高分突破，智取压轴小题17 求解曲线的离心率的值或范围问题

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求解曲线的离心率的值或范围问题

一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①根据题意求出的值，再由离心率的定义椭圆、
双曲线直接求解；
②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于椭圆、双曲线消去b，
构造的齐次式，求出；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；
④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
二．解题策略
类型一 直接求出或求出与的比值，以求解
【例1】椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河北省秦皇岛市2021届高三二模数学试题
【答案】A
【解析】设，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
设中点为H，则，，，
代入数据并整理得：，
等式两边同除以得：，解得：或(舍).
故选：A.
【方法点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
【举一反三】
1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，
由三角形垂心的性质，得，即，
所以，所以，所以，所以的离心率为．故选：B．
2．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】江西省九江市2021届高三高考数学（理）二模试题
【答案】A
【解析】过作于点，设，
因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，
由双曲线的定义可得，所以，
同理可得，所以，即，
所以，因此，
在直角三角形中，，
所以，所以，则.
故选：A.

类型二 构造的齐次式，解出
【例2】在平面直角坐标系中，点，分别是双曲线：(，)的左，右焦点，过点且与直线：垂直的直线交的右支于点，设直线上一点(在第二象限)满足，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．2
【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
【答案】A
【解析】由题意可知，设直线的方程为，则设，，
因为，，且，所以，
即，解得，所以，所以，
，，则
，即
，解得，所以，
因为点在双曲线上，所以代入双曲线方程可得，，即，解得，，故选：A
【举一反三】
1.（2020·重庆八中高三）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，故，，两边除以得，解得.
2．（2020·广东南海中学高考模拟）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为_____．
【答案】2
【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，
半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，
即，化简得，，答案为.
3．（2020·黑龙江大庆中学高三（理））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），
令x=﹣c，可得y=±=±，可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），
设D（0，b），可得=（c，b﹣），=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），
由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，即为0﹣•（b﹣）＜0，化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，可得c2＜2a2，即e=＜，又e＞1，可得1＜e＜，可得△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，
由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，又e＞1，可得e＞．
综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．
类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
【例3】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C． D．
【来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）数学试题
【答案】A
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，，
设，，
由三角形的等面积法可得，
化简可得，①
由双曲线的定义可得，②
在三角形中，为直线的倾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化简可得，
即为，
可得，则．
故选：C．
【举一反三】
1．（2020·辽宁实验中学高三期末（理））设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；
若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；
若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,
所以 是直角三角形，且 ,
所以由勾股定理，得，得,故选B.
2．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点.过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 全国卷Ⅰ（第七模拟）
【答案】C
【解析】设，，，则，.
将，的坐标分别代入的方程，得，
两式相减，得，
所以，即.
当为的中点时，，则，故.
如图，设为的左顶点，连接，则，所以，整理得，解得或（舍去），则，所以，所以，故的离心率.
故选：C.

3．（2020·湖北高三期末）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，，
，
由，可得，
则，可得，即有，
则，即有．故答案为：．

类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质
【例4】（2020·四川高三期末（理））已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，又∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴离心率，故选：A．

【例5】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：

，是双曲线的左右焦点，延长交于点，
是的角平分线，
，
又点在双曲线上，
，，
又是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
即，
在中，，，，
由三角形两边之和大于第三边得：，
两边平方得：，
即，
两边同除以并化简得：，
解得：，
又，
，
在中，由余弦定理可知，，
在中，，
即，
又，
解得：，
又，
,
即，
，
综上所述：.
故选：B.
【方法点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关， ，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
【举一反三】
1．（2020·四川高三期末）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】

设直线与圆相切于点 ，则 ，
取的中点 ,连接 ，
由于,则 ，
由，则，即有，
由双曲线的定义可得，即，即，
,即，，即，则.
2．（2020·山东高考模拟）过双曲线1（a＞b＞0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，

设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得..
3．（2020·湖北高三期末（理））已知F1,F2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C交于P,Q两点，且四边形F1PF2Q是矩形，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】

由题意，矩形的对角线长相等，把代入，
可得 ，
∴
∴4a2b2=（b2-3a2）c2，
∴4a2（c2-a2）=（c2-4a2）c2，
∴e4-8e2+4=0，
∵e＞1，∴ 故选：B．
4.（2020永州模拟）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】由题意，作出图像如下：

因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，
因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，
所以，，
由题意易得，，
所以，，
因此，整理得,
所以离心率为.
【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.
2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.
3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.
三．强化训练
1．（2020吉林长春市实验中学高三）如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】连接，依题意知：，，所以
.
2.（2020安徽铜陵模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，
设|PF2|＝t，则|QF2|＝ ，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，
则t＝2（2﹣）a，
在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，
4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，
化为c2＝（9﹣6）a2，
可得e＝＝ ．故选A.
3.（2020银川一模）椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I与重心满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，又，，则的重心.因为∥
所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义
得，解得，故选D.
4．（2020·甘肃兰州一中高三）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：

设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得

， ，即
，即
，
由可知，令，，所以，故选D.
5.（2020泰安高三一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】

根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，，即，，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，，，，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，故选D.
6.（2020兰州一模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，
所以，故．
由可得，整理得 ，
显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．
7．（2020·河北高三月考）双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），
双曲线的两条渐近线方程为yx，yx，
∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．
∵，
∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP，
∴过F1的直线PQ的斜率kPQ，
∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c），
解方程组，得P（，），
∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，
∵tan∠QOF2，∴cos∠QOF2，
由余弦定理，得cos∠QOF21，
即e2﹣e﹣2＝0，
解得e＝2，或e＝﹣1（舍）
故选C．

9．（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.
10．（2020·四川棠湖中学高考模拟（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为（ ）
A． 或 B．或3 C．2或 D．2或3
【答案】D
【解析】不妨设在第一象限且，则，，
过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，
则，故，
因为直角三角形，故可设，
且，
所以，解得或，
若，则， ；
若，则，；
综上，选D.
11．已知椭圆C：=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点.设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】安徽省池州市2021届高三下学期4月普通高中教学质量统一监测文科数学试题
【答案】A
【解析】A(-a，0)，B(a，0)，设，则，而，则，又，
令，则，
所以,
故，即，从而.
故选：A.
12．已知双曲线的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题
【答案】C
【解析】由，，则点在的角平分线上，
由点在直线上，则是的内心，由，
由奔驰定理（已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，,
即
则，
设，，，
则，，则.
故选：C
13．已知为双曲线(，)左支上一点，，为其左右焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三下学期4月联考（二） 数学（文科）试题
【答案】B
【解析】设，，则由双曲线的定义得：，
∴，．
记，，，令，得．
（1）当时，，，单调递减；
，，单调递增，
∴，不合题意，舍去；
（2）当时，恒成立，
∴，
∴，∴，解得或．
∵不满足，应舍去.∴，离心率．
故选：B．
14．设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题
【答案】B
【解析】，共线，且，
，
，则，故有，
设，则，，由双曲线的定义可得
∴，整理得，解得：或，
若，则，，不满足，舍去；
若，，符合题意，则，，
此时，
在中，，
即，得到，即，
∴．
故选：B．

15．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为( )
A．2 B． C． D．
【来源】全国卷地区（老高考）2021届高三下学期4月冲刺联考理科数学试题
【答案】C
【解析】由已知得，设，
由，得，
所以轴，即，
不妨设点在第一象限，则.
设，由，得，
，
，即，
点在双曲线上，
，
整理得，，
解得，或(负值舍去).故选C.
故选：C
16．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
17．已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设，则①，②
①②得
化简得，
因为直线斜率为1，
所以，
设为中点，
则 ③，其中，，
因为在圆上，则 ④
③代入④可得，方程有解可得，
即，解得,即，所以，故选：B
18．已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
如下图所示:

由点到直线距离公式可知：，
又，
，
，
即，
设，
由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化简可得：，
即，
由双曲线离心率公式可知：.
故选：A.
19．（2020·江苏高三月考（理））如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .

【答案】
【解析】依题意可得，
因为，所以
所以
所以，即，故
解得，
因为，所以，则
20．（2020·山东高考模拟）已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，
则椭圆的离心率为
【答案】
【解析】

结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质
,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,
由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到
,解得,故选D.
21．（2020黑龙江省哈尔滨市模拟）已知双曲线，其渐近线与圆相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，则弦心距为
即圆心到渐近线S的距离为
，得
在双曲线中，，即

22．（2020·湖北高三期末）已知双曲线的右焦点为，是坐标原点，若存在直线 过点交双曲线C的右支于两点，使得，则双曲线的离心率e的取值范围是___________．
【答案】
【解析】设，，直线的方程，由
整理得 ，由直线交双曲线C的右支于两点，
可得，且 ，两式解得。
因为
整理可得，
因为，所以
即
整理可得，由
得 ，解得，所以双曲线的离心率的取值范围是
23．（2020·山东高考模拟）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.
【答案】
【解析】

由题意，得，另一个焦点，
由对称性知，，
又因为线段的垂直平分线经过点，，
则，可得是正三角形，
如图所示，连接，则，
由图象的对称性可知，，
又因为是等腰三角形，
则，
在中，
由余弦定理：，
上式可化为，
整理得：，即，由于，
则，故，故答案为.
24．（2020广西桂林市一模）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．
【答案】
【解析】设点，抛物线的焦点为,焦点到准线的距离为
将准线方程代入双曲线得到
根据等边三角形的性质的到
双曲线的离心率为
故得到离心率为.
25.（2020江苏省扬州中学高三）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．
【答案】2
【解析】如图，由可得，
∴，，
由双曲线的定义可得，，
∴
在中由余弦定理得

在中由余弦定理得
，
∵，
∴，
整理得，
∴，解得或（舍去）．
∴双曲线的离心率等于2．
故答案为：2．

26．（2020·安徽高考模拟（理））如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．

【答案】
【解析】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接， 交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为
在中， ，

，

解得

即
则椭圆的离心率