣，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
则m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k．
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．
当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣．
综上，直线BC过定点（1，0）．
故答案为：（1，0）．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
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专题5．4 解析几何中的定值与定点问题
一．方法综述
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；
（1）定值问题： 解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；
一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；
另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略
类型一 定值问题
【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（ ）
A．B．C．2pD．
【答案】D
【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），
所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，所以，
同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），
所以，整理得，
所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，
则则+＝．故选：D．
【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【举一反三】
1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（ ）
A．2B．2C．1D．
【答案】C
【解析】分析：根据题意，设A（x1，y1），D（x2，y2），分析抛物线的焦点以及圆心的坐标，由抛物线的定义可得|AB|、|CD|的值，联立直线方程和抛物线方程，应用韦达定理可得所求值．
解：设A（x1，y1），D（x2，y2），
抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），
圆心与焦点重合，半径为1，
又由直线过抛物线的焦点F，
则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，
即有|AB|•|CD|＝x1x2，
设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．
2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝0，化简可得k1•k2，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，同理可得：k1•k2，根据k1•k2为定值进而得出λ．
解：取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），
代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，
令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，
化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，
∴k1•k2＝，
取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，
代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，
令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，
化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），
∴k1•k2＝，
又k1•k2为定值，
∴＝，
解得λ＝．故选：C．
3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝ ．
【答案】2
【解析】分析：求出椭圆方程，设出A、B、C的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可．
解：∵椭圆的离心率为，
∴，则，得．
又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，
三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．
O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则，，
两式作差得，，
则，即，
同理可得，．
∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．
类型二 定点问题
【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意
一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且
l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【答案】A
【解析】分析：设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．
解：设A（m，m2），B（0，n），
∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）
又A，B同在一个以F为圆心的圆上，
∴|BF|＝|AF|
∴n﹣1＝＝m2+1
∴n＝m2+2
∴直线l的斜率k＝＝﹣
∵直线l′∥l，
∴直线l′的斜率为k，
设点D（a，a2），
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴k＝a，∴a＝﹣，
∴a＝﹣
∴直线AD的斜率为＝＝＝，
∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），
整理可得y＝x+1，
故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．
【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【举一反三】
1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的坐标为，
，，
的方程为，
由，，可得，
切线都过点
，，
故可知过，两点的直线方程为，
当时，
直线恒过定点，故选
2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设是圆的切线，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为， ①
又 ， ②
①-②得，
可得满足上式，即过定点，故选B.
3．（2020大理一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．
【答案】
【解析】 由，
同理．
，,
取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点.
【归纳总结】在平面直角坐标系xOy中，过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，当为非零常数时，直线MN经过定点.
三．强化训练
一、选择题
1．（2020·黑龙江高三模拟）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（ ）
A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．不是定值
【答案】A
【解析】设直线的方程为，由题意得，
则得；
设A，B两点的坐标为，，
则得，；
又因为，即，
所以 ，
则得，直线的方程为；
当时，，所以直线的横截距为定值.故选A.
2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线（，）
和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，求得函数恒过定点，求得，又由始终落在所给圆的内部或圆上，得，联立方程组，得到点在以和为端点的线段上运动，利用斜率公式，即可求解．
【详解】根据指数函数的性质，可得函数，恒过定点.
将点代入，可得.
由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.
又由解得或，
所以点在以和为端点的线段上运动，
当取点时，，取点时，，
所以的取值范围是.
3．（2020·全国高三模拟）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（ ）
A. B. C． D．
【答案】D
【解析】设直线的方程为，
代入，得，
设，则.
，
同理，，
∴
，∵为定值，
是与无关的常数，∴．故选D．
4．（2020•越城区高三期末）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“•＝0”是“直线
AB恒过定点（4，0）”的（ ）
A．充分非必要条件B．充要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据题意，A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
若“•＝0”，则设直线AB方程为x＝my+b，
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，
若•＝0，则•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝b2﹣4b＝0，
解可得：b＝4或b＝0，又由b≠0，则b＝4，
则直线AB的方程为x＝my+4，即my＝x﹣4，则直线AB恒过定点（4，0），
“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充分条件；
反之：若直线AB恒过定点（4，0），设直线AB的方程为x＝my+4，
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣16＝0，
则有y1y2＝﹣16，
此时•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝0，
故“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的必要条件；
综合可得：“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B．
5．（2020·湖北高考模拟）设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）
A．定值B．定值
C．定值D．不确定，随点位置变化而变化
【答案】A
【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，
∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线，
∴是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，
∵P为双曲线1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|TF2|＝2a，
在三角形F1F2T中，QO是中位线，
∴|OQ|＝a．
故选：A．
6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】若为定值，则，由直线与圆相切结合图象可得的范围，从而得出正确选项．
【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线与圆相切时，，，
当时，圆在直线上方，，当时，圆在直线下方，，
若为定值，则，因此．只有D满足．
故选：D.
7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设
则
即
因此、在直线上，直线方程为，
又，所以
即，直线经过定点，选A.
8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O：，直线l：y=+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】首先设出，，进而可得再将直线和
圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断.
【详解】设点，，由三角函数的定义得
将直线的方程与的方程联立
得，
由韦达定理得
所以
因此，当是常数时，是常数，故选B(特值法可秒杀)
9．（2020·浙江高三期末）斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）
A．为定值B．为定值
C．点的轨迹为圆的一部分D．点的轨迹是圆的一部分
【答案】C
【解析】设抛物线上两点坐标分别为，则两式做差得，，
整理得为定值，所以A正确.
因为焦点，所以直线AB方程为.由得，则
.
为定值.故B正确.
点的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.
本题选择C选项.
10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由消去y整理得，
设，则．
过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则．
对于A，
，不为定值，故A不正确．
对于B，，不为定值，故B不正确．
对于C，，为定值，故C正确．
对于D，，不为定值，故D不正确．选C．
点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；
（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设，再设动点，动点到定点的“L距离”之和等于，由题意可得：，即，
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；
①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；
②双曲线的离心率分别是，则是定值；
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【解析】
【分析】求得双曲线的渐近线方程，设出P（m，n），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断①；运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；可设A（s，），B（t，），求得直线AB的斜率和st=﹣4p2，运用点斜式方程可得直线AB的方程，化简可得定点，即可判断③．
【详解】
①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），
两条渐近线方程为y=±x，可得两个距离的乘积为•=，
由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得两个距离乘积是定值；
②双曲线=1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，
即有e12=，e22=，可得为定值1；
③过抛物线x2=2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，
可设A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，
kAB==，可得直线AB的方程为y﹣=（x﹣s），即为y=x+2p，
则直线AB过定点（0，2p）．
三个命题都正确．故选A．
13.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．
【答案】.
【解析】分析：设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据AO⊥BO推断出，求得b，即可求出结果．
详解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,
设，，则，，
∴
，
∴（舍去）或,
故直线过定点．
14．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________.
【答案】0
【解析】试题分析：设，，则，
整理得，
又是圆上的任意一点，故，
圆的一般方程为，因此，
，解得.
15．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．
【答案】
【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．
详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则
∵∠APB的大小恒为定值，
∴t＝，∴|OP|=．故答案为
16．在平面直角坐标系中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=___________.
【答案】0
【解析】 取特殊点B，则BC的方程为，
由得C
所以.
【点睛】：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作直线OA的平行线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=0.
17．（2020·河北定州一中高三月考）为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
设，则，可得，①
，②
由①②得，
可得，解得，
点坐标为，故答案为.
18．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【答案】
【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，
∴y1y2-2 x1x2=0，
∴2x2-y2=20，
所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，
由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
19．（2020·江苏高三月考）椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
【答案】
【解析】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由题知kAB•kAC==﹣，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
则m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k．
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．
当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣．
综上，直线BC过定点（1，0）．
故答案为：（1，0）．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
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